专题21 三角函数性质综合应用-2023-2024学年度高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版必修第一册）

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专题21 三角函数性质综合应用

目录
【题型一】正余弦对偶式求值 1
【题型二】辅助角范围型 2
【题型三】零点型范围：利用对称轴等性质求范围 3
【题型四】 利用对称中心求范围 3
【题型五】三角函数与幂指对函数的交点 4
【题型六】三角函数比大小 5
【题型七】三角函数奇偶性应用 6
【题型八】正切函数与均值求最值 7
【题型九】三角函数单调性与最值 7
【题型十】三角函数有界消元型 8
【题型十一】三角函数应用：换元型 8
培优第一阶——基础过关练 9
培优第二阶——能力提升练 10
培优第三阶——培优拔尖练 12






【题型一】正余弦对偶式求值
【典例分析】
在△ABC中，如果，则∠C的大小为（       ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°

【提分秘籍】
基本规律
正余弦对偶式：正弦对应余弦，余弦对应正弦，系数一致（不涉及正负号）
正余弦对偶式可以考虑整体话思想，两式平方后相加，结合同角的三角函数关系，以及两角差的正余弦公式。
【变式训练】
1.已知，，则__________.

2.已知，则_______________．

3.已知，，，则（       ）
A． B．
C． D．

【题型二】辅助角范围型
【典例分析】
若，函数f(x)=3sinωx+4cosωx0≤x≤π3的值域为，则cosπ3ω的取值范围是________.

【提分秘籍】
基本规律
1.若角度是全体实数时。辅助角范围满足：
2.角度不是全体实数时，可以借助单位圆或者三角函数图像单调性求对应的值域。
【变式训练】
1.若存在正整数m使得关于x的方程在上有两个不等实根，则正整数n的最小值是______．

2.函数的值域为
A． B． C． D．

3.已知函数在上的值域为，则的取值范围为______.

【题型三】零点型范围：利用对称轴等性质求范围
【典例分析】
将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．


【提分秘籍】
基本规律
形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程。
对应函数的零点（或者水平交线，复合方程的根），可以借助对称轴等性质来转化求解
【变式训练】
1.把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．

2.将函数的图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标保持不变，得到图象，若，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．

3..将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象.若gx1gx2=9，且，则的最大值为_______________.

【题型四】 利用对称中心求范围
【典例分析】
.已知函数的最小正周期，且是函数的一条对称轴，是函数的一个对称中心，则函数在上的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像：
1.对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；
2.正弦“第一零点”：；正弦“第二零点”：
3.余弦“第一零点”：；余弦“第二零点”：

【变式训练】
1.设函数.若，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．

2.已知函数在上的最大值为M，最小值为m，则（ ）.
A．4 B．2 C．1 D．0

3.已知（）既不是奇函数也不是偶函数，若的图像关于原点对称，的图像关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型五】三角函数与幂指对函数的交点
【典例分析】
关于的方程在上解的个数是____________.

【提分秘籍】
基本规律
利用幂指对函数与三角函数的对称性与单调性，结合图像，借助数形结合思想求解交点

【变式训练】
1.设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为__________.
2.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于2020，则满足条件的所有整数k的值是______.

3.定义在上的函数满足且.当时，.则函数在区间上所有的零点之和为__________.


【题型六】三角函数比大小
【典例分析】
设，，，，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．



【提分秘籍】
基本规律
三角函数比大小，通常从以下几方面入手：
(1)变角：目的是把角变为一个单调区间内，便于比较大小，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：函数名称变为一致，便于借助图像单调性比较大小。其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.

【变式训练】
1.若，，且，则（ ）
A． B． C． D．

2.已知,则（    ）.
A． B． C． D．

3.已知函数，设，则（    ）
A． B． C． D．

【题型七】三角函数奇偶性应用
【典例分析】
已知函数，若（），则=________ ．
【提分秘籍】
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x

奇
偶
奇
基本规律



【变式训练】
1.已知函数的图象上关于轴对称的点恰有9对,则实数的取值范围_________.


2.已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）

①绕着轴上一点旋转;
②沿轴正方向平移;
③以轴为轴作轴对称;
④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④

3..已知为正常数，f(x)=x2-ax+1,x⩾ax2-3ax+2a2+1,x