2022-2023学年河南省信阳市光山县八年级下学期期末数学试卷（文字版含答案解析）

这是一份2022-2023学年河南省信阳市光山县八年级下学期期末数学试卷（文字版含答案解析），共20页。试卷主要包含了精心选一选.，耐心填一填.，用心做一下列各题.等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省信阳市光山县八年级（下）期末数学试卷
一、精心选一选.（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．1，2，3 B．4，5， C． D．6，8，12
3．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为（　　）

A． B．3 C． D．2
4．（3分）对于函数y＝﹣2x+3下列说法错误的是（　　）
A．y随x的增大而减小
B．它的图象与y轴的交点是（0，3）
C．当x＜3时，y＜0
D．它的图象不经过第三象限
5．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学都参加了5次数学模拟测试，每个人这5次成绩的平均数都是108分，方差分是，，，，则这5次测试成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）下列命题中正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
8．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝10，BD＝6，AD＝4，则▱ABCD的面积是（　　）

A．12 B．12 C．24 D．30
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b交直线y＝mx+n于点P（1，2），则关于x的不等式kx+b＞mx+n的解集为（　　）

A．x＞1 B．x＞2 C．x＜2 D．x＜1
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（　　）

A．13 B．20 C．25 D．34
二、耐心填一填.（每小题3分，共15分）
11．（3分）若函数在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．（3分）某超市销售同种品牌三种不同规格的盒装牛奶，它们的单价分别为10元，6元，5元，当天销售情况如图所示，则当天销售该品牌盒装牛奶的平均价格为 　 　元．

13．（3分）如图，平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交边BC于点E，AD＝10，AB＝7，则BE＝　 　．

14．（3分）如图1，在平行四边形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A运动至点A停止，设运动的路程为x，△ABP的面积为y，且y与x之间的关系如图2所示，则平行四边形ABCD的周长为 　 　．


15．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝2AD，AD＝5，M为AB的中点，CM＝6，点E是线段CM上一个动点，以CD为对角线作▱CEDF，则EF的最小值是​　 　．
​

三、用心做一下列各题.
16．（8分）（1）；
（2）已知，求代数式的值．
17．（9分）如图是某“飞越丛林”俱乐部最近打造的一款项目的示意图，BC段和垂直于地面的AB段均由不锈钢管材打造，两段总长度为26m，矩形CDEF为一木质平台的主视图．经过测量得CD＝1m，AD＝15m，请求出立柱AB段的长度．

18．（9分）某校八年级全体同学参加了某项捐款活动，随机抽查了部分同学捐款的情况，并统计绘制成了如图两幅不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共抽查学生 　 　人，并将条形图补充完整；
（2）捐款金额的众数是 　 　，中位数是 　 　；
（3）在八年级1100名学生中，捐款20元及以上（含20元）的学生估计有多少人？

19．（9分）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）求甲车从A地到达B地的行驶时间；
（2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）求乙车到达A地时甲车距A地的路程．

20．（9分）如图，▱ABCD中，AD＝BD，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：四边形BDEC是菱形；
（2）连接BE，若AB＝4，AD＝7，求BE的长．

21．（10分）某商场同时购进A，B两型号商品共200件，进价和售价如表所示，设购进A型商品x件（x为正整数），该商场售完全部A，B两型号商品获得的总利润为y元．
商品型号
A型
B型
每件进价（单位：元）
140
120
每件售价（单位：元）
200
170
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该商场计划投入不多于26400元购进这两种型号商品，则最多购进多少套A型商品？若A，B两型号商品全部售完，则商场可获得的最大利润是多少元？
22．（10分）如图，直线y1＝2x+6与x轴、y轴分别交于点A和点B，直线y2＝kx+b经过点D（3，0），与直线y1＝2x+6交于点C（m，4）．
（1）求直线CD的解析式；
（2）若M为线段CD上一个动点，若S△ACD＝4S△ADM，求此时点M的坐标；
（3）若点P为直线AB上的一个动点，过P为作PQ∥y轴交直线CD于点Q．若线段PQ的长为6，请直接写出点P的坐标．

23．（11分）已知：如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，作射线BE，过点D作DF⊥BE于点F，交BC的延长线于点G，连接FC．求证：BF﹣DF＝CF．

（1）小明和小颖根据题中的条件发现：图1中存在和∠EBC相等的角，即 　 　；
（2）在证明结论时，小明和小颖有了不同的思路．小颖：我受结论中“BF﹣DF”的启发，可在线段BF上截取BH＝DF，再证HF＝CF…
小明，我受结论中“CF”的启发，可构造一个以CF为直角边的等腰直角三角形…
请从小明和小颖的思路中任选一种作出辅助线并给出证明；
（3）老师对问题进行了拓展：如图2，点M，N分别是线段BE，DG的中点，若AB＝4，DE＝1，则MN的长度为 　 　．








2022-2023学年河南省信阳市光山县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选.（每小题3分，共30分）
1．【答案】B
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、，是最简二次根式；
C、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
D、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；
故选：B．
2．【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∵1+2＝3，
∴以1，2，3为边不能组成三角形，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵42+52＝（）2，
∴以5，4，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵（）2+（）2≠（）2，
∴以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵62+82≠122，
∴以6，8，12为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．【答案】B
【分析】先由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝3即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OB＝BD＝3，AC＝BD＝6，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB＝3，
故选：B．
4．【答案】C
【分析】根据一次函数y＝﹣2x+3的比例系数k＝﹣2，常数项b＝3，利用一次函数的性质确定其增减性和图象所在的象限，从而判断图象与y轴和x轴的交点坐标．
【解答】解：A、因为一次函数y＝﹣2x+3的比例系数k＝﹣2＜0，所以y随x的增大而减小，故A选项不符合题意；
B、因为一次函数y＝﹣2x+3的常数项b＝3，所以它的图象与y轴的交点是（0，3），故B选项不符合题意；
C、因为一次函数y＝﹣2x+3，k＝﹣2，b＝3，所以，图象与x轴的交点坐标是（，0），所以当时，y＞0，故C选项符合题意；
D、因为一次函数y＝﹣2x+3的比例系数k＝﹣2＜0，b＝3，所以它的图象经过第一、二、四选项，故选项D不符合题意．
故选：C．
5．【答案】D
【分析】直接利用方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则数据的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则数据的离散程度越小，稳定性越好，进而分析即可．
【解答】解：∵S甲2＝0.65，S乙2＝0.55，S丙2＝0.50，S丁2＝0.45，
∴S丁2＜S丙2＜S乙2＜S甲2，
∴成绩最稳定的是丁．
故选：D．
6．【答案】A
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：﹣＝﹣＝，故选项A正确，符合题意；
2+不能合并，故选项B错误，不符合题意；
÷＝，故选项C错误，不符合题意；
＝，故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
7．【答案】C
【分析】根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项正确；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以D选项错误．
故选：C．
8．【答案】C
【分析】由▱ABCD的对角线AC和BD交于点O，若AC＝10，BD＝6，AD＝4，易求得OA与OB的长，又由勾股定理的逆定理，证得AD⊥BD，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝10，BD＝6，
∴OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝3，
∵AD＝4，
∴AD2+DO2＝OA2，
∴△ADO是直角三角形，且∠BDA＝90°，
即AD⊥BD，
∴▱ABCD面积为：AD•BD＝4×6＝24．
故选：C．
9．【答案】D
【分析】观察函数图象得到，当x＜1时，一次函数y＝kx+b的图象都在一次函数y＝mx+n的图象的上方，由此得到不等式kx+b＞mx+n的解集．
【解答】解：如图所示，直线y＝kx+b交直线y＝mx+n于点P（1，2），
所以，不等式kx+b＞mx+n的解集为x＜1．
故选：D．

10．【答案】D
【分析】作BM⊥x轴于M．只要证明△DAO≌△ABM，推出OA＝BM，AM＝OD，由A（﹣3，0），B（2，b），推出OA＝3，OM＝2，推出OD＝AM＝5，再利用勾股定理求出AD即可解决问题．
【解答】解：作BM⊥x轴于M．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，
∴△DAO≌△ABM，
∴OA＝BM，AM＝OD，
∵A（﹣3，0），B（2，b），
∴OA＝3，OM＝2，
∴OD＝AM＝5，
∴AD＝＝＝，
∴正方形ABCD的面积＝34，
故选：D．
二、耐心填一填.（每小题3分，共15分）
11．【答案】x≥4．
【分析】根据二次根式（a≥0）以及分母不为0可得x﹣4≥0且x﹣3≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：x﹣4≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥4且x≠3，
∴x≥4，
故答案为：x≥4．
12．【答案】7.3
【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，即可得到当天销售该品牌盒装牛奶的平均价格．
【解答】解：10×40%+6×30%+5×30%
＝4+1.8+1.5
＝7.3（元），
即当天销售该品牌盒装牛奶的平均价格为7.3元；
故答案为：7.3．
13．【答案】3．
【分析】利用角平分线的定义以及平行线的性质、等腰三角形的判定得出EC＝DC，再利用平行四边形的性质得出BE的长．
【解答】解：∵▱ABCD中，DE平分∠ADC交边BC于点E，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CDE，∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴EC＝DC，
▱ABCD中，AD＝10，AB＝7，
∴BC＝AD＝10，DC＝AB＝7＝EC，
∴BE＝BC﹣EC＝10﹣7＝3．
故答案为：3．
14．【答案】14．
【分析】根据函数的图象、结合图形求出BC、CD的值，即可得出平行四边形ABCD的周长．
【解答】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，
函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＝3时，y开始不变，说明BC＝3，x＝7时，接着变化，说明CD＝7﹣3＝4，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（BC+CD）＝14．
故答案为：14．
15．【答案】2．
【分析】由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，CD∥AB，则CD＝AB＝2AD＝10，∠CDM＝∠AMD，∠DCM＝∠BMC，由AM＝BM＝AB，AD＝BC＝AB，得AM＝AD，BM＝BC，则∠ADM＝∠AMD，∠BCM＝∠BMC，所以∠CDM＝∠ADM＝∠ADC，∠DCM＝∠BCM＝∠BCD，则∠CDM+∠DCM＝（∠ADC+∠BCD）＝90°，则∠DMC＝90°，所以MD＝＝2，因为CM∥DF，DM⊥CM，所以当EF⊥CM时，则EF＝MD＝2，此时EF的值最小，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，CD∥AB，
∴CD＝AB＝2AD＝2×5＝10，∠CDM＝∠AMD，∠DCM＝∠BMC，
∵M为AB的中点，
∴AM＝BM＝AB，
∵AD＝BC＝AB，
∴AM＝AD，BM＝BC，
∴∠ADM＝∠AMD，∠BCM＝∠BMC，
∴∠CDM＝∠ADM＝∠ADC，∠DCM＝∠BCM＝∠BCD，
∵∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠CDM+∠DCM＝（∠ADC+∠BCD）＝×180°＝90°，
∴∠DMC＝90°，
∴MD＝＝＝2，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴CM∥DF，
∵DM⊥CM，
∴平行线CM与DF之间的距离是2，
∴当EF⊥CM时，则EF＝MD＝2，此时EF的值最小，
∴EF的最小值是2，
故答案为：2．
三、用心做一下列各题.
16．【答案】（1）4；
（2）2+．
【分析】（1）根据二次根式的除法法则、乘法法则、二次根式的性质、合并同类二次根式的运算法则计算；
（2）根据完全平方公式、平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝﹣+
＝﹣+3
＝2﹣+3
＝4；
（2）∵x＝2﹣，
∴x2＝（2﹣）2＝7﹣4，
∴原式＝（7+4）（7﹣4）+（2+）（2﹣）+＝49﹣48+4﹣3+＝2+．
17．【答案】AB的长度为9m．
【分析】延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：延长FC交AB于点G，
则CG⊥AB，AG＝CD＝1m，GC＝AD＝15m，
设BG＝xm，则BC＝（26﹣1﹣x）m，
在Rt△BGC中，
∵BG2+CG2＝CB2，
∴x2+152＝（26﹣1﹣x）2，
解得x＝8，
∴BA＝BG+GA＝8+1＝9（m），
∴AB的长度为9m．
18．【答案】（1）50；
（2）10，12.5；
（3）242人．
【分析】（1）由题意可知，捐款15元的有14人，占捐款总人数的28%，由此可得总人数，将捐款总人数减去捐款5、15、20、25元的人数可得捐10元的人数；
（2）从条形统计图中可知，捐款10元的人数最多，可知众数，将这组数据按照从小到大的顺序排列，处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
（3）由抽取的样本可知，用捐款20及以上的人数所占比例估计总体中的人数．
【解答】解：（1）本次抽查的学生有：14÷28%＝50（人），
则捐款10元的有50﹣9﹣14﹣7﹣4＝16（人），
补全条形统计图图形如下：

故答案为：50；
（2）由条形图可知，捐款10元人数最多，故众数是10；
将这组数据按照从小到大的顺序排列，中间两个数据分别是10，15，所以中位数是（10+15）÷2＝12.5．
故答案为：10，12.5；
（3）捐款20元及以上（含20元）的学生有：1100×＝242（人）．
19．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意列算式即可得到结论；
（2）根据题意列方程组即可得到结论；
（3）根据题意列算式即可得到结论．
【解答】解：（1）300÷（180÷1.5）＝2.5（小时），
答：甲车从A地到达B地的行驶时间是2.5小时；

（2）设甲车返回时y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴甲车返回时y与x之间的函数关系式是y＝﹣100x+550（2.5≤x≤5.5）；

（3）300÷[（300﹣180）÷1.5]＝3.75小时，
当x＝3.75时，y＝175千米，
答：乙车到达A地时甲车距A地的路程是175千米．
20．【答案】（1）证明见解析；
（2）6．
【分析】（1）先证四边形BDEC是平行四边形，再证BC＝BD，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）设BE交CD于点O，由平行四边形的性质得CD＝AB＝4，BC＝AD＝7，再由菱形的性质得OC＝OD＝2，OB＝OE，BE⊥CD，然后由勾股定理得OB＝3，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵CE∥BD，
∴四边形BDEC是平行四边形，
∵AD＝BD，
∴BC＝BD，
∴平行四边形BDEC是菱形；
（2）解：如图，设BE交CD于点O，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝7，
由（1）可知，四边形BDEC是菱形，
∴OC＝OD＝CD＝2，OB＝OE，BE⊥CD，
∴∠BOC＝90°，
∴OB＝＝＝3，
∴BE＝2OB＝6，
即BE的长为6．
21．【答案】（1）y与x的函数关系式为：y＝10x+10000；
（2）最多购进120套A型商品，若A，B两型号商品全部售完，则商场可获得的最大利润是11200元．
【分析】（1）根据总利润＝（A商品的售价﹣A商品的进价）×购进A商品的数量+（B商品的售价﹣B商品的进价）×购进B商品的数量代入列关系式，并化简；
（2）根据总成本≤26400列不等式即可求出x的取值，再根据函数的增减性确定其最值问题；
【解答】解：（1）根据题意得：y＝（200﹣140）x+（170﹣120）（200﹣x）＝10x+10000，
∴y与x的函数关系式为：y＝10x+10000；
（2）根据题意得：140x+120（200﹣x）≤26400，
解得：x≤120，
根据利润y与购进A型商品数量x的函数关系y＝10x+10000（0＜x≤200）可知，y随x的增大而增大，
则当x＝120时，商场可获得最大利润，即最大值＝10×120+10000＝11200（元）．
答：最多购进120套A型商品，若A，B两型号商品全部售完，则商场可获得的最大利润是11200元．
22．【答案】（1）直线CD的解析式为y2＝﹣x+3；
（2）点M的坐标为（2，1）；
（3）点P的坐标为（1，8）或（﹣3，0）．
【分析】（1）将点C（m，4）代y1＝2x+6求得m的值，继而求得点C的坐标；然后利用待定系数法确定函数解析式即可；
（2）先求出△ACD的面积，设点M的坐标为（a，﹣a+3），根据三角形面积公式列出关于a的方程，求出a的值即可求解；
（3）利用平行直线上点的坐标特征和两点间的距离公式列出方程，通过方程求得答案．
【解答】解：（1）∵直线y2与直线y1交于点C（m，4），
∴把点C（m，4）代入y1＝2x+6，得2m+6＝4，解得m＝﹣1．
∴点C（﹣1，4）．
把点C（﹣1，4），点D（3，0）代入y2＝kx+b，得，
解得．
∴直线CD的解析式为y2＝﹣x+3；
（2）在y＝2x+6中，令y＝0，则求得x＝﹣3，
∴点A（﹣3，0），
∴AD＝3+3＝6，
∴S△ACD＝×6×4＝12，
∵S△ACD＝4S△ADM，
∴S△ADM＝3，
设点M的坐标为（a，﹣a+3），
∴S△ADM＝×6×（﹣a+3）＝3，
∴a＝2，
∴点M的坐标为（2，1）；
（3）∵点P在直线AB上，点Q在直线CD上，且PQ∥y轴，
∴设点P（x，2x+6），则点Q（x，﹣x+3）．
∵线段PQ的长为6，
∴|2x+6+x﹣3|＝6，解得x＝1或x＝﹣3．
当x＝1时，2x+6＝8；
当x＝﹣3时，2x+6＝0，
∴点P的坐标为（1，8）或（﹣3，0）．
23．【答案】（1）∠GDC＝∠EBC；（2）见解答；（3）．
【分析】（1）利用正方形性质和等角的余角相等即可求得答案；
（2）方法一：如图1，在BF上截取BT＝DF，连接TC，可证得△BCT≌△DCF（SAS），得出：CT＝CF，∠BCT＝∠DCF，再证得∠BCD＝∠FCT＝90°，可得TF＝CF，即可证得结论；
方法二：过点C作CT⊥CF交BF于T，可证得△BCT≌△DCF（SAS），即可证得结论；
（3）如图2，连接CM、CN，利用勾股定理可得BE＝＝＝，再证得△GDC≌△EBC（ASA），再利用勾股定理即可求得答案．
【解答】（1）解：∵DF⊥BE，
∴∠EBC+∠G＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠GDC+∠G＝90°，
∴∠GDC＝∠EBC，
故答案为：∠GDC＝∠EBC；
（2）证明：方法一：如图1，在BF上截取BT＝DF，连接TC，
由（1）知：∠GDC＝∠EBC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，
在△BCT和△DCF中，
，
∴△BCT≌△DCF（SAS），
∴CT＝CF，∠BCT＝∠DCF，
∵∠FCT＝∠DCF+∠TCD＝∠BCT+∠TCD＝∠BCD＝90°，
∴TF＝CF，
又∵BF﹣BT＝TF，BT＝DF，
∴BF﹣DF＝CF．
方法二：如图1，过点C作CT⊥CF交BF于T，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∵CT⊥CF，
∴∠TCF＝∠BCD＝90°，
∴∠BCT＝∠DCF，
在△BCT和△DCF中，
，
∴△BCT≌△DCF（SAS），
∴CT＝CF，BT＝DF，
∴TF＝CF，
∴BF﹣DF＝BF﹣BT＝TF＝CF；
（3）解：MN＝，理由如下：
如图2，连接CM、CN，

∵正方形ABCD，AB＝4，
∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，
∴∠DCG＝∠BCD＝90°，
∵DE＝1，
∴CE＝CD﹣DE＝3﹣1＝2，
∴BE＝＝＝2，
又∵M、N分别是线段BE、DG的中点，
∴CM＝BE＝BM＝EM＝，CN＝DG＝DN＝GN，
∴∠EBC＝∠BCM，∠GDC＝∠DCN，
由（1）知：∠GDC＝∠EBC，
∴∠BCM＝∠DCN＝∠GDC＝∠EBC，
在△GDC和△EBC中，
，
∴△GDC≌△EBC（ASA），
∴DG＝BE＝2，
∴CM＝CN＝BE＝，
∵∠BCM+∠MCD＝∠BCD＝90°，
∴∠DCN+∠MCD＝∠MCN＝90°，
∴MN＝＝＝，
即MN的长为．