专题04 指数函数与对数函数（公式、定理、结论图表）-备战2024年新高考数学必背知识手册

这是一份专题04 指数函数与对数函数（公式、定理、结论图表）-备战2024年新高考数学必背知识手册，共20页。试卷主要包含了))，指数函数图象问题的处理技巧，比较幂的大小的方法，利用指数函数的单调性解不等式等内容，欢迎下载使用。
  指数函数与对数函数（公式、定理、结论图表）



一．根式及相关概念
(1)a的n次方根定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数

R
n为偶数
±
[0，＋∞)
(3)根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
二．根式的性质(n>1，且n∈N*)
(1)n为奇数时，＝a.
(2)n为偶数时，＝|a|＝
(3)＝0.
(4)负数没有偶次方根．
思考：()n中实数a的取值范围是任意实数吗？
提示：不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；
当n为大于1的偶数时，a≥0.
三．分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数指数幂
规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂
规定：a－＝＝
(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义
思考：在分数指数幂与根式的互化公式a＝中，为什么必须规定a>0?
提示：①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即＝a＝0，无研究价值．
②若a0.
四．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
五．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
六．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
七．指数函数的图象和性质
a的范围
a＞1
0＜a＜1
图象


性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
(0,1)，即当x＝0时，y＝1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称
思考1：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？
提示：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当00，且a≠1)．
(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．
思考：为什么零和负数没有对数？
提示：由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．
十一．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
思考：当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？
提示：不一定．
十二．对数的换底公式
若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，
则有logab＝.
十三．对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？
提示：不是，其不符合对数函数的形式．
十四．对数函数的图象及性质
a的范围
01时，对数函数的图象“上升”；当00且a≠1)互为反函数．
十六、三种函数模型的性质

y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化趋势
随x增大逐渐近似与y轴平行
随x增大逐渐近似与x轴平行
保持固定增长速度
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢；
②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
十七．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？
提示：不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．
十八．方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
十九．函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)