专题06 平面向量及其应用（公式、定理、结论图表）-备战2024年新高考数学必背知识手册

这是一份专题06 平面向量及其应用（公式、定理、结论图表）-备战2024年新高考数学必背知识手册，共20页。试卷主要包含了向量的有关概念，向量的线性运算，平面向量基本定理，平面向量的坐标运算，平面向量共线的坐标表示，向量的夹角，平面向量的数量积，基底需要的关注三点等内容，欢迎下载使用。
 平面向量及其应用（公式、定理、结论图表）




1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算

向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算

a－b＝a＋(－b)　
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ0)，且||＝2，若＝λ＋μ，则实数λ＋μ的值为________．
【解析】　(1)3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A.
(2)因为||＝2，所以||2＝1＋c2＝4，因为c>0，所以c＝.因为＝λ＋μ，所以(－1，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)，所以λ＝－1，μ＝，
所以λ＋μ＝－1.
【答案】　(1)A　(2)－1
典例9： (1)向量

a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．
(2)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为________．

【解析】　(1)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，所以a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3)．因为c＝λa＋μb，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即解得λ＝－2，μ＝－，所以＝4.
(2)

以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，2)，D(0，2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝，因为P在圆C上，所以P(1＋cos θ，2＋sin θ)，＝(1，0)，＝(0，2)，＝λ＋μ＝(λ，2μ)，所以λ＋μ＝2＋cos θ＋sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，tan φ＝2.
【答案】　(1)4　(2)3
六、平面向量共线的坐标表示
(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②已知b≠0，则a∥b的充要条件是a＝λb(λ∈R)．
(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均为非零实数时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
典例10：(1)已知平面向量a，b，c，a＝(－1，1)，b＝(2，3)，c＝(－2，k)，若(a＋b)∥c，则实数k＝________．
(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
【解析】　(1)由题意，得a＋b＝(1，4)，由(a＋b)∥c，得1×k＝4×(－2)，解得k＝－8.
(2)因为在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以＝2.设点D的坐标为(x，y)，则＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，所以解得故点D的坐标为(2，4)．
【答案】　(1)－8　(2)(2，4)
典例11：已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)
A．－　　 B．　　　C.　　 D．
【解析】　＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
【答案】　A
七、平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解．
[提醒]　解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．
典例12：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________．

【解析】　法一：因为·＝2·，所以·－·＝·，所以·＝·.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，所以2||＝||·||cos，化简得||＝2.故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos＝12.
法二：如图，建立平面直角坐标系xAy.

依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m＞0，n＞0，则由·＝2·，得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.
【答案】　12
八、求向量的模的方法
(1)公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积的运算．
(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．　
典例13：(1)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||等于(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为__________．
【解析】　(1)因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，
所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，则||＝2.
(2)

建立平面直角坐标系如图所示 ，则A(2，0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5，3b－4y)．
所以|＋3|
＝(0≤y≤b)．
当y＝b时，|＋3|min＝5.
【答案】　(1)A　(2)5
九、平面向量的夹角
(1)研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0°或180°；求角时，注意向量夹角的取值范围是[0°，180°]；若题目给出向量的坐标表示，可直接利用公式cos θ＝求解．
(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．　
典例14：(1)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________．
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．
【解析】　(1)设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－)，所以cos〈a，c〉＝＝.
(2)因为2a－3b与c的夹角为钝角，
所以(2a－3b)·c