专题19 三角函数图像及性质-2023-2024学年度高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版必修第一册）

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专题19 三角函数图像及性质

目录
【题型一】三角函数图像1：识图 1
【题型二】三角函数图像2：三角函数与幂指对复合函数图像 4
【题型三】图像平移1：异名平移（正、余互移） 6
【题型四】图像平移2：有图平移 8
【题型五】图像平移3：最小距离平移 11
【题型六】图像平移4：恒等变形平移 13
【题型七】图像平移5：对称轴 15
【题型八】图像平移6：对称中心 17
【题型九】图像平移7：最值 19
【题型十】图像与水平线交点 22
【题型十一】图像单调性 24
【题型十二】图像求周期 26
【题型十三】图像求区间值域与最值 28
培优第一阶——基础过关练 29
培优第二阶——能力提升练 33
培优第三阶——培优拔尖练 39






【题型一】三角函数图像1：识图
【典例分析】
已知函数（其中，，）的部分图像如下图，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由图像最高的与最低点x的距离得出的周期，通过周期得到；
再由函数最小值点的x值与三角函数性质得出；
再由图像上两点代入得出，；
通过周期得到即可代入得出答案.
【详解】设图中最高点的， 由正弦型函数的性质可得是的一条对称轴，则，
则由图可得，则，，，
，且为最小值点的x值，，即，
，，，由图知上的点与，
代入得：，化简为，解得，
则，的周期为，.故选：B.

【提分秘籍】
基本规律
已知的部分图象求其解析式时，比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：
(1)由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令(或)，即可求出.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

【变式训练】
1.已知函数的图象如图所示．则（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由五点法列出方程组，结合的范围求解即可.
【详解】由图可知，解得.故选：B
2.智能降噪采用的是智能宽频降噪技术，立足于主动降噪原理，当外界噪音的声波曲线为时，通过降噪系统产生声波曲线将噪音中和，达到降噪目的．如图，这是某噪音的声波曲线的一部分，则可以用来智能降噪的声波曲线的解析式为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出噪音的声波曲线的函数表达式，则其相反数即为智能降噪的声波曲线.
【详解】由图可知，，噪音的声波曲线的最小正周期，则．
因为噪音的声波曲线过点，所以，
则．又，所以，即噪音的声波曲线为，则可以用来智
3.函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函数图象得到、，即可求出，再根据函数过点及的取值范围，求出，即可得解.
【详解】解：由函数图象可得，，所以，又，解得，
所以，由函数过，所以，
所以，，所以，，
又，所以，所以.故选：B

【题型二】三角函数图像2：三角函数与幂指对复合函数图像
【典例分析】
函数在上的图象大致是（    ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性和特殊值求得正确答案.
【详解】，
所以是偶函数，图象关于轴对称，排除AB选项.
，所以，所以，排除C选项.
所以D选项正确.
故选：D


【提分秘籍】
基本规律
含有幂指对与三角函数的复合函数型图像（复符合“超越”函数规律）
1.利用复合函数图像的整体奇偶性判断。
2.利用特殊值特殊点的坐标判断。
3.利用极限值（x=0与x）判断
4.利用函数正负判断。

【变式训练】
1.函数的部分图象大致为（    ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.
【详解】因为，定义域为R。所以
所以为奇函数，且，排除CD
当时，，即，排除A。故选：B.
2.函数的部分图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性和代入特殊值即可求解.
【详解】由已知条件得函数的定义域关于原点对称，
∵，
∴为偶函数，函数的图象关于轴对称，则排除选项、,
又∵，
∴排除选项，故选：.
3.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据图象可得函数为奇函数，从而可排除BC，再根据函数在局部范围的函数值的符号可得正确的选项.
【详解】A的函数即为，
当时，，故排除A
由图象可知关于原点对称，则为奇函数，排除B，C.
故选：D.

【题型三】图像平移1：异名平移（正、余互移）
【典例分析】
为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（       ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】先得到，再利用平移变换求解.
【详解】解：因为，
将其图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象.A，B，C都不满足.
故选：D


【提分秘籍】
基本规律
函数名称不一致的平移，有两种方法：
1.诱导公式化同名。一般情况下，有正弦有余弦，可以利用诱导公式把正弦化为余弦。因为余弦是偶函数，所以能把x负系数直接化为正系数
2.五点画图法，观察“第一零点第二零点一致性”

【变式训练】
1.已知将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数图象的平移，结合平移函数振幅和周期相等，结合题意，讨论的取值情况，即可求得结果.
【详解】依题意，
两边三角函数的振幅及周期应该相等，故．
若，则，不符合要求；
若，则，不符合要求；
若，则，符合要求；
若，则，不符合要求．
所以，所以．
故选：B．
2.要得到函数的图象，只需将函数的图象（        ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】A
【分析】先将化简为，再根据三角函数的图象平移即可得出答案.
【详解】，所以的图象向左平移个单位得：.故选：A.
3.要得到函数的图象，只需将函数的图象（       ）
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向右平移
【答案】D
【分析】利用诱导公式结合三角函数图象变换可得出结论.
【详解】，
因此，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度.
故选：D.
【题型四】图像平移2：有图平移
【典例分析】
已知函数 的部分图象如图所示．将函数的图象向左平移 个单位得到 的图象，则（　　）


A． ） B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图象可知，由此可求得，得到的解析式，根据三角函数图象的平移变换结合三角函数的诱导公式，即可求得答案.
【详解】由图象知，，∵，∴，又，∴，∴，∵将函数的图象向左平移个单位得到的图象，
∴，故选：D．
【变式训练】
1.函数的部分图像如图所示，现将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的表达式可以为（       ）


A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由最大值、和，结合五点作图法可求得；根据三角函数平移变换，结合诱导公式可化简得到结果.
【详解】由图像可知：，；
又，，又，，
，由五点作图法可知：，解得：，；
.
故选：B.
2.如图为函数的部分图像，将的图像上各点的横坐标变为原来的两倍，再向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（       ）


A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得f(x)的解析式，再利用函数的图像变换规律，得出结论.
【详解】根据函数的部分图像，
可得∴
再根据五点法作图，可得，
∴，∴.
将函数的图像上各点的横坐标变为原来的两倍，
可得得图像；
在向左平移个单位长度，
得到函数的图像，
故选：D.
3.已知函数的部分图像如图所示，则将的图像向左平移个单位后，所得图像的函数解析式为（       ）


A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先由图像求出，然后利用平移变换和诱导公式计算出结果.
【详解】由题，
由图，，

所以，向左平移个单位后，
得到
故选：B.

【题型五】图像平移3：最小距离平移
【典例分析】
将函数的图像向右平移个长度单位后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把函数整理成正弦型函数，利用平移以后关于轴对称即可得到的式子，根据范围即可确定的具体值.
【详解】，将图像向右平移个单位长度后，变为，
此时图像关于轴对称，所以当时，，，
则.又，则的最小值是.故选：D.


【提分秘籍】
基本规律
最小平移距离题型，往往平移后有对称轴或者对称中心。所以一般情况下，可以寻找平移前函数的对称轴或者对称中心的通用公式，比较离平移后的对称轴或者对称中心的最近距离即可

【变式训练】
1.已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后再向右平移个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由三角恒等变换公式化简与三角函数图象变换得解析式，再根据三角函数性质求解
【详解】由诱导公式可得，故，
，函数变换后得到，
图象关于y轴对称，故，得而，故的最小值为，故选：B
2.将函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线对称，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象变换，求得，结合，列出三角方程，即可求解.
【详解】将函数的图象向右平移个单位后，
可得，
因为的图象关于直线对称，，
即，可得，解得，
又因为，所以的最小值为.
故选：A.
3.将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线对称，则的最小正值为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的变换规则得到变换之后的解析式，再根据函数的对称性求出的取值，从而得解；
【详解】解：将函数的图象向右平移个单位得到，
再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的所得图象的解析式．
因为所得图象关于直线对称，所以当时函数取得最值，所以，，
解得，．当时，取得最小正值为，故选：D．10.

【题型六】图像平移4：恒等变形平移
【典例分析】
将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则的单调递增区间是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先利用三角恒等变换化简，得到，再根据平移和伸缩变换得到的解析式，利用整体法求解出单调递增区间.
【详解】，
则，令，
解得：，故选：A


【提分秘籍】
基本规律
图像平移，一般情况下，要通过诱导公式与恒等变形把三角函数“化一”为辅助角形式，进而观察平移方向和平移距离。

【变式训练】
1.设，把的图像向左平移个单位后，恰好得到函数的图象，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．因为函数，然后将其图像向左平移个单位后得到：，即，又因为
，所以，即
，当时，，故应选．
2.已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数平移变换和两角和差公式可构造方程组求得，代入即可.
【详解】，
，解得：，.故选：B.
3.．已知奇函数的周期为，将函数的图像向右平移个单位长度，可得到函数的图像，则下列结论正确的是（    ）
A．函数
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图像关于直线对称
D．当时，函数的最大值是
【答案】C
【分析】利用辅助角公式变形函数，由已知求出，再借助平移变换求出，然后利用正弦函数性质逐项判断作答.
【详解】依题意，，则有，又是奇函数，于是得，
因，即有，，因此，A不正确；
当时，，而函数在上不单调，
因此函数在区间上不单调，B不正确；
当时，，为的最小值，因此函数的图像关于直线对称，C正确；
当时，，即有，，，D不正确.
故选：C

【题型七】图像平移5：对称轴
【典例分析】
将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若的图象关于直线对称，则（       ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】由平移变换写出的表达式，由的对称性求得，然后计算函数值．
【详解】由已知，
的图象关于直线对称，则，又，所以，
所以，所以．
故选：D．

【提分秘籍】
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
对称轴
方程
x＝＋kπ
(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)

基本规律










【变式训练】
1.已知函数的最小值周期为，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题可得， ，进而可得，然后利用三角函数的性质即得.
【详解】由题可得，即，则函数的解析式为，
将的图象向右平移个单位长度所得的函数解析式为：
，又函数图象关于轴对称，
当时，，则①，
令，可得：，其余选项不适合①式.。故选：B．
2.将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据三角函数图象的变换得到的解析式，然后由为偶函数可得答案.
【详解】将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到函数的图象，
再将所得图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
因为，所以为偶函数，所以，
解得，又，所以的最小值为．故选：D．
3..已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．为偶函数
B．的图象向右平移个单位长度后得到的图象
C．图象的对称中心为，
D．在区间上的最小值为
【答案】A
【分析】根据函数最大值和最小正周期可得，由可得，从而得到解析式；由可确定奇偶性，知A正确；根据三角函数平移变换原则可得B错误；利用整体代换法，令可求得对称中心，知C错误；由，结合正弦函数性质可确定最小值为，知D错误.
【详解】，，；
由图象可知：最小正周期，，
又，，解得：，
又，，；
对于A，，
，为偶函数，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，令，解得：，
的对称中心为，C错误；
对于D，当时，，
当，即时，，D错误.
故选：A.

【题型八】图像平移6：对称中心
【典例分析】
已知函数的图象向右平移个单位长度后， 得到函数 的图象， 若的图象关于原点对称， 则 （       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数平移关系求出，再由的对称性，即得.
【详解】由题可知图象关于原点对称，
所以，因为，所以．故选：C.

【提分秘籍】
基本规律
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(＋kπ，0)
(k∈Z)
(，0)(k∈Z

【变式训练】
1.将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，若是函数图像的一个对称中心，则函数的一个单调递减区间为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数变换可得，根据对称中心可得，进而可得解析式与单调区间.
【详解】由题意知，，所以
因为是函数的一个对称中心，则，即（），
因为，可得，所以函数，令，
解得（），故选：B.
2.若函数(其中)图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，且函数在该对称轴处取得最小值，为了得到的图象，则只要将f（x）的图象（　　）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】D
【分析】由条件先求函数的解析式，再化为同名函数，再按照平移变换规律求解
【详解】解：函数图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，
所以，所以.因为函数在时取得最小值，
所以，，∴   ，∵∴
∴
根据平移变换规律可知，向左平移个单位，可得函数，
所以向左平移个单位可得的图象，故选：3.
3.将最小正周期为的函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的对称中心为（       ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】由题可得，利用图象变换可得，然后利用正弦函数的性质即得.
【详解】∵函数最小正周期为，
∴，即，，
∴，
由可得，
故函数的图象的对称中心为.故选：C.


【题型九】图像平移7：最值
【典例分析】
将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由图像平移求得的解析式，再利用换元法结合题设条件，得到关于的不等式组，解之即可.
【详解】因为向右平移个单位，得到函数，
所以，
令，则在上单调递增，
因为在上为增函数，故由，，得，即，
所以在上为增函数，故，即，解得，
故，因为，所以，所以由得，故，
所以，即故选：B.

【提分秘籍】
基本规律
大多数时候，是代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用单调区间，再结合图形解出值或者范围。

【变式训练】
1.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象变换关系求出的解析式，利用函数的单调性建立不等式进行求解即可．
【详解】解：将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，
即，若在上单调递减，
则的周期，即，得，
由，，得，，
即，即的单调递减区间为，，
若在上单调递减，则，，
即，，当时，，即的取值范围是.
故选：D．
2.已知函数的最小正周期为，将其图象沿x轴向左平移个单位，所得图象关于直线对称，则实数m的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知，先对函数进行化简，根据最小正周期为，求解出，然后根据题意进行平移变换，得到平移后的解析式，再利用图象关于直线对称，建立等量关系即可求解出实数m最小值.
【详解】解：
，
即，由其最小正周期为，即，解得，
所以，
将其图象沿轴向左平移（）个单位，所得图象对应函数为，
其图象关于对称，所以，所以 ，
由，实数的最小值为.故选：A.
3.将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.

【题型十】图像与水平线交点
【典例分析】
若函数的图象在上与直线只有两个公共点，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
由已知在上有两个解，数形结合可知，求解，根据k的取值求得结果.
【详解】
因为，所以，
令，由已知得在上有两个解，
可知在上有两个解，

由题意得，解得
当时，，不等式组无解.
当时，，得.
当时，，得.
当时，，不等式组无解.
综上，的取值范围是.
故答案为：

【提分秘籍】
基本规律
水平线型直线与三角函数交点，可以从对称轴，对称中心，函数周期等几方面入手。特别是三角函数对称轴是两个交点的中点所在的直线。

【变式训练】
1.已知函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，则的图像的一个对称中心是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定信息，结合正切函数的性质求出，再列出方程可求解.
【详解】由函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，
则有的周期，解得，
于是得，
所以的图像的对称中心横坐标方程满足，（），
解得，（）,可知为其一个对称中心.
故选：C
2.正弦函数的图象与直线交点的个数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据方程的根的个数进而可求.
【详解】令，因为所以 ，故只有一个交点.
故选:B
3.．函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的值是（    ）
A．0 B．1
C．-1 D．
【答案】A
【分析】根据给定条件求出函数的周期可得，再代入即可求.
【详解】因函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的周期为，则，解得，即，于是得．
故选：A．
【题型十一】图像单调性
【典例分析】
下列区间中，函数单调递增的区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式，结合余弦型函数的单调性进行判断即可.
【详解】，
当时，，显然该集合是的子集
此时函数单调递减，不符合题意；
当时，，显然该集合不是的子集
此时函数不单调递增，不符合题意；
当时，，显然该集合是的子集
此时函数单调递增，符合题意；
当时，，显然该集合不是的子集
此时函数不单调递增，不符合题意，
故选：C

【提分秘籍】
基本规律
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
单调性
[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增；
[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减
[－π＋2kπ，2kπ]
(k∈Z)上递增；
[2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z)上递减
(－＋kπ，＋kπ)
(k∈Z)上递增

【变式训练】
1.设函数，则（    ）
A．在区间上是单调递减的 B．是周期为的周期函数
C．在区间上是单调递增的 D．对称中心为，
【答案】A
【分析】先当时，，又是偶函数，由此可判断命题的真假.
【详解】当时，，在上是单调递减的，故A正确；
是偶函数，无周期性，故B错误；
是偶函数，在单调递减，故C错误；
是偶函数，无对称中心，故D错误；
故选：A
2.．已知函数与在下列区间内同为单调递增的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正余弦函数的单调性，即可得到结果.
【详解】由正弦函数的单调性可知，函数在上单调递增；

由余弦函数的单调性可知，函数在上单调递增；

所以函数与在下列区间内同为单调递增的是.
故选：D.
3.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的值可能为（    ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】先利用平移变换得到，再根据函数在区间上单调递增，利用正弦函数的性质求解.
【详解】解：将函数的图象向左平移个单位，得到函数，
因为，所以，又因为函数在区间上单调递增，所以，解得，
所以的值可能为，故选：B

【题型十二】图像求周期
【典例分析】
下列四个周期函数中，与其它三个函数周期不一致的函数是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据各自的特点，分别求出函数的周期即可判断.
【详解】对于A，，周期为；
对于B，，周期为；
对于C，，周期为；
对于D，若周期为，
则，，
故的周期不是.
故选：D

【提分秘籍】
基本规律
周期公式：
①y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝
②y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期T＝.
求周期：
1.化一法：恒等变形，化为正余弦形式
2.数形结合

【变式训练】
1.已知函数在单调递增，在单调递减，则的最小正周期为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由三角函数的单调性分析可得在处取得最大值，可求得的值，再算出最小正周期．
【详解】根据题意，函数在上单调递增，在上单调递减，
则在处取得最大值，则有，变形可得，
由题意最小正周期，，
当时，，最小正周期．故选：D
2.以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（      ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据常见函数的奇偶性，单调性以及周期即可求解.
【详解】对A，最小正周期为，且在上为增函数，并为奇函数，不满足要求；
对B，在上为减函数，且以为周期的偶函数，符合要求；
对C，在上为增函数，且为偶函数，不符合要求;
对D,在上为减函数，但是以为周期的偶函数，不符合要求；
故选：B
3.的最小正周期是（     ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】化简可得，根据正弦函数的周期可得.
【详解】因为，
因为的最小正周期为，所以的最小正周期为，
所以的最小正周期为.故选：A.
【题型十三】图像求区间值域与最值
【典例分析】
已知函数，现将的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数，根据函数图象的平移变换与伸缩变换法则，可得到函数，由，可得到，利用正弦函数的单调性即可求出结果.
【详解】将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，
因为，所以，所以，
所以在上的值域为，故选：A.
【变式训练】
1.已知在区间上的最大值为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出，再根据解方程即可.
【详解】因为，即，
又，所以，所以，
所以，．故选：A．
2.已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值和最小值分别是（    ）
A．2和－2 B．2和0
C．2和－1 D．和
【答案】C
【分析】由最小正周期可求出的值，即可得函数的解析式，再利用已知条件中的取值范围，求出的最大值和最小值.
【详解】由题知，得，即函数,
又∵，∴,即，，
故函数的最大值为2，最小值为－1.故选：.
3.函数在上的值域为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦型函数的图像和单调性即可求解.
【详解】当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为
故选：C
分阶培优练

培优第一阶——基础过关练
1．将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得图象的函数解析为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平移过程写出解析式即可.
【详解】由题设，平移后的解析式为.
故选：B
2．要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【分析】根据函数图像的平移满足“左加右减，上加下减”进行求解即可.
【详解】将函数向左平移个单位长度可得
.
故选：A.
3．将函数的图象向左平移个单位后与的图象重合，则（      ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用三角函数的图象变换可求得函数的解析式.
【详解】由已知可得.
故选：C.
4．将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的一个对称中心是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据图象变换，求出变换后的函数解析式，然后根据解析式求解中心.
【详解】函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为：，再向右平移个单位得到图象的解析式
当时，，所以是函数的一个对称中心.
故选：B.
5．函数的图象如图所示，现将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图像求出正弦型函数基本量，再由通过平移得解.
【详解】由图可知，过点，解得，
将的图像向右平移个单位
得到.
故选:D.
6．已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值和最小值分别是（    ）
A．2和－2 B．2和0
C．2和－1 D．和
【答案】C
【分析】由最小正周期可求出的值，即可得函数的解析式，再利用已知条件中的取值范围，求出的最大值和最小值.
【详解】由题知，得，即函数,
又∵，∴,即，
，
故函数的最大值为2，最小值为－1.
故选：.
7．为了得到函数的图像，只需把函数图像上所有点（    ）
A．向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
B．向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍
C．向左平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
D．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
【答案】A
【分析】利用三角函数图象变换规律求解即可
【详解】将向左平移长度单位，得到，再把所得的各点的横坐标缩短到原来的，可得的图象，
故选：A
8．已知曲线，曲线的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．将曲线先向右平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的2倍得到
B．将曲线先向右平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的倍得到
C．将曲线先向右平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的2倍得
D．将曲线先向右平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的倍得到
【答案】A
【分析】先求对应的函数解析式，从而可得两者之间的变化过程.
【详解】因为图象过，故，而，故，
又图象在轴右侧的第一个对称中心为，故，
故，故.
将变化为， 可先把向右平移个单位，得到的图象对应的函数为，
然后，纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，则可得，
故选：A.
9．已知函数，下列说法错误的是（    ）
A．的图象的一个对称中心为
B．的图象的一条对称轴为直线
C．在上单调递增
D．函数的图象向左平移个单位长度后得到的是一个奇函数的图象
【答案】A
【分析】代入法验证A、B的正误；应用整体法求的递增区间判断C；根据图象平移及正弦函数的性质判断D.
【详解】对A：
∵，
∴不是的图象的对称中心，A错误；
对B：
∵为最小值，
∴直线是的图象的对称轴，B正确；
对C：
令，则，
故的单调递增区间为，
当时，在上单调递增，C正确；
对D：
函数的图象向左平移个单位长度后得到，是奇函数，D正确；
故选：A.
10．将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称中心的坐标是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】函数的图象向右平移个单位长度，得到，再利用三角函数的图象的对称性，可得答案．
【详解】函数的图象向右平移个单位长度，
所得函数图象的解析式为，
令，得．
令k＝0，则，
即平移后的图象中与y轴最近的对称中心的坐标是.
故选：A



培优第二阶——能力提升练
1．把函数 y＝cos 的图象适当变换就可以得到y＝sin(－3x)的图象，这种变换可以是（    ）
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
【答案】D
【分析】根据图象变换的规则及三角公式先将变成，再提取系数3，由平移的规则研究即可．
【详解】，
函数的图象向左平移可以得到的图象
故选：D．
2．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】向左平移得到，化简即得解.
【详解】解：将函数的图象向左平移个单位长度得到，
又所以.
故选：B
3．已知函数（，，）的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移（）个单位长度，所得图象关于直线对称，则的最小值为（    ）.

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象可得的周期，振幅和过，即可求出其解析式，然后可得平移后的解析式，然后根据对称性求出答案即可.
【详解】设的最小正周期为，由图知，，
∴，∴，∴，
将代入，得，又，∴，∴，
将的图象向左平移，所得函数的解析式为：
，
∵的图象关于直线对称，∴（），
∴（），∵，∴的最小值为，
故选：C.
4．若，对任意实数，都有，记，则的值为（    ）
A．0 B．-1 C． D．
【答案】A
【分析】先根据条件得到函数的对称轴，从而有或1，因此可得，从而获解.
【详解】由，可知是的一条对称轴，
∴或1，
∴，∴.
故选：A.
5．将函数的图象向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，下面所给四个结论中正确的是（    ）
A．函数在上的最大值为
B．将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称
C．点是函数图象的一个对称中心
D．函数在区间上为增函数
【答案】D
【分析】利用的图象变换规律求出的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，即可得出结论.
【详解】由题意知，函数图象向左平移个单位，得，
再将横坐标变为原来的2倍，得.
A：由，得，此时在
上单调递减，所以.故A错误；
B：将图象向右平移个单位，得，
它不是奇函数，图象不关于原点对称.故B错误；
C：当时，，故点不是函数图象的一个对称中心，故C错误；
D：由，得，此时在上为增函数，故D正确.
故选：D
6．函数的图像与直线在区间上恰有三个交点，其横坐标分别为，，，则的取值范围为____________________
【答案】
【分析】根据上，求解的范围，结合三角函数的图象，即可求解的取值范围．
【详解】解：由题意上，那么上，
则当时，；当时，；当时，；
且
如下为函数在上的图象：

直线在与有三个交点，则，
不妨设，
根据三角函数的图象及性质，可得，关于直线对称，而，
那么，的取值范围．故选答案为：．
7．已知函数，下列说法中正确的有____________（写出相应的编号）
①：将图象向左平移个单位长度，得到的新函数为奇函数
②：函数在上的值域为
③：函数在上单调递减
④：，关于x的方程有两个不等实根，则
【答案】④
【分析】根据函数的平移变换可得解析式，结合诱导公式化简即可判断①；根据函数在区间内的单调性结合函数取值情况即可判断②，③，④.
【详解】解：将的图象向左平移个单位长度得函数，函数为偶函数，故①错误；
当，，，故②错误；
当，，则当时单调递减，当时单调递增，故③错误；
当，，则当时单调递增，当时单调递减，又，
关于x的方程有两个不等实根，则，故④正确.
故答案为：④.
8．如图是函数的部分图像，A是图像的一个最高点，D是图像与y轴的交点，B，C是图象与x轴的交点，且，的面积等于．则的解析式为__________．

【答案】
【分析】先由最大值得到，再由面积求得的长度，即半个周期，从而求得，再代入点求得，由此得到的解析式.
【详解】由图像可知，的最大值为，又，所以，
因为的面积等于，所以，则，
所以，即，得，又，故，
将代入，得，即，
因为，所以，
所以.
故答案为：.
9．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位得到的图象，若不等式在，上恒成立，则的取值范围是 __．

【答案】
【分析】先根据图象的变换规律求出的解析式，进而求出在上的值域，再利用换元法，结合函数性质，求出最值解决问题．
【详解】解：依题意有，
，
所以，所以，
由图知，函数的最小正周期满足：，
所以，则，令得，
所以，
所以，
当时，，
故，所以，
令，
原不等式即化为在，上恒成立，
令，该二次函数开口向上，要使上式恒成立，只需：
，解得，
故的范围是．
故答案为：．
10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值是______．
【答案】
【分析】根据图象的平移得到，利用列方程，解方程得到，然后根据即可得到的最小值.
【详解】函数的图象向左平移t个单位长度，得到函数的图象，又，所以，解得，因为，所以当时，取最小值，．
故答案为：.




培优第三阶——培优拔尖练
1．已知函数的部分图像如图所示，则满足的最小正整数x的值为_______．

【答案】1
【分析】先根据图像求得，再解求得最小正整数x．
【详解】解：由题意得函数f（x）的最小正周期，
解得，所以．又，所以，
即，所以，解得．
由，得，所以，所以．
由，可得，则或，即或．① 由，可得，
解得，此时正整数x的最小值为2；② 由，
可得，解得，
此时正整数x的最小值为1．综上所述，满足条件的正整数x的最小值为1．故答案为：1．
2．已知函数f（x）＝sin（2x＋φ），其中φ为实数，若对x∈R恒成立，且，要得到函数y＝cos2x的图象，需将函数y＝f（x）的图象沿x轴平行，则最短的平移距离为_________个单位．
【答案】
【分析】先根据题意得出函数的对称轴，再利用函数的周期求出参数，最后再根据图象的平移求出结果即可.
【详解】由可得为函数的一条对称轴，
则函数的周期为，所以，，
所以也是函数的一条对称轴，
，，∴处取最大值
，∴，

向右平移个单位变为．此时平移距离最小.
故答案为：.
3．将函数()的图象向左平移个单位长度,得到曲线.若关于轴对称,则的最小值是______．
【答案】##0.5
【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式对函数进行化简得,再利用图像得平移得到曲线对应得函数解析式为,根据关于轴对称,令,解出即可得到结果.
【详解】
设线所对应的函数为,则
,的图像关于轴对称,,,
解得:,,的最小值是.故答案为:.
4．将函数的图像先向右平移个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像，则的一个可能取值是______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据辅助角公式，结合平移变换得，，进而可得答案.
【详解】解：函数的图像先向右平移个单位，得到的图像，
再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的倍，得到的图像，
所以，，解得，
所以，的一个可能取值为.故答案为：
5．若函数的图像向左平移个单位长度后所得函数图像关于对称，则的最小值为______.
【答案】
【分析】先求出平移后的解析式，得到对称轴方程，把代入即可求解.
【详解】将函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数.
其对称轴：，代入，得，解得：.
因为，所以当时，.故答案为：.
6．已知函数图像的两条相邻对称轴之间的距离小于，且，则的最小值为___________.
【答案】13
【分析】先由对称轴间的距离确定了，再利用得到，依次利用诱导公式与基本关系式求得、、的关于表达式，求出的值，进而得到，即可得到结果.
【详解】，，
因为两条相邻对称轴之间的距离小于，即，故，所以，
因为在处取得最大值，所以，即，
所以，
所以，因为，所以，
即，
所以，
所以，
又，
解得，又，所以，所以，又，
所以，解得，又，所以的最小值为13.
故答案为：13.
7．已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______．
【答案】4或10##10或4
【分析】根据可求出f(x)的一条对称轴，根据该对称轴可求出ω的表达式和可能取值，结合y＝sinx的图像，根据在区间上有最小值无最大值判断ω的取值范围，从而判断ω的取值.
【详解】∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴，
∴，∴，k∈Z，
∵ω＞0，∴.
当时，，
y＝sinx图像如图：

要使在区间上有最小值无最大值，则：
或，
此时ω＝4或10满足条件；区间的长度为：，当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件.
综上，ω＝4或10.故答案为：4或10.
8．已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正偶数x为___________.

【答案】4
【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正偶数.
【详解】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得；
由，即，
∴或，
解得或，
令，可得或，
所以最小正偶数为4.
故答案为：4.
9．函数，已知且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为______.
【答案】5
【分析】根据已知条件，利用和建立起关于的等量关系，然后根据在上单调，卡出的范围，在前面的等量关系中选取合适的值即可.
【详解】因为函数，，
所以，
所以，,
因为于任意的都有，所以，
所以，
所以，
所以
或，
所以或，
即（舍去），所以，
因为，所以，即，
令，所以，在上单调，
所以，所以，而，
当，，所以，函数在不单调，舍去；
当，，舍去；
当，，所以，函数在不单调，舍去；
当，，所以，函数在单调，
所以的最大值为5.
故答案为：5.
10．已知直线与函数的图象相交，若自左至右的三个相邻交点，，满足，则实数______.
【答案】或##或
【分析】根据题意将条件转化为直线与函数的图象相交，由三角函数的周期性结合已知得出的长并用和的横坐标之差表示，再结合和的中点函数值取最值即可求解.
【详解】解：由题知，直线与与函数的图象相交
等价于直线与函数的图象相交设，，
所以，又由得：即化简得：①
由题知点和点的中点坐标为：当直线与函数的交点在轴上方，则即，化简得：②
由①②联立得：，所以即解得：
当直线与函数的交点在轴下方，则
即，化简得：③由①③联立得：，
所以即
解得：所以或故答案为：或.
【点睛】关键点睛：本题的关键是设坐标之后列方程求出或者的整体，进而求出，并且要讨论交点在正弦型函数的下半部分和上半部分的情况.