专题16 函数零点归类-2023-2024学年度高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版必修第一册）

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 专题16 函数零点归类

目录
【题型一】零点与二分法 1
【题型二】二次型零点：根的分布 3
【题型三】二次函数技巧：切线型 5
【题型四】利用中心对称求零点 9
【题型五】利用轴对称求零点 11
【题型六】利用周期求零点 14
【题型七】水平线法求零点 18
【题型八】分参法：对数函数与水平线法 21
【题型九】内外复合型函数零点 24
【题型十】复合“一元二次型”零点 28
【题型十一】“镜像”函数求零点 31
培优第一阶——基础过关练 34
培优第二阶——能力提升练 38
培优第三阶——培优拔尖练 44






【题型一】零点与二分法
【典例分析】
已知函数的零点位于区间内，则整数（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解.
【详解】因为函数与在上均为增函数，
所以函数在上为增函数，因为，，，
所以函数的零点位于区间内，故.故选：B.

【提分秘籍】
基本规律
基本规律
二分法的概念
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的_零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
①确定零点的初始区间，验证．
②求区间的中点c．
③计算，并进一步确定零点所在的区间：
a．若（此时），则c就是函数的零点．
b．若（此时），则令b．
c．若（此时，则令a．
④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤②～④．

【变式训练】
1.函数的零点所在的区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用零点存在性定理求解即可
【详解】函数在 上单调递增，且在上连续.
因为，，
所以，所以函数的零点所在的区间是.故选：B
2.用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（    ）
A．1 B． C．0.25 D．0.75
【答案】C
【分析】根据二分法的定义计算可得；
【详解】解：因为，，所以在内存在零点，
根据二分法第二次应该计算，其中；故选：C
3.函数的一个零点所在的区间是（    ）
A．(1，2) B．(2，3) C．(3，3.5) D．(3.5，4)
【答案】A
【分析】结合函数的单调性与零点的存在性定理判断即可；
【详解】解：因为函数在上单调递增，
所以，在上单调递增，因为，，
所以，函数只有一个零点，且位于区间内.故选：A．

【题型二】二次型零点：根的分布
【典例分析】
若且，：二次函数有两个零点，且一个零点大于零，另一个零点小于零；则是的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据互逆命题的性质，结合一元二次方程根的判别式和根与系数关系、充分性、必要性的定义进行求解即可.
【详解】设的一个根大于零，另一根小于零，则，解得，
因为命题：若，则的逆否命题为：若，则，
由是的真子集，因此是的必要不充分条件．故选：B．

【提分秘籍】
基本规律
根的分布
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴位置；（4）根的分布区间端点对应的函数值正负
如果是“0”分布，可以用韦达定理


【变式训练】
1.若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分类讨论和两种情况，再利用零点存在性定理和二次函数的图象性质列不等式求解即可.
【详解】当时，，此时只有一个零点，零点为-1，不符合要求；
当时，函数为二次函数，，利用零点存在性定理和二次函数的图象性质得，解得.故选：D.
2.函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】根据零点存在性定理结合二次函数的性质求解即可.
【详解】令，
因为，
所以函数图象与轴有两个交点，
因为函数在上存在零点，且函数图象连续，
所以，或，所以，或，解得或故选：B
3.已知函数的零点至少有一个大于0，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据解析式，讨论、结合二次函数性质研究函数的零点情况，判断符合条件的m范围.
【详解】①当时，由，得，符合题意．
②当时，
由，得，此时，解得，符合题意；
由，得，此时设的两根分别为，，且，
若，则，，即，，符合题意，
若，则，，即，，符合题意．
综上，，即实数的取值范围为．故选：B

【题型三】二次函数技巧：切线型
【典例分析】
已知函数有4个零点，则k的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将函数零点问题转化为曲线与直线的交点问题，如图分析临界直线，可得的取值范围.
【详解】,即，函数表示恒过点的直线，如图画出函数，以及的图象，

如图，有两个临界值，一个是直线过点，此时直线的斜率，另一个临界值是直线与相切时，联立方程得，，解得：，或，
当时，切点是如图，满足条件，当时，切点是不成立，所以，
如图，曲线与直线有4个交点时，的取值范围是.故选：B

【提分秘籍】
基本规律
一元二次函数的切线，可以通过设一次函数切线方程，待定系数，联立方程判别式为零

【变式训练】
1.已知函数，若函数恰有三个零点，则实数m的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】问题转化为函数的图象与直线有三个交点，作出函数图象和直线，求出图象中直线在位置时值，由图象得参数范围．
【详解】恰有三个零点，则有三个不同的实解，
即函数的图象与直线有三个交点，
如图，作出函数的图象，作直线，
平移直线到的位置，它与相切，此时，由，，（舍去），
又时，，即切点为，　由得，
平移直线到的位置，它与（）相切，此时，由得，，即切点为，由得，平移直线到的位置，它过原点，，，
由图象可知当或时的图象与直线有三个不同的交点．故选：A

2.设是定义域为的偶函数，且，当时， ，若函数有3个不同的零点，则的取值范围是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知得函数的对称轴为，当时，所以，当时，所以， 令，得，将问题转化为与有3个交点，作出图象如下图所示，利用一次函数与二次函数的位置关系，联立，运用根的判别式等于0，求解可得答案.
【详解】解：因为函数满足，所以函数的对称轴为，
又是定义域为的偶函数，当时， ，
所以当时，，且，
所以当时，所以，
当时，所以，
令，得，
则将函数有3个不同的零点，转化为与有3个交点，作出图象如下图所示，
联立，整理得，则，解得（舍去），
联立，整理得，则，解得（舍去），
所以要使与有3个交点，所以，
故选：A.

3.已知函数的两个零点分别为，，其中，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的零点和图象的平移即可求解.
【详解】设，，
则a，b是的两个零点；
函数的图象可以看成图象向下平移2个单位得到，且，，
如图所示：
故选：B.

【题型四】利用中心对称求零点
【典例分析】
已知函数图象的对称中心为，则的零点个数为（    ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】D
【分析】先证明为奇函数，结合条件求，，再利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理确定函数的零点个数.
【详解】因为，所以，即，所以，即，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以图象的对称中心为，则， ，故，则，则在上单调递减，因为，，所以在上存在1个零点.因为，，所以在上存在1个零点，因为，，所以在上存在1个零点，当时，，，，所以恒成立，所以函数在上没有零点，故的零点个数为3，
故选：D.

【提分秘籍】
基本规律
1.利用函数的中心对称点在x轴上性质，可以知道零点关于中心对称点左右对称。
要注意对称中心点是否也是函数的零点
对称中心的基础性质：
（1）若函数满足，则的一个对称中心为
（2）若函数满足，则的一个对称中心为
（3）若函数满足，则的一个对称中心为.

【变式训练】
1.定义在上的函数满足在上单调递增，，且图像关于点对称，则下列选项正确的是（    ）
A．周期 B．
C．在上单调 D．函数在上可能有2023个零点
【答案】C
【分析】由，且图像关于点对称，得到的周期为4，结合满足在上单调递增，结合周期性与对称性得到在单调递减，分别判定选项即可.
【详解】所以的对称轴为，且，又图像关于点对称，则，所以，，所以，所以，所以的周期为4，故A错误.
根据周期性，且,又对称轴为，所以，且函数满足在上单调递增，所以，所以，所以B错误；
函数满足在上单调递增，且周期为4，所以函数满足在上单调递增，又图像关于点对称，所以在单调递增，又对称轴为，所以在单调递减，且在单调递减，且，所以在单调递减，所以C正确；
对于D，在上有且仅有2个零点，且周期为4，在上有且仅有1010个零点，在上有且仅有2个零点，函数在上可能有1012个零点，所以D错误.
故选：C.
2.定义域在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点的和是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出函数与直线的图像，利用数形结合即可求得所有零点之和.
【详解】由题意可知：函数的零点，等价于函数与直线的交点的横坐标，
作函数与直线的图象如下：

结合图象，设函数的零点分别为，
则由对称性可知：，又有：，解得：，
故，故选：D
3.函数的所有零点之和为（    ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】结合函数的对称性求得正确答案.
【详解】令，得，图象关于对称，在上递减.
，令，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称，，在上递增，
所以与有两个交点，两个交点关于对称，所以函数的所有零点之和为.
故选：B
【题型五】利用轴对称求零点
【典例分析】
已知函数有唯一零点，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将函数变形，换元后得到，研究得到为偶函数，由有唯一零点，得到函数的图象与有唯一交点，结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0，代入后求出.
【详解】有零点，则，
令，则上式可化为，因为恒成立，所以，
令，则，故为偶函数，
因为有唯一零点，所以函数的图象与有唯一交点，
结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0，故.故选：D

【提分秘籍】
基本规律
.利用函数的对称轴垂直于x轴的性质，可以知道零点关于对称轴左右对称。
要注意对称对称轴与x轴交点是否也是函数的零点
对称轴的基础性质：
①f(a－x)＝f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称；
②f(2a－x)＝f(x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称
【变式训练】
1.已知函数，现有如下说法：①函数的图象关于直线对称；②函数在上单调递减；③函数有两个零点．则其中正确说法的个数为（    ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由题可得，又为偶函数，且在上单调递增，再结合零点存在定理即可判断.
【详解】由题意得，，
令，定义域为R，可知，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，则函数的图象关于直线对称，故①正确；
∵，函数在上单调递增，函数在定义域上单调递增，
∴在上单调递增，
∴函数在上单调递增，故②错误；
由①②可知，函数在上单调递减，在上单调递增，∴，
又，，
函数有两个零点，故③正确．
综上，正确说法的个数为2.
故选：C．
2.已知函数有唯一零点，则实数（    ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】设，由函数奇偶性定义得到为偶函数，所以函数的图象关于直线对称，由零点唯一性得到，求出的值.
【详解】设，定义域为R,
∴，
故函数为偶函数，则函数的图象关于y轴对称，故函数的图象关于直线对称，
∵有唯一零点，∴，即．故选：D．
3.已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（    ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】首先利用方程组法求函数的解析式，由解析式判断的对称性，利用导数分析的单调性及极值点，根据函数有唯一的零点知极小值，即可求正实数值.
【详解】由题设，，可得：，
由，易知：关于对称.
当时，，则，
所以单调递增，故时单调递减，且当趋向于正负无穷大时都趋向于正无穷大，
所以仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即，解得.
故选：C

【题型六】利用周期求零点
【典例分析】
定义在R上的函数满足，且当时，.则函数的所有零点之和为（    ）
A．7 B．14 C．21 D．28
【答案】B
【分析】根据分析得到是周期为4的周期函数，且关于点对称，函数的所有零点之和即为函数与的图像的交点的横坐标之和，画出函数图象，数形结合求出答案.
【详解】依题意，是奇函数.又由知，的图像关于对称.

，
所以是周期为4的周期函数.
，
所以关于点对称.
由于
从而函数的所有零点之和即为函数与的图像的交点的横坐标之和.
而函数的图像也关于点对称.
画出，的图象如图所示.由图可知，共有7个交点，所以函数所有零点和为.

故选：B

【提分秘籍】
基本规律
周期的概念在第五章三角函数中才有详细的学习，但是可以在函数的学习过程中提前引入，并借助周期来解决一些函数图像画草图的应用。
常见的周期函数有：
f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a.

【变式训练】
1.定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题可得函数的周期为2，函数与的图象在区间上有4个交点，利用数形结合即得.
【详解】因为定义在R上的函数满足，
所以，即是周期为2的函数，
由，可得，
因为在区间上函数恰有4个不同的零点，
所以函数与的图象在区间上有4个交点，
作出函数与的大致图象，

由图象可知，解得，即实数m的取值范围为.故选：D.
2.设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析可知，函数的周期为4，作出函数的图像，依题意可得数与的图像在上有4个不同的交点，然后分及讨论即可．
【详解】解：函数是定义在上的奇函数，当时，，
当时，，所以，
即当时，
又对任意，都有，则关于对称，且，
，即函数的周期为，
又由函数且在上恰有个不同的零点，
得函数与的图像在上有个不同的交点，又，
当时，由图可得，解得；

当时，由图可得，解得．
综上可得.故选：C．
3.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数，将函数零点转化为求两个函数图象交点的个数即可，作出图象观察得出结论.
【详解】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．
在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：

观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．故选：D.
4.已知函数满足，当时，，则在上的零点个数为（    ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【分析】由题意可得函数的周期为，令可知当时，有两个零点，又因为，即可得出在上的零点个数.
【详解】因为函数满足，所以，
所以函数的周期为，当时，，
令，解得：或或（舍去），
所以当时，有两个零点，
所以在上的零点个数为，
又因为，所以在上的零点个数为个.
故选：D.

【题型七】水平线法求零点
【典例分析】
设函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求导得出的单调性，进而画出的图象，将题设转化为函数与有两个交点，结合图象求出实数的取值范围即可.
【详解】当时，函数单调递增；当时，，则时，，
所以当时，，时，，故当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取极小值，极小值为，作出函数的图象如图：

因为函数有两个零点，所以函数与有两个交点，所以当时
函数与有两个交点，所以实数的取值范围为.
故选：D.


【提分秘籍】
基本规律
水平线法求交点，要注意一些函数有水平渐近线，如指数函数，反比例函数及平移后的反比例函数

【变式训练】
1.已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据的性质画出函数图像，将问题化为与有2个交点，数形结合求的范围.
【详解】由题意，与有2个交点，当时，递增且值域为；
当时，在上递减，上递增且值域为；
所以的图像如下：
由图知：时，有2个零点.故选：A
2.已知函数，若函数恰有两个零点则实数的取值范围是(    )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令g(x)=0得，作出h(x)图象，数形结合判断y=h(x)与y=a图象有两个交点时a的范围即可．
【详解】，
令，
则，
作出h(x)的图象：

如图y=h(x)与y=a的图象有两个交点时，，故选：A．
3.已知函数，则“”是“函数有两个零点”的(    )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】作出f(x)的图像，函数有两个零点，即y＝f(x)图像与y＝1图像有两个交点，数形结合即可求出k的范围，根据充分条件和必要条件的概念即可判断正确选项．
【详解】f(x)的图像如图所示，

函数有两个零点，即y＝f(x)j图像与y＝1图像有两个交点，
由图可知，，即00，令f(x)＝0，则x＝0或x＝－3或x＝1，即f(x)有三个零点，满足题意；
②m≠0时，令f(x)＝0，
则x＞0时，，则(*)，
x≤0时，(**)，
显然x≤0时的方程(**)最多有两个负根，而x＞0时的方程(*)最多只有一正根，
为了满足题意，则x＞0时必有1根，则1－m＞0，且根为x＝，∴m＜1；
x≤0时方程必然有两个负根，则，
∴0＜m＜1；综上所述，m∈.故答案为：.
7．已知函数，给出下列四个命题：（1）在定义域内是减函数；（2）是非奇非偶函数；（3）的图象关于直线对称；（4）是偶函数且有唯一一个零点.其中真命题有___________.
【答案】（1）（4）
【分析】根据复合函数单调性可判断（1）；由奇偶性定义可判断（2）；取特值可排除（3）；由奇偶性和单调性可判断（4）.
【详解】函数可看成函数与函数的复合函数，
（1）函数在R上是增函数，函数在上是减函数，故在定义域内是减函数，真命题；
（2），且，故是奇函数，假命题；
（3），，若，则，假命题；
（4）是奇函数，则是偶函数，且当时，在上是增函数，故，函数有唯一一个零点0，真命题.
故答案为：（1）（4）
8．已知函数在上单调递增，且对于任意的实数都有成立，若的零点所在的区间是，则整数的值为______．
【答案】1
【分析】根据题意，求得，再根据零点存在定理判断函数的零点所在的区间，即可求得.
【详解】因为函数在上单调递增，且对于任意的实数都有成立，
故可得为常数，即，又，
故，解得，故，则，
因为都是上的单调增函数，故可得也是上的单调增函数，
又当时，，当时，，故其零点在在区间，
故整数.
故答案为：.