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专题11 函数性质综合大题-2023-2024学年度高一数学热点题型归纳与分阶培优练(人教A版必修第一册)
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专题11 函数性质综合大题
目录
【题型一】 “分式型”1:分离常数反比例函数 1
【题型二】“分式型”2:转化为“对勾” 3
【题型三】“分式型”3: 转化为“双曲” 5
【题型四】“分式型”4:分母二次、分子一次型 7
【题型五】“分式型”5:分子、分母二次型 9
【题型六】“分式型”6:判别式法 11
【题型七】“分式型”7:中心对称求和型 12
【题型八】“分式型”8:保值函数 13
【题型九】分式型结构不良型 15
【题型十】含绝对值型 17
培优第一阶——基础过关练 19
培优第二阶——能力提升练 22
培优第三阶——培优拔尖练 25
【题型一】 “分式型”1:分离常数反比例函数
【典例分析】
已知函数(常数).
(1)若,在平面直角坐标系中画出该函数的图像;
(2)若该函数在区间上是严格减函数,且在上存在自变量,使得函数值为正,求整数的值.
【答案】(1)见解析(2)或
【分析】(1)先对函数化简,再列表,描点,连线可得函数图像,
(2)由函数在区间上是严格减函数,结合函数单调性的定义可得,再由在上存在自变量,使得函数值为正,可得在上有解,从而可求出的范围,进而可得整数的值.
(1)当时,,列表如下:
……
0
……
……
0
3
2
……
函数图像如下:
(2),任取,且,因为该函数在区间上是严格减函数,所以,因为,所以,
因为所以,得,因为在上存在自变量,使得函数值为正,
所以在上有解,因为,所以在上有解,
所以在上有解,所以,
因为在上递增,所以当时,取得最小值为,
所以,综上,因为,所以或
【提分秘籍】
基本规律
形如型
1.通过分离常数,可以得到平移后反比例函数,在连续区间内,具有单调性,大题可用定义法证明,小题可用分离变量为主证明。在前两种方法掌握的前提下,可以适当引入快速画图法。
2.反比例函数有对称中心,满足(其中(a,b)是对称中心,
可通过“左加右减上加下减”求得.
3.涉及到恒成立或者解不等式等问题,大多数可以转化为一元二次型求解。
【变式训练】
已知函数,.
(1)若,使得,求实数的取值范围;
(2)若集合,对于都有,求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】(1)结合已知条件,将不等式转化为,然后利用基本不等式求解即可;
(2)首先结合的单调性求集合,然后将不等式转化为,通过讨论的对称轴与区间的位置关系,并结合的单调性即可求解.
(1)由题意,,使得,即,
因为,当且仅当时,即时,有最小值,
所以,即,故实数的取值范围为.
(2)因为在单调递减,且,,
所以在上的值域为,即,
由题意,都有恒成立,即在区间的最大值
的对称轴为,且的图像开口向上,
①当时,即时,在上单调递增,故;
②当时,即时,在上单调递减,在上单调递增,
因为,,所以,
(i)当时,即时,,
此时在上的最大值为恒成立;
(ii)当时,即时,,
此时在上的最大值为恒成立;
③当时,即时,在上单调递减,
故恒成立,综上所述,实数的取值范围为.
【题型二】“分式型”2:转化为“对勾”
【典例分析】
已知函数,,
(1)当时,求函数的单调递增与单调递减区间(直接写出结果);
(2)当时,函数在区间上的最大值为,试求实数的取值范围;
(3)若不等式对任意,()恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为,,单调递减区间为,;(2)(3)
【分析】(1)将题中的代入解析式,由对勾函数的单调性可得单调区间;
(2)解不等式,即可得到结果;
(3)将题中的式子等价变形,将问题转化为在,单调递增,结合分段函数的解析式和二次函数的图象的对称轴,分类讨论得到结果.
(1)解:当时,,
所以函数的单调递增区间为,,单调递减区间为,;
(2)
解:因为,,且函数在,上单调递减,在,上单调递增,
又因为在,上的最大值为,所以,
即,整理可得,
所以,所以,即;
(3)
解:由不等式对任意,,恒成立,
即,
可令,等价为在,上单调递增,
而,
分以下三种情况讨论:
①当即时,可得,解得,矛盾,无解;
②,即时,函数的图象的走向为减、增、减、增,
但是中间增区间的长度不足1,要想在,递增,只能,即,矛盾,无解;
③即时,此时在,上单调递增,
要想在,递增,只能,即,所以.
综上可得满足条件的的取值范围是.
【提分秘籍】
基本规律
次型
1.当b=0时分母是ax型。很容易出对勾或者双曲函数,可以用单调性(大题用定义法证明单调性)或者均值不等式搞定最值。
2.当分母是ax-b型(b不为0),往往可以分离常数。对于理解力稍微好点的学生,还可以通过换元法(慎重,因为坐标系发生了变换)化简。程度差点的学生,可以换元化简后再还回去,也能达到分离常数的目的。
【变式训练】
已知函数有如下性质:若常数,则该函数在上单调递减,在上单调递增.
(1)已知,,利用上述性质,求函数的单调区间和值域;
(2)对于(1)中的函数和函数,,若对任意,总存在,使得成立,求实数的值.
【答案】(1)的单调递减区间为,单调递增区间为,值域为.(2)
【分析】(1)令,,将化为,由对勾函数的单调性可得的单调区间和值域(2)由题意可得的值域是的值域的子集,结合(1)的值域和一次函数的单调性可得的值域,可得的不等式,解不等式可得所求范围
(1).设,,则,.
由已知性质,得当,即时,单调递减,所以的单调递减区间为;
当,即时,单调递增,所以的单调递增区间为.
由,,,得的值域为.
(2)因为在上单调递减,
所以.
由题意,得的值域是的值域的子集,
所以,所以.
【题型三】“分式型”3: 转化为“双曲”
【典例分析】
已知函数是奇函数,且.
(1)求实数的值;
(2)用函数单调性的定义证明:在上单调递增;
(3)当时,解关于的不等式:.
【答案】(1),,(2)证明见解析,(3)
【分析】(1)由题意可得,求出,再由可求出,
(2)任取,且,然后求,化简变形可得结论,
(3)由(2)可知在上单调递增,所以原不等式可化为,解不等式可得结果
(1)因为函数是奇函数,所以,即,
,所以,解得,所以,因为,
所以,解得,
(2)证明:由(1)可知任取,且,则
,因为,且,
所以,,所以,即,
所以在上单调递增;
(3)当时,,由(2)可知在上单调递增,
因为,所以,即,解得(舍去),或,
所以不等式的解集为
【提分秘籍】
基本规律
形如
1.是奇函数,y轴两侧都是单调递增函数,y=ax是“渐近线”。如图一
2.是奇函数,y轴两侧都是单调递减函数,y=ax是“渐近线”如图二
【变式训练】
已知函数满足.
(1)求的解析式,并判断其奇偶性;
(2)若对任意,不等式恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1),是奇函数(2)
【分析】(1)由求出,进而求得的解析式,利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性即可;
(2)根据幂函数的单调性可得函数的单调性,求出函数的最小值,将不等式恒成立转化为对任意使得恒成立即可.
(1)因为,所以,所以.所以.
的定义城为,且,所以是奇函数.
(2)因为,在上均为增函数,所以在上为增函数,所以.
对任意,不等式恒成立,则,
所以,即实数a的取值范围为.
【题型四】“分式型”4:分母二次、分子一次型
【典例分析】
已知函数是定义在上的奇函数,且.
(1)求函数的解析式;
(2)判断函数在上的单调性,并用定义证明;
(3)解不等式:.
【答案】(1);(2)函数在上单调递增,证明见解析;(3).
【分析】(1)根据奇函数的定义可求得的值,再结合已知条件可求得实数的值,由此可得出函数的解析式;
(2)判断出函数在上是增函数,任取、且,作差,因式分解后判断的符号,即可证得结论成立;
(3)由得,根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组,由此可解得实数的取值范围.
(1)解:因为函数是定义在上的奇函数,则,
即,可得,则,
所以,,则,因此,.
(2)证明:函在上是增函数,证明如下:
任取、且,则
,因为,则,,故,即.因此,函数在上是增函数.
(3)解:因为函数是上的奇函数且为增函数,由得,
由已知可得,解得.因此,不等式的解集为.
【提分秘籍】
基本规律
形如次型
1.当b=0时分子是ax型时,可以在x≠0时,同时除x,分母得到对勾或者双刀函数,为小题做积累。
2.当分子是ax-b时,也可以通过换元或者直接配凑,使得分母依旧是对勾或者双刀函数。
3.大题中单调性证明,依旧是定义法
【变式训练】
.已知函数是定义在上的奇函数,且.
(1)求,的值;
(2)判断在上的单调性,并用定义证明;
(3)设,若对任意的,总存在,使得成立,求实数的取值范围.
【答案】(1),(2)在,上单调递增,证明见解析(3)
【分析】(1)利用奇函数的性质,结合(1),求解方程组,得到,的值,检验即可;
(2)利用函数单调性的定义判断并证明即可;
(3)将问题转化为,利用的单调性求出,分,和三种情况,利用的单调性求出,即可得到答案.
(1)因为函数是定义在,上的奇函数,且(1),则,解得,,
所以函数,经检验,函数为奇函数,所以,;
(2)在,上单调递增.证明如下:设,则,
其中,,所以,即,故函数在,上单调递增;
(3)因为对任意的,,总存在,,使得成立,所以,
因为在,上单调递增,所以,
当时,;所以恒成立,符合题意;
当时,在,上单调递增,则(1),所以,解得;
当时,函数在,上单调递减,则,所以,解得.
综上所述,实数的取值范围为.
【题型五】“分式型”5:分子、分母二次型
【典例分析】
.已知.
(1)若时,求的值域;
(2)函数,若函数的值域为,求a的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】(1)根据函数解析式,采用分离常数项的方法,结合不等式性质,可得答案;
(2)根据二次根式的定义,结合二次函数的性质,可得答案.
(1)由,则,
由不等式性质,则,,,,,
故,即的值域为.
(2)由题意,,
由函数的值域为,则有解且无最大值,
当时,符合题意;
当时,根据二次函数的性质,可得,
其中,,,,解得或,
综上,故.
【提分秘籍】
基本规律
1.分子与分母都有二次型的,最常见的,就是分子分母可以分离常数达到降幂目的,有时候换元也可以。
2.如果分母分子有线性关系,可以直接分离常数。这类题比较少。了解即可。
3.必要时可以用判别式法。
【变式训练】
求出函数的单调区间,并比较与的大小.
【答案】增区间是,是减区间.
【分析】化简后平移,通过幂函数的单调性确定的单调性,通过对称性将转化为,再利用单调性比较大小即可.
【详解】==,因此将幂函数的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,得带函数的图象,由此可知,在上是增函数,在上是减函数.
.在上找出点关于直线的对称点.
由,.
【题型六】“分式型”6:判别式法
【典例分析】
已知函数.
(1)解不等式:;
(2)求函数的值域.
【答案】(1).(2).
【分析】(1)由分母可将不等式化为,进而求解集.
(2)令,将其转化为关于的一元二次方程,讨论、求的范围,即可知值域.
(1)由题意,,又
∴,即,
∴或,故解集为.
(2)令,可得,
当时,有;
当时,有,又为一元二次方程且在内有实数解,
∴,解得:且,
综上,,∴的值域为.
【变式训练】
.已知函数.
(1)求函数的值域;
(2)若不等式在时恒成立,求实数k的最大值;
【答案】(1)(2)(3)
【分析】(1)化简函数得,由,可求出,从而可求得函数的值域,
(2)等式在时恒成立,转化为在时恒成立,令,可得在上单调递减,从而可求出其最小值,进而可求得实数k的最大值,
(1)由题意得,因为,所以,则,
所以函数的值域为
(2)因为,所以不等式可化为,所以,令,
则在上单调递减,所以,所以,
所以实数的取值范围为,所以实数k的最大值为
【题型七】“分式型”7:中心对称求和型
【典例分析】
已知函数.
(1)求,的值;
(2)求证:的定值;
(3)求的值.
【答案】(1),(2)证明见解析(3)2022
【分析】(1)代入计算函数值可得答案;(2)化简计算可得答案;(3)利用可得答案.
(1)因为,所以,;
(2),是定值;
(3)由(2)知,因为,
,,……,,
所以.
【变式训练】
已知函数.(1)求的值;(2)求证:是定值;
(3)求的值.
【答案】(1)4;(2)证明见解析;(3)8088.
【分析】(1)代入计算函数值可得答案;(2)化简计算,由此完成证明;(3)利用可得答案.
(1)因为,所以;
(2)因为,所以,所以是定值,定值为4;
(3)
由(2)知,所以,,,……,,所以.
【题型八】“分式型”8:保值函数
【典例分析】
若函数在定义域的某个区间()上的值域恰为(),则称函数为上的倍域函数,称函数的一个倍域区间.已知函数,且关于的不等式的解集为.
(1)求实数,的值;
(2)若(),是否存在(),使得函数为定义域内的某个区间上的倍域函数?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在,k为2或3
【分析】(1)由题意,转化和是方程的根,列出方程组,即可求解;
(2)求得,使得函数为上的倍域函数,结合函数的单调性,
,求得, 即可求解.
(1)由题意,不等式的解集为,
即和是方程的根,所以,解得.
(2)由(1)知,可得,
由对勾函数性质知在上单调递减,且,
故在上单调递增,且
若存在区间,使得函数为上的倍域函数,则,
所以,即,所以 由于,所以, ,解得
又,所以k的值为2或3.
【提分秘籍】
基本规律
把函数存在区间,使得函数为上的倍域函数,结合函数的单调性,转化为是解答的关键.
【变式训练】
对于定义域为的函数,如果存在区间,使得在区间上是单调函数.且函数的值域是,则称区间是函数的一个“优美区间”
(1)判断函数和函数是否存在“优美区间”?(直接写出结论,不要求证明)
(2)如果是函数的一个“优美区间”,求的最大值;
(3)如果函数在上存在“优美区间”,求实数的取值范围.
【答案】(1)存在优美区间是,不存在优美区间;(2)(3)
【分析】(1)由函数的单调性及值域及新定义求解;
(2)由新定义及函数定义域,确定相应方程有两个同号的不等实根,由此求得参数范围;
(3)由函数的单调性,分类讨论:,,,确定函数的最大值和最小值,转化为一元二次方程的根的分布,可得结论.
(1),在上单调递增,由得或1,存在优美区间是,
是增函数,若存在优美区间,则,无解,不合题意,不存在优美区间;
(2)在和上都是增函数,因此优美区间或,
由题意,所以有两个同号的不等实根,,,
,,或,,同号,满足题意,
,
,因为或,所以当,即时,.
(3)函数在上存在“优美区间”,设得其一个优美区间,在上递减,在上递增,
若,则,即有两个不等的非负根,,,,,
,则,所以;
若,则,即,两式相减得,,
,所以方程有两个不等的非正根,
方程整理为,
,,满足题意,,,
所以;
若,则,因此,所以,
,,
,即时,,,,
即时,,,,
,一正一负,取正根为,
,时,成立,
时,不等式变为,,,即,
综上,的取值范围是.
【题型九】分式型结构不良型
【典例分析】
已知______,且函数.
①函数在定义域上为偶函数;
②函数在上的值域为.
在①,②两个条件中,选择一个条件,将上面的题目补充完整,求出a,b的值,并解答本题.
(1)判断的奇偶性,并证明你的结论;
(2)设,对任意的R,总存在,使得成立,求实数c的取值范围.
【答案】(1)选择条件见解析,a=2,b=0;为奇函数,证明见解析;(2).
【分析】(1)若选择①,利用偶函数的性质求出参数;
若选择②,利用单调性得到关于的方程,求解即可;
将的值代入到的解析式中,再根据定义判断函数的奇偶性;
(2)将题中条件转化为“的值域是的值域的子集”即可求解.
(1)选择①.
由在上是偶函数,得,且,所以a=2,b=0.所以.
选择②.
当时,在上单调递增,则,解得,所以.为奇函数.
证明如下:的定义域为R.因为,所以为奇函数.
(2)当时,,因为,当且仅当,即x=1时等号成立,所以;
当时,因为为奇函数,所以;
当x=0时,,所以的值域为.
因为在上单调递减,所以函数的值域是.
因为对任意的,总存在,使得成立,
所以,所以,解得.
所以实数c的取值范围是.
【变式训练】
已知函数,,从下面三个条件中任选一个条件,求出,的值,并解答后面的问题.(注:若选择多于一个,则按照第一个选择进行计分)
①已知函数,满足;
②已知函数在上的值域为;
③已知函数,若在定义域上为偶函数.
(1)判断在上的单调性;
(2)解不等式.
【答案】(1)在上单调递增,证明见解析(2)
【分析】(1)根据条件求出,,然后根据单调性的定义进行证明即可.
(2)结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可.
(1)①已知函数,若满足;
则关于点成中心对称,即,.
②已知函数在,上的值域为,;
若,则,两式作差得,得或(舍,此时,
若,则,两式作差得,此时无解
③已知函数,若在定义域,上为偶函数.则,得,
是偶函数,关于轴对称,则关于对称,即,得,
综上①②③得答案相同,都为,,由①或②或③得,,
任取,且,则,
,则,,即,
则在上单调递增;
(2)因为,则为奇函数.由即
又因为在上单调递增,则,解得.
所以原不等式的解集为.
【题型十】含绝对值型
【典例分析】
已知函数是定义在上的偶函数,且.
(1)求的值;
(2)判断函数在区间上的单调性,并证明;
(3)解不等式.
【答案】(1),(2)递增函数,证明见解析(3)
【分析】
(1)偶函数知,再代入易求解.
(2)根据单调性定义,任取,,假设,判断的差即可.
(3)首先考虑和在定义域内,再利用偶函数性质,根据单调性解抽象函数不等式即可.
【详解】
(1)为定义在上的偶函数在上恒成立,在上恒成立,
解得又,解得,检验:当时,
恒成立为偶函数
(2)判断:在区间上单调递增
证明:对任意。。
,又,
在区间上单调递增
(3)为定义在上的偶函数
原不等式等价于不等式,又在区间上单调递增,
,或。综上
【提分秘籍】
基本规律
含绝对值型,以分类讨论为主要解题思想。
【变式训练】
已知函数
(1)写出函数的单调区间;
(2)若在恒成立,求实数的取值范围;
(3)若函数在上值域是,求实数的取值范围.
【答案】(1)增区间, 减区间;(2)实数的取值范围为
(3)实数的取值范围为
【详解】
试题分析:(1)由已知函数可化为,根据函数的单调区间,得出所求函数的单调区间;(2)由(1)可知不等式可化为,根据函数在的单调性,可求得函数在上的值域,从而求出所实数的范围;(3)由(1)可知函数的单调区间,可将区间分与两种情况进行讨论,根据函数的单调性及值域,分别建立关于,的方程组,由方程组解的情况,从而求出实数的取值范围.
试题解析:(1)故增区间, 减区间
(2)在上恒成立即在上恒成立
易证,函数在上递减,在上递增
故当上有。故的取值范围为
(3)或
①当时,在上递增,。即即方程有两个不等正实数根
方程化为:故得
②当时。在上递减
即(1)-(2)得
又,
综合①②得实数的取值范围为
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1.已知函数
(1)判断的奇偶性;
(2)若当时,恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)是奇函数;(2).
【分析】(1)判断出函数为奇函数,再利用函数奇偶性的定义证明即可;
(2)利用函数单调性的定义证明出函数在上为减函数,求出函数在上的值域,可得出实数的取值范围.
(1)
解:函数为奇函数,理由如下:
函数的定义域为,,
所以,函数是奇函数.
(2)
解:任取、且,
则,
由,得,,,,
所以,,即,
所以,函数在上单调递减,则,即.
因为当时,恒成立,
所以,,即实数的取值范围为.
2.已知函数,函数为R上的奇函数,且.
(1)求的解析式:
(2)判断在区间上的单调性,并用定义给予证明:
(3)若的定义域为时,求关于x的不等式的解集.
【答案】(1);(2)单调递增.证明见解析;(3)
【分析】(1)列方程组解得参数a、b,即可求得的解析式;
(2)以函数单调性定义去证明即可;
(3)依据奇函数在上单调递增,把不等式转化为整式不等式即可解决.
(1)
由题意可知,即,解之得,则,经检验,符合题意.
(2)在区间上单调递增.设任意,且,
则
由,且,可得
则,即故在区间上单调递增.
(3)不等式可化为
等价于,解之得
故不等式的解集为
3.已知.
(1)若函数是偶函数,且当时,,当时,求的表达式;
(2)证明:函数在区间上是严格增函数.
【答案】(1)当时,;(2)证明见解析.
【分析】(1)根据偶函数的定义设变量代入直接计算作答.
(2)利用函数单调性定义证明函数单调性的方法、步骤推理作答.
(1),则,而时,,又函数是偶函数,
于是得,所以当时,.
(2)且,则,
因,则,,,即,有,
所以函数在区间上是严格增函数.
4.已知函数.
(1)判断的奇偶性,并证明;
(2)证明:在区间上单调递减.
【答案】(1)是偶函数,证明见解析(2)证明见解析
【分析】(1)先求定义域,再利用函数奇偶性的定义证明即可,
(2)利用单调性的定义证明
(1)为偶函数,证明如下:定义域为R,因为,
所以是偶函数.
(2)任取,且,则
因为,所以,
所以,即,
由函数单调性定义可知,在区间上单调递减.
5.已知定义在上的函数.
(1)求证:是奇函数;
(2)求证:在上单调递增;
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【分析】(1)判断的关系即可.
(2)任取,判断的正负即可;
(3)将原不等式移项得,脱“f”,可解得原不等式的解集.
(1)
由已知函数定义域为,关于原点对称,
所以函数是奇函数;
(2)
任取,
因为,
所以
所以在上单调递增;
(3)
不等式可化为
因为在上单调递增
所以不等式可化为解得.
培优第二阶——能力提升练
1.已知函数是定义在上的奇函数,且.
(1)求函数的解析式;
(2)判断函数在上的单调性.
(3)解关于t的不等式:.
【答案】(1)(2)单调递增(3)
【分析】(1)由奇函数的性质可得,求出,再由求出,从而可求出函数解析式,(2)利用单调性的定义判断即可,
(3)先利用函数的奇偶性将不等式转化,再利用函数的单调性解不等式
(1)因为函数是定义在上的奇函数,所以,得,所以,
因为,所以,解得,所以
(2)任取,且,则,
因为,且,所以,
所以,即,所以函数在上单调递增,
(3)因为是定义在上的奇函数,所以可转化为,
因为函数在上单调递增,所以,解得,
所以不等式的解集为
2.已知函数(且).
(1)当的定义域为时,求函数的值域;
(2)设函数,求的最小值.
【答案】(1),;(2).
【分析】(1)化简函数,根据反比例函数性质求解;(2)化简得,再分类讨论求解.
(1)解:,因为的定义域为,所以,,,,所以函数的值域为,.
(2)解:函数,
当即时,;
当即时,;
当即时,.
所以,
3.已知函数.
(1)用定义证明函数在区间上单调递增;
(2)对任意都有成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】(1)由定义证明即可;
(2)求出在上的最大值,即可得出实数的取值范围.
(1)任取,且,
因为,所以,
所以,即.所以在上为单调递增.
(2)任意都有成立,即.
由(1)知在上为增函数,所以时,.
所以实数的取值范围是.
4.已知函数是奇函数,是偶函数.
(1)求.
(2)判断函数在上的单调性并说明理由,再求函数在上的最值.
(3)若函数满足不等式,求出t的范围.
【答案】(1)(2)是区间上的增函数,理由见解析,
(3)
【分析】(1)由函数的奇偶性定义以及性质求解即可;
(2)利用定义证明单调性,进而得出最值;
(3)由在区间上的单调性以及奇偶性,解不等式得出t的范围.
(1)因为在是奇函数
验证:,,函数为奇函数;
为偶函数,则
验证:,,函数为偶函数.
(2)
是区间上的增函数,理由如下:设是区间上任意两个实数,且,
则因为所以
是区间上的增函数
(3)因为是区间上的增函数,且是奇函数,由满足
,即t的范围是
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1.已知函数是奇函数,且.
(1)求的解析式;
(2)判断函数的单调性,并证明你的结论;
(3)若,,且.求证.
【答案】(1)
(2)函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,在上单调递减,在上单调递增;证明见解析
(3)证明见解析
【分析】(1)根据函数是奇函数得到,结合,求出,,得到的解析式;(2)先求解定义域,再利用定义来证明函数在上的单调性,结合函数的奇偶性,得到上的单调性;(3)作差法证明不等式.
(1)
为奇函数,且
,解得:,.
.验证满足题意.
(2)
函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,在上单调递减,在上单调递增.
证明:函数的定义域为
在区间上任取,,令
①当时
,,,
即,故函数在区间上单调递减;
②当时,,,
即
故函数在区间上是增函数.
根据奇函数的对称性可知,函数在上单调递减,在上单调递增;
综上:函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,在上单调递减,在上单调递增
(3)
,,且.
2.已知函数是其定义域内的奇函数,且,
(1)求的表达式;
(2)设,求的值.
【答案】(1);(2).
【分析】(1)根据题意和奇函数的定义,可求出的值,再结合,求得的值,从而得出的表达式;
(2)由题可得,从而得出,即可得出所求结果.
(1)解:是奇函数,,,解得:,故,
又,则,所以,.
(2)
解:由(1)知,则,,
.
3.已知定义在上的函数为偶函数.
(1)求的值;
(2)判断在上的单调性(不用证明);
(3)已知函数,,若对,总有,使得成立,试求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)在上单调递增,在上单调递减(3)
【分析】(1)利用奇偶性的定义代特殊值再检验即可;(2)利用单调性的定义进行判断即可;
(3)先将条件转化为,再分别求出最值即可.
(1)解:∵为偶函数,∴,
当时,,∵,∴为偶函数,∴.
(2)解:在上单调递增,在上单调递减.
(3)解:由(1)知,∵对,总有,使得成立,
可得,由(2)知,在时取得最大值,即,
又,,∴时,,
∴,解得.所以实数的取值范围为.
4.设,.
(1)若在区间上是单调函数,求a的取值范围;
(2)若存在,使得对任意的,都有成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)或(2)
【分析】(1)对称轴为,由或,解得即可;
(2)通过比较与给定区间之间的关系,分类讨论求出的最大值,利用换元法,令,得,,,原问题可转化为,再分三种情况,并结合对勾函数、二次函数的图象与性质,即可得解.
(1)
解:由题意知,对称轴,因为在区间上是单调函数,
所以或,∴或.
(2)
解:当,即时,在,上单调递减,所以;
当,即时,在,上单调递增,所以;
当,即时,在,上单调递增,在,上单调递减,所以,
综上, ,
由题意,问题转化为,
对恒成立,对函数,
令,则,,
则问题转化为:,恒成立,
①当时,对恒成立,
即,
因为,且在上恒成立,
所以恒成立,即符合题意;
②当时,对恒成立,
则对恒成立,
关于t的二次函数的对称轴在之间,开口向下,
则,解得或,即得.
③当时,对恒成立,
则对恒成立,因为,当且仅当,即时取等号,所以,即,所以.
综上可得,满足题意的a的范围是:.
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