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数学人教版7年级上册第4单元精准教学★★★★★题库
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数学人教版
数学人教版7年级上册
第4单元精准教学★★★★★题库
一、单选题
1．互为余角的两个角之比是：，则这两个角分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知点A、B、C位于直线l上，其中线段，且，若点M是线段的中点，则线段的长为（ ）
A．1 B．3 C．5或1 D．1或4
3．下列结论：①多个有理数相乘，负因数的个数为奇数时积为负；②若，则；③若，且，则的余角为；④若、为常数，无论取何值，关于的方程的解恒为，则，，其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，已知、、依次为线段上的三点，为的中点，，若，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，为直线上一点，为直角，平分平分平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：
①与互余； ②；
③与互补； ④
则在下列选项中，正确的是（ ）
A．①③④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
6．如图，长方形纸片，为边上一点，将纸片沿折叠，点落在点处，将纸片沿折叠，点落在点处，且恰好在线段上．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，，分别平分，，，下列结论：①，②，③，④，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，平面内，，平分，则以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．0个
9．已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，是的中点，则线段的长度是（ ）
A． B． C．或 D．或
10．按如下图的方法折纸，下列说法不正确的是（ ）
A．与互余 B． C．平分 D．与互补
11．如图，C，D在线段上，下列四个说法：
①直线上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；
②图中有3对互为补角的角；
③若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；
④若，，，点F是线段上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15，最大值为25
其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．已知线段，在线段所在的直线上截取，则（ ）
A． B． C．或 D．或
13．如图，和都是直角．如果，则下列判断错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．若变小，则变大
14．如图，在中，根据规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
15．2条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；n条直线相交最多有多少个交点？（ ）
A． B． C． D．
16．如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：
①；
②；
③；
④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC =75°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠EOD=1：2，则∠AOE等于（ ）
A．130° B．150° C．155° D．160°
18．如图，在△ABC中，∠C＝90，D是边BC上一点，且∠ADC＝60，那么下列说法中错误的是（ ）
A．直线AD与直线BC的夹角为60 B．直线AC与直线BC的夹角为90
C．线段CD的长是点D到直线AC的距离 D．线段AB的长是点B到直线AD的距离
19．如图，直线AB，CD相交于点O，ÐAOC=30°，OE⊥AB，OF是ÐAOD的角平分线．若射线OE，OF分C别以18°/s，3°/s的速度同时绕点O顺时针转动，当射线OE，OF重合时，至少需要的时间是（ ）
A．8s B．11s C．s D．13s
20．如图，C、D在线段BE上，下列说法：
①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；
②图中至少有2对互补的角；
③若∠BAE=90°，∠DAC=40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和360°；
④若BC=2，CD=DE=3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．把一副三角板ABC与BDE按如图所示的方式拼接在一起，其中A、D、B三点在同一条直线上，BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线．下列结论①∠MBN=45o，②∠BNE=∠BMC，③∠EBN=65o，④2∠NBD=∠CBM，其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，若∠BOD＝150°，则∠BOC的度数为（ ）
A．150° B．120° C．90° D．60°
23．如图所示，2条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多能有3个交点，4条直线相交最多能有6个交点，5条直线相交最多能有10个交点，……，（≥2，且是整数）条直线相交最多能有（ ）
A．个交点 B．个交点
C．个交点 D．个交点
24．将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α 与∠β 互余的是（ ）
A． B．
C． D．
25．将一副三角板如图摆放，∠OAB=∠OCD=90°，∠AOB=60°，∠COD=45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB，则∠MON的度数为（ ）
A．60° B．45° C．65.5° D．52.5°
26．将如图所示的图形剪去两个小正方形，使余下的部分图形恰好能折成一个正方体，应剪去的两个小正方形可以是（ ）
A．②③ B．①⑥ C．①⑦ D．②⑥
27．已知线段AB=10cm，在直线AB上取一点C，使AC=16cm，则线段AB的中点与AC的中点的距离为( )
A．13cm或26cm B．6cm或13cm C．6cm或25cm D．3cm或13cm
28．小陆制作了一个如图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的表面展开图可能是（ ）
A． B．
C． D．
29．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是( )．
A．6 B．2.4 C．8 D．4.8
30．平面内有n条直线（n≥2），这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
31．如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②，则；③；④．其中正确的结论是_____．
32．将三角板的直角顶点O放置在直线上（如图），若，射线平分，则的大小为______．
33．如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②，③；④，正确的有___________．（填序号，多选）
34．如图，点在直线上，，若，则的大小为______．
35．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”，如图2，若，且射线是的“巧分线”，则__________．
36．龙岗某校积极响应“双减”政策，开展课后延时服务，七年级某数学兴趣小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点O放在互相垂直的两条直线的垂足O处，并使两条直角边落在直线上，若将绕着点O顺时针旋转一个小于的角得到，射线是的角平分线且满足，则__________．
37．已知A，B是数轴上两点，点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位．
（1）点A表示的数是：_______；点B表示的数是：_______．
（2）A，B两点间的距离是_______个单位，线段AB中点表示的数是_______．
38．如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____．
39．如图，点E，F分别在长方形的边，上，连接．将长方形沿对折，点A落在处；将对折，点D落在的延长线上的处，得到折痕．若，则________°．
40．有一个正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，如图是我们能看到的三种情况，如果记6的对面数字为a，2的对面数字为b，那么a+b的值为_____．
三、解答题
41．定义：如果两个角的差的绝对值等于，就称这个两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角．
(1)如图1，为直线上的一点，，，直接写出图中一对垂角；
(2)如果一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍，求这个角的度数；
(3)如图2，为直线上的一点，若，，且射线绕以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，两条射线、同时运动，运动时间为秒，试求当为何值时，和互为垂角？
42．如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：
(1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______°
(2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；
(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4
①运动停止时，直接写出______；
②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系．
43．如图，在数轴上，三个有理数从左到右依次是：，，．
(1)利用刻度尺或圆规，在数轴上画出原点；
(2)记长为个单位，宽为个单位的长方形的对角线为，请在数轴上画出表示的点．
44．如图是一张长方形纸片，AB长为，BC长为．若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周
(1)得到的几何体是 ，这个现象用数学知识解释为 ；
(2)若将这个长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留）
45．已知∠AOB=∠COD=90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
(1)如图1，若OB，OC重合，则__________；
(2)如图2，，求的度数；
(3)如图3，求的度数．
46．已知：点O为直线AB上一点，与互余，，DO平分，．
(1)与互余吗？说明理由
(2)求证：
(3)直接写出的度数为______．
47．如图，数轴上有A，B两点，OA＝16，点B所表示的数为20，AC＝6AB．
(1)求点C所表示的数．
(2)动点P，Q分别自A，B两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点，求出线段EF的长．
48．已知线段，点在线段上，且．
(1)求线段，的长；
(2)点是线段上的动点且不与点，，重合，线段的中点为，设
①请用含有的代数式表示线段，的长；
②若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称，，三点为“共谐点”，请直接写出使得，，三点为“共谐点”的的值．
49．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起．
(1)若∠DCE=35°，则∠ACB的度数为_____；
(2)若∠ACB=144°42′，则∠DCE的度数为_____；
(3)猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由．
50．请在括号中注明根据，在横线上补全步骤．
如图，直线AB、CD相交于O，∠EOC＝90°，OF是∠AOE的角平分线，∠COF＝34°，求∠BOD的度数．
解：∵∠EOC＝90°，∠COF＝34°（已知），
∴∠EOF＝ °．
∵OF是∠AOE的角平分线，
∴∠AOF＝ ＝56°（角平分线的性质）．
∴∠AOC＝ °．
∵∠AOC+ ＝90°，
∠BOD+∠EOB＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC＝ °（ ）．
51．已知是关于的方程的解，
(1)求的值；
(2)在（1）的条件下，已知线段，点C是直线AB上一点，且，求线段AC的长．
52．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
(1)若∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，求∠MON的度数．
(2)若∠AOB＝α，∠BOC＝β，求∠MON与α，β的数量关系，说明理由．
53．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度．
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．
（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．
54．如图，在平整的地面上，用多个棱长都为2cm的小正方体堆成一个几何体．
（1）共有 个小正方体；
（2）求这个几何体的表面积；
（3）如果现在你还有一些棱长都为2cm的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加 个小正方体．
55．如图，直线、相交于点，为锐角，，平分
（1）图中与互余的角为__________；
（2）若，求的度数；
（3）图中与锐角互补角的个数随的度数变化而变化，直接写出与互补的角的个数及对应的的度数
56．点在直线上，为射线，．
（1）如图（1），求的度数；
（2）如图（2），点在直线上方，与互余，平分，求的度数．
57．如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度；
（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒v的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第t秒时，三条射线恰好构成相等的角，则t的值为_______（直接写出结果）．
58．如图，C，D是线段AB上两点，已知AC：CD：DB=1：2：3，M、N分别为AC、DB的中点，且AB=8cm，求线段MN的长．
59．如图，点在线段AB上，，点分别是的中点．
求线段的长;
若为线段上任一点，满足，其它条件不变，猜想的长度，并说明理由;
若在线段的延长线上，且满足分别为的中点，猜想的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;
请用一句简洁的话，描述你发现的结论．
60．如图1，已知∠MON=60°，A、B两点同时从点O出发，点A以每秒x个单位长度沿射线ON匀速运动，点B以每秒y个单位长度沿射线OM匀速运动．
（1）若运动1s时，点A运动的路程比点B运动路程的2倍还多1个单位长度，运动3s时，点A、点B的运动路程之和为12个单位长度，则x=____，y=____；
（2）如图2，点C为△ABO三条内角平分线交点，连接BC、AC，在点A、B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC并延长，与∠ABM的角平分线交于点P，与AB交于点Q．
①试说明∠PBQ=∠ACQ；
②在△BCP中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠BAO的度数．
参考答案
1．D
2．C
3．B
4．A
5．A
6．A
7．C
8．B
9．A
10．C
11．C
12．D
13．B
14．D
15．A
16．C
17．C
18．D
19．D
20．B
21．C
22．B
23．D
24．C
25．D
26．A
27．D
28．A
29．D
30．D
31．①②③
32．/32度
33．①②④
34．/
35．或或
36．或
37． -20 100 120 40
38．4.8
39．20
40．7
41．（1）解：∵，，
∴，
∴和互为垂角；
（2）设这个锐角的度数为，则，它的垂角是，
，
解得
∴这个角的度数是；
（3）分四种情况：
当时，，，
∴，
解得；
当时，，
∴，
解得（舍去）；
当时，，
∴，
解得；
当时，，
∴，
解得，
综上，当的值为2或14或时，和互为垂角．
42．（1）解：∵A，O，B三点共线，
∴，
∵，
∴．
故答案为：90；
（2）∵，
设，则，
∴，，
∴．
∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为；
（3）解：∵，
∴，，
设运动时间为，则，则．
①运动停止时，即时，OA旋转的角度为，
∴，
故答案为：；
②当点C，O，A三点共线时，；
∴当时，，，
∴；
当时，，
，
∴．
综上，当时，；当时，．
43．（1）解：∵与的距离为1，与原点的距离为1，
∴以为圆心，与之间的长度为半径作弧，交的右边于一点，即原点，
如图所示，
（2）解：如图所示，找到数2的点，以为圆心，作，且垂直于数轴于点，
连接原点和点，则为长为个单位，宽为个单位的长方形的对角线，
即，
以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点即为所求．
44．（1）解：若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体；
故答案为：圆柱，面动成体
（2）情况①，绕AB边所在直线旋转：
（cm）；
情况②，绕BC边所在直线旋转：
（cm）；
故形成的几何体的体积是cm或cm．
45．（1）解：∵OB，OC重合，
∴∠AOB+∠COD=180°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOB=∠AOB，∠BOF=∠COD，
∴∠EOF=∠EOB+∠BOF
=∠AOB+∠COD
=(∠AOB+∠COD)
=×180°
=90°；
故答案为：90°；
（2）解：∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=20°，
∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=70°，∠BOD=∠COD−∠BOC=70°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOC=∠AOC=35°，∠BOF=∠BOD=35°，
∴∠EOF=∠EOC+∠BOC+∠BOF=35°+20°+35°=90°；
（3）解：设∠BOC=x°，
∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=x°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=(90+x)°，∠BOD=∠COD+∠BOC=(90+x)°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOC=∠AOC=(90+x)°，∠BOF=∠BOD=(90+x)°，
∴∠EOF=∠EOC+∠BOF−∠BOC= (90+x)°+ (90+x)°−x°=90°．
46．（1）解：互余 .理由如下：
∵，
∴，
∴＋＝90°，
即与互余
（2）证明：∵与互余，与互余
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵DO平分，
∴，
∵＋＝90°，
∴．
故答案为：
47．（1）解：∵OA＝16，点B所表示的数为20，
∴AB＝20﹣16＝4，
∵AC＝6AB，
∴AC＝24，
∴OC＝24﹣16＝8，
∴点C所表示的数为﹣8．
（2）设运动时间为t，
∵点A表示的数为16，点B表示的数为20，点C表示的数为-8，
∴点P表示的数为，点Q表示的数为，
∵点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点，
∴点E的表示的数为，点F表示的数为，
∵点P、Q都向左运动且运动速度相同，
∴点P始终在点Q的左侧，
∴点E始终在点F的左侧，
∴，
即EF＝2．
48．（1）∵，点在线段上，且
∴，
（2）∵M为线段的中点
∴
①当点P在线段AC上时
，
当点P在线段CB上时
，
②当点P在线段AC上时，则MP=PC
∴
解得：m=6
当点P在线段CB上时，则MC=PC
∴
解得：m=12
综上所述，m=6或12
49．（1）解：∵∠ACD＝90°，∠DCE＝35°，
∴∠ACE＝∠ACD−∠DCE＝90°−35°＝55°，
∵∠ECB＝90°，
∴∠ACB＝∠ACE＋∠ECB＝145°，
故答案为：145；
（2）∵∠ACD＝90°，∠ACB＝144°42′，
∴∠DCB＝∠ACB−∠ACD＝144°42′−90°＝54°42′，
∵∠ECB＝90°，
∴∠DCE＝∠ECB−∠DCB＝90°−54°42′＝35°18′，
故答案为：35°18′；
（3），
理由是：∵∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，
∴∠ACE＋∠ECD＋∠DCB＋∠ECD＝180°，
∵∠ACE＋∠ECD＋∠DCB＝∠ACB，
∴∠ACB＋∠DCE＝180°．
50．解：∵∠EOC＝90°，∠COF＝34°，
∴∠EOF＝90°-∠COF =90°-34°=56°，
∵OF是∠AOE的角平分线，
∴∠AOF＝∠EOF＝56°，
∴∠AOC＝∠AOF-∠COF＝56°-34°=22°，
∵∠AOC+∠EOB＝180°-∠EOC=180°-90°＝90°，
∠BOD+∠EOB＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC＝22°（同角的余角相等），
故答案为：56；∠EOF；22；∠EOB；22；同角的余角相等．
51．（1）解：将代入方程得：
，
解得：．
（2）解：由（1）可知，
∴，
情况一、当在中间时，
∵，，
∴，
∴cm．
情况二、当在的延长线上时，
∴，
∴cm，
综上所述，线段AC的长为2cm或6cm．
52．（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°，
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线
∴∠MOC=∠AOC=75°，∠BON=∠BOC=30°，
∴∠MON=∠MOC-∠BOC+∠BON=75°-60°+30°=45°．
（2）∠MON与α，β的数量关系为∠MON=α，与β无关．理由如下：
∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线
∴∠MOC=∠AOC=（α+β），∠BON=∠BOC=β，
∴∠MON=∠MOC-∠BOC+∠BON=（α+β）-β+β=α．
53．解：（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MC=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，
∴MN=MC+CN=8厘米；
（2）∵AC=a，BC=b，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MC=AC=a，CN=BC=b，
∴MN=MC+CN=a+b；
（3）①当点P在线段AC上，即0＜t≤5时，
C是线段PQ的中点，得10-2t=6-t，解得t=4；
②当点P在线段BC上，即5＜t≤时，
P为线段CQ的中点，2t-10=16-3t，解得t=；
③当点Q在线段BC上，即＜t≤6时，
Q为线段PC的中点，6-t=3t-16，解得t=；
④当点Q在线段AC上，即6＜t≤8时，
C为线段PQ的中点，2t-10=t-6，解得t=4（舍），
综上所述：所求时间t为4或或．
54．解：（1）该几何体从上面看到的图形如下：
则小正方体的个数为：个，
故答案为：；
（2）该几何体的三视图如下：
该几何体的一个面的面积为：，
；
（3）在第二层第二行第二列和第四列各添加一个，
第三层第二行第二、三、四列各添加一个，
则个，
故答案为：．
55．（1）由题意可得于∠AOE互余的角为：、
（2）设.
∵，
∴，
.
∵，
∴.
又∵，
∴，即.
∴.
（3）设∠AOE=α，且0°＜α＜90°由（1）可知，∠AOD=∠BOC=90°-α，∠BOE=180°-α，
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（90°-α）=90°+α，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=∠DOF=45°+，
∴∠AOF=∠AOD+∠DOF=90°-α+45°+=135°-，
∠EOF=∠AOF+∠AOE=135°+，
∠COF=∠BOC+∠BOF=90°-α+45°+=135°-=∠AOF，
①当∠AOF+∠AOE=180°时，即135°-+α=180°，解得α=90°，不符合题意；
②当∠EOF+∠AOE=180°时，即135°++α=180°，解得α=30°，符合题意；
③当∠BOD+∠AOE=180°时，即90°+α+α=180°，解得α=45°，符合题意；
综上可知，
当锐角时，互补角有2个，为、．
当锐角时，互补角有3个，为、、．
当锐角不等于和时，互补角有1个，为．
56．解：（1）设∠BOC=α，则∠AOC=4α，
∵∠BOC+∠AOC=180°，
∴α+4α=180°，
∴α=36°，
∴∠AOC=144°；
（2）∵∠AOD与∠BOC互余，
∴∠AOD=90°-∠BOC=90°-36°=54°，
∠COD=180°-∠AOD-∠BOC=180°-54°-36°=90°，
∵OE平分∠COD，
∴∠DOE=∠COD=×90°=45°，
∴∠AOE=∠DOE+∠AOD=45°+54°=99°．
57．解：（1）∵，
∴，
∵恰好平分，
∴，
∴；
故答案为25；
（2）与之间的关系为，理由如下：
∵，
∴∠AOM+∠AON=90°，∠AON+∠NOC=50°，
∴两式相减得：；
（3）∵三角板绕点O按每秒v的速度沿逆时针方向旋转一周，
∴第t秒时，三角板转过的度数为vt°，
①当三角板转到如图所示时，，
∵，，
∴，
∴；
②当三角板转到如图所示时，，
∵，
∴，
∴；
③当三角板转到如图所示时，，
∵，
∴，
∴；
④当三角板转到如图所示时，，
∵，
∴，
∴；
综上所述：t的值为，，，；
故答案为，，，．
58．AC：CD：DB=1：2：3，设AC：CD：DB=a：2a：3a，
AB=AC+CD+DB，
，
∴AC=，CD=，DB=，
∵M、N分别为AC、DB的中点，
AM=AC=，DN=DB=，
∴MN=AM+CD+DN=(cm)．
∴线段MN的长为cm．
59．解：分别是的中点，
分别是的中点
又
∵，
∴在点的右边，
如图示：
分别是的中点，
又
只要满足点在线段所在直线上，点分别是的中点．那么就等于的一半
60．（1）由题意得：
化简得
解得
故答案为：3，1；
（2）的度数不发生变化，其值求解如下：
由三角形的内角和定理得
点C为三条内角平分线交点，即AC平分，BC平分
由三角形的内角和定理得；
（3）①由三角形的外角性质得：
点C为三条内角平分线交点，即AC平分，OC平分
又是的角平分线
；
②是的角平分线，BC平分
由三角形的外角性质得：
则在中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么一定是
．
数学人教版
数学人教版7年级上册
第4单元精准教学★★★★★题库
一、单选题
1．互为余角的两个角之比是：，则这两个角分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知点A、B、C位于直线l上，其中线段，且，若点M是线段的中点，则线段的长为（ ）
A．1 B．3 C．5或1 D．1或4
3．下列结论：①多个有理数相乘，负因数的个数为奇数时积为负；②若，则；③若，且，则的余角为；④若、为常数，无论取何值，关于的方程的解恒为，则，，其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，已知、、依次为线段上的三点，为的中点，，若，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，为直线上一点，为直角，平分平分平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：
①与互余； ②；
③与互补； ④
则在下列选项中，正确的是（ ）
A．①③④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
6．如图，长方形纸片，为边上一点，将纸片沿折叠，点落在点处，将纸片沿折叠，点落在点处，且恰好在线段上．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，，分别平分，，，下列结论：①，②，③，④，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，平面内，，平分，则以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．0个
9．已知线段，点是直线上一点，，若是的中点，是的中点，则线段的长度是（ ）
A． B． C．或 D．或
10．按如下图的方法折纸，下列说法不正确的是（ ）
A．与互余 B． C．平分 D．与互补
11．如图，C，D在线段上，下列四个说法：
①直线上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；
②图中有3对互为补角的角；
③若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；
④若，，，点F是线段上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15，最大值为25
其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．已知线段，在线段所在的直线上截取，则（ ）
A． B． C．或 D．或
13．如图，和都是直角．如果，则下列判断错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．若变小，则变大
14．如图，在中，根据规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
15．2条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；n条直线相交最多有多少个交点？（ ）
A． B． C． D．
16．如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：
①；
②；
③；
④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC =75°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠EOD=1：2，则∠AOE等于（ ）
A．130° B．150° C．155° D．160°
18．如图，在△ABC中，∠C＝90，D是边BC上一点，且∠ADC＝60，那么下列说法中错误的是（ ）
A．直线AD与直线BC的夹角为60 B．直线AC与直线BC的夹角为90
C．线段CD的长是点D到直线AC的距离 D．线段AB的长是点B到直线AD的距离
19．如图，直线AB，CD相交于点O，ÐAOC=30°，OE⊥AB，OF是ÐAOD的角平分线．若射线OE，OF分C别以18°/s，3°/s的速度同时绕点O顺时针转动，当射线OE，OF重合时，至少需要的时间是（ ）
A．8s B．11s C．s D．13s
20．如图，C、D在线段BE上，下列说法：
①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；
②图中至少有2对互补的角；
③若∠BAE=90°，∠DAC=40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和360°；
④若BC=2，CD=DE=3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．把一副三角板ABC与BDE按如图所示的方式拼接在一起，其中A、D、B三点在同一条直线上，BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线．下列结论①∠MBN=45o，②∠BNE=∠BMC，③∠EBN=65o，④2∠NBD=∠CBM，其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，若∠BOD＝150°，则∠BOC的度数为（ ）
A．150° B．120° C．90° D．60°
23．如图所示，2条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多能有3个交点，4条直线相交最多能有6个交点，5条直线相交最多能有10个交点，……，（≥2，且是整数）条直线相交最多能有（ ）
A．个交点 B．个交点
C．个交点 D．个交点
24．将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α 与∠β 互余的是（ ）
A． B．
C． D．
25．将一副三角板如图摆放，∠OAB=∠OCD=90°，∠AOB=60°，∠COD=45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB，则∠MON的度数为（ ）
A．60° B．45° C．65.5° D．52.5°
26．将如图所示的图形剪去两个小正方形，使余下的部分图形恰好能折成一个正方体，应剪去的两个小正方形可以是（ ）
A．②③ B．①⑥ C．①⑦ D．②⑥
27．已知线段AB=10cm，在直线AB上取一点C，使AC=16cm，则线段AB的中点与AC的中点的距离为( )
A．13cm或26cm B．6cm或13cm C．6cm或25cm D．3cm或13cm
28．小陆制作了一个如图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的表面展开图可能是（ ）
A． B．
C． D．
29．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是( )．
A．6 B．2.4 C．8 D．4.8
30．平面内有n条直线（n≥2），这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
31．如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：①若，则；②，则；③；④．其中正确的结论是_____．
32．将三角板的直角顶点O放置在直线上（如图），若，射线平分，则的大小为______．
33．如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②，③；④，正确的有___________．（填序号，多选）
34．如图，点在直线上，，若，则的大小为______．
35．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”，如图2，若，且射线是的“巧分线”，则__________．
36．龙岗某校积极响应“双减”政策，开展课后延时服务，七年级某数学兴趣小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点O放在互相垂直的两条直线的垂足O处，并使两条直角边落在直线上，若将绕着点O顺时针旋转一个小于的角得到，射线是的角平分线且满足，则__________．
37．已知A，B是数轴上两点，点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位．
（1）点A表示的数是：_______；点B表示的数是：_______．
（2）A，B两点间的距离是_______个单位，线段AB中点表示的数是_______．
38．如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____．
39．如图，点E，F分别在长方形的边，上，连接．将长方形沿对折，点A落在处；将对折，点D落在的延长线上的处，得到折痕．若，则________°．
40．有一个正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，如图是我们能看到的三种情况，如果记6的对面数字为a，2的对面数字为b，那么a+b的值为_____．
三、解答题
41．定义：如果两个角的差的绝对值等于，就称这个两个角互为垂角，例如：，，，则和互为垂角．
(1)如图1，为直线上的一点，，，直接写出图中一对垂角；
(2)如果一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍，求这个角的度数；
(3)如图2，为直线上的一点，若，，且射线绕以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，两条射线、同时运动，运动时间为秒，试求当为何值时，和互为垂角？
42．如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：
(1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______°
(2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；
(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4
①运动停止时，直接写出______；
②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系．
43．如图，在数轴上，三个有理数从左到右依次是：，，．
(1)利用刻度尺或圆规，在数轴上画出原点；
(2)记长为个单位，宽为个单位的长方形的对角线为，请在数轴上画出表示的点．
44．如图是一张长方形纸片，AB长为，BC长为．若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周
(1)得到的几何体是 ，这个现象用数学知识解释为 ；
(2)若将这个长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，求形成的几何体的体积．（结果保留）
45．已知∠AOB=∠COD=90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
(1)如图1，若OB，OC重合，则__________；
(2)如图2，，求的度数；
(3)如图3，求的度数．
46．已知：点O为直线AB上一点，与互余，，DO平分，．
(1)与互余吗？说明理由
(2)求证：
(3)直接写出的度数为______．
47．如图，数轴上有A，B两点，OA＝16，点B所表示的数为20，AC＝6AB．
(1)求点C所表示的数．
(2)动点P，Q分别自A，B两点同时出发，均以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点，求出线段EF的长．
48．已知线段，点在线段上，且．
(1)求线段，的长；
(2)点是线段上的动点且不与点，，重合，线段的中点为，设
①请用含有的代数式表示线段，的长；
②若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称，，三点为“共谐点”，请直接写出使得，，三点为“共谐点”的的值．
49．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起．
(1)若∠DCE=35°，则∠ACB的度数为_____；
(2)若∠ACB=144°42′，则∠DCE的度数为_____；
(3)猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由．
50．请在括号中注明根据，在横线上补全步骤．
如图，直线AB、CD相交于O，∠EOC＝90°，OF是∠AOE的角平分线，∠COF＝34°，求∠BOD的度数．
解：∵∠EOC＝90°，∠COF＝34°（已知），
∴∠EOF＝ °．
∵OF是∠AOE的角平分线，
∴∠AOF＝ ＝56°（角平分线的性质）．
∴∠AOC＝ °．
∵∠AOC+ ＝90°，
∠BOD+∠EOB＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC＝ °（ ）．
51．已知是关于的方程的解，
(1)求的值；
(2)在（1）的条件下，已知线段，点C是直线AB上一点，且，求线段AC的长．
52．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
(1)若∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，求∠MON的度数．
(2)若∠AOB＝α，∠BOC＝β，求∠MON与α，β的数量关系，说明理由．
53．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度．
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．
（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．
54．如图，在平整的地面上，用多个棱长都为2cm的小正方体堆成一个几何体．
（1）共有 个小正方体；
（2）求这个几何体的表面积；
（3）如果现在你还有一些棱长都为2cm的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加 个小正方体．
55．如图，直线、相交于点，为锐角，，平分
（1）图中与互余的角为__________；
（2）若，求的度数；
（3）图中与锐角互补角的个数随的度数变化而变化，直接写出与互补的角的个数及对应的的度数
56．点在直线上，为射线，．
（1）如图（1），求的度数；
（2）如图（2），点在直线上方，与互余，平分，求的度数．
57．如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度；
（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒v的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第t秒时，三条射线恰好构成相等的角，则t的值为_______（直接写出结果）．
58．如图，C，D是线段AB上两点，已知AC：CD：DB=1：2：3，M、N分别为AC、DB的中点，且AB=8cm，求线段MN的长．
59．如图，点在线段AB上，，点分别是的中点．
求线段的长;
若为线段上任一点，满足，其它条件不变，猜想的长度，并说明理由;
若在线段的延长线上，且满足分别为的中点，猜想的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;
请用一句简洁的话，描述你发现的结论．
60．如图1，已知∠MON=60°，A、B两点同时从点O出发，点A以每秒x个单位长度沿射线ON匀速运动，点B以每秒y个单位长度沿射线OM匀速运动．
（1）若运动1s时，点A运动的路程比点B运动路程的2倍还多1个单位长度，运动3s时，点A、点B的运动路程之和为12个单位长度，则x=____，y=____；
（2）如图2，点C为△ABO三条内角平分线交点，连接BC、AC，在点A、B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC并延长，与∠ABM的角平分线交于点P，与AB交于点Q．
①试说明∠PBQ=∠ACQ；
②在△BCP中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠BAO的度数．
参考答案
1．D
2．C
3．B
4．A
5．A
6．A
7．C
8．B
9．A
10．C
11．C
12．D
13．B
14．D
15．A
16．C
17．C
18．D
19．D
20．B
21．C
22．B
23．D
24．C
25．D
26．A
27．D
28．A
29．D
30．D
31．①②③
32．/32度
33．①②④
34．/
35．或或
36．或
37． -20 100 120 40
38．4.8
39．20
40．7
41．（1）解：∵，，
∴，
∴和互为垂角；
（2）设这个锐角的度数为，则，它的垂角是，
，
解得
∴这个角的度数是；
（3）分四种情况：
当时，，，
∴，
解得；
当时，，
∴，
解得（舍去）；
当时，，
∴，
解得；
当时，，
∴，
解得，
综上，当的值为2或14或时，和互为垂角．
42．（1）解：∵A，O，B三点共线，
∴，
∵，
∴．
故答案为：90；
（2）∵，
设，则，
∴，，
∴．
∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为；
（3）解：∵，
∴，，
设运动时间为，则，则．
①运动停止时，即时，OA旋转的角度为，
∴，
故答案为：；
②当点C，O，A三点共线时，；
∴当时，，，
∴；
当时，，
，
∴．
综上，当时，；当时，．
43．（1）解：∵与的距离为1，与原点的距离为1，
∴以为圆心，与之间的长度为半径作弧，交的右边于一点，即原点，
如图所示，
（2）解：如图所示，找到数2的点，以为圆心，作，且垂直于数轴于点，
连接原点和点，则为长为个单位，宽为个单位的长方形的对角线，
即，
以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点即为所求．
44．（1）解：若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体；
故答案为：圆柱，面动成体
（2）情况①，绕AB边所在直线旋转：
（cm）；
情况②，绕BC边所在直线旋转：
（cm）；
故形成的几何体的体积是cm或cm．
45．（1）解：∵OB，OC重合，
∴∠AOB+∠COD=180°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOB=∠AOB，∠BOF=∠COD，
∴∠EOF=∠EOB+∠BOF
=∠AOB+∠COD
=(∠AOB+∠COD)
=×180°
=90°；
故答案为：90°；
（2）解：∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=20°，
∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=70°，∠BOD=∠COD−∠BOC=70°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOC=∠AOC=35°，∠BOF=∠BOD=35°，
∴∠EOF=∠EOC+∠BOC+∠BOF=35°+20°+35°=90°；
（3）解：设∠BOC=x°，
∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=x°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=(90+x)°，∠BOD=∠COD+∠BOC=(90+x)°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOC=∠AOC=(90+x)°，∠BOF=∠BOD=(90+x)°，
∴∠EOF=∠EOC+∠BOF−∠BOC= (90+x)°+ (90+x)°−x°=90°．
46．（1）解：互余 .理由如下：
∵，
∴，
∴＋＝90°，
即与互余
（2）证明：∵与互余，与互余
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵DO平分，
∴，
∵＋＝90°，
∴．
故答案为：
47．（1）解：∵OA＝16，点B所表示的数为20，
∴AB＝20﹣16＝4，
∵AC＝6AB，
∴AC＝24，
∴OC＝24﹣16＝8，
∴点C所表示的数为﹣8．
（2）设运动时间为t，
∵点A表示的数为16，点B表示的数为20，点C表示的数为-8，
∴点P表示的数为，点Q表示的数为，
∵点E为线段CP的中点，点F为线段CQ的中点，
∴点E的表示的数为，点F表示的数为，
∵点P、Q都向左运动且运动速度相同，
∴点P始终在点Q的左侧，
∴点E始终在点F的左侧，
∴，
即EF＝2．
48．（1）∵，点在线段上，且
∴，
（2）∵M为线段的中点
∴
①当点P在线段AC上时
，
当点P在线段CB上时
，
②当点P在线段AC上时，则MP=PC
∴
解得：m=6
当点P在线段CB上时，则MC=PC
∴
解得：m=12
综上所述，m=6或12
49．（1）解：∵∠ACD＝90°，∠DCE＝35°，
∴∠ACE＝∠ACD−∠DCE＝90°−35°＝55°，
∵∠ECB＝90°，
∴∠ACB＝∠ACE＋∠ECB＝145°，
故答案为：145；
（2）∵∠ACD＝90°，∠ACB＝144°42′，
∴∠DCB＝∠ACB−∠ACD＝144°42′−90°＝54°42′，
∵∠ECB＝90°，
∴∠DCE＝∠ECB−∠DCB＝90°−54°42′＝35°18′，
故答案为：35°18′；
（3），
理由是：∵∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，
∴∠ACE＋∠ECD＋∠DCB＋∠ECD＝180°，
∵∠ACE＋∠ECD＋∠DCB＝∠ACB，
∴∠ACB＋∠DCE＝180°．
50．解：∵∠EOC＝90°，∠COF＝34°，
∴∠EOF＝90°-∠COF =90°-34°=56°，
∵OF是∠AOE的角平分线，
∴∠AOF＝∠EOF＝56°，
∴∠AOC＝∠AOF-∠COF＝56°-34°=22°，
∵∠AOC+∠EOB＝180°-∠EOC=180°-90°＝90°，
∠BOD+∠EOB＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC＝22°（同角的余角相等），
故答案为：56；∠EOF；22；∠EOB；22；同角的余角相等．
51．（1）解：将代入方程得：
，
解得：．
（2）解：由（1）可知，
∴，
情况一、当在中间时，
∵，，
∴，
∴cm．
情况二、当在的延长线上时，
∴，
∴cm，
综上所述，线段AC的长为2cm或6cm．
52．（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°，
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线
∴∠MOC=∠AOC=75°，∠BON=∠BOC=30°，
∴∠MON=∠MOC-∠BOC+∠BON=75°-60°+30°=45°．
（2）∠MON与α，β的数量关系为∠MON=α，与β无关．理由如下：
∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线
∴∠MOC=∠AOC=（α+β），∠BON=∠BOC=β，
∴∠MON=∠MOC-∠BOC+∠BON=（α+β）-β+β=α．
53．解：（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MC=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，
∴MN=MC+CN=8厘米；
（2）∵AC=a，BC=b，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MC=AC=a，CN=BC=b，
∴MN=MC+CN=a+b；
（3）①当点P在线段AC上，即0＜t≤5时，
C是线段PQ的中点，得10-2t=6-t，解得t=4；
②当点P在线段BC上，即5＜t≤时，
P为线段CQ的中点，2t-10=16-3t，解得t=；
③当点Q在线段BC上，即＜t≤6时，
Q为线段PC的中点，6-t=3t-16，解得t=；
④当点Q在线段AC上，即6＜t≤8时，
C为线段PQ的中点，2t-10=t-6，解得t=4（舍），
综上所述：所求时间t为4或或．
54．解：（1）该几何体从上面看到的图形如下：
则小正方体的个数为：个，
故答案为：；
（2）该几何体的三视图如下：
该几何体的一个面的面积为：，
；
（3）在第二层第二行第二列和第四列各添加一个，
第三层第二行第二、三、四列各添加一个，
则个，
故答案为：．
55．（1）由题意可得于∠AOE互余的角为：、
（2）设.
∵，
∴，
.
∵，
∴.
又∵，
∴，即.
∴.
（3）设∠AOE=α，且0°＜α＜90°由（1）可知，∠AOD=∠BOC=90°-α，∠BOE=180°-α，
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（90°-α）=90°+α，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=∠DOF=45°+，
∴∠AOF=∠AOD+∠DOF=90°-α+45°+=135°-，
∠EOF=∠AOF+∠AOE=135°+，
∠COF=∠BOC+∠BOF=90°-α+45°+=135°-=∠AOF，
①当∠AOF+∠AOE=180°时，即135°-+α=180°，解得α=90°，不符合题意；
②当∠EOF+∠AOE=180°时，即135°++α=180°，解得α=30°，符合题意；
③当∠BOD+∠AOE=180°时，即90°+α+α=180°，解得α=45°，符合题意；
综上可知，
当锐角时，互补角有2个，为、．
当锐角时，互补角有3个，为、、．
当锐角不等于和时，互补角有1个，为．
56．解：（1）设∠BOC=α，则∠AOC=4α，
∵∠BOC+∠AOC=180°，
∴α+4α=180°，
∴α=36°，
∴∠AOC=144°；
（2）∵∠AOD与∠BOC互余，
∴∠AOD=90°-∠BOC=90°-36°=54°，
∠COD=180°-∠AOD-∠BOC=180°-54°-36°=90°，
∵OE平分∠COD，
∴∠DOE=∠COD=×90°=45°，
∴∠AOE=∠DOE+∠AOD=45°+54°=99°．
57．解：（1）∵，
∴，
∵恰好平分，
∴，
∴；
故答案为25；
（2）与之间的关系为，理由如下：
∵，
∴∠AOM+∠AON=90°，∠AON+∠NOC=50°，
∴两式相减得：；
（3）∵三角板绕点O按每秒v的速度沿逆时针方向旋转一周，
∴第t秒时，三角板转过的度数为vt°，
①当三角板转到如图所示时，，
∵，，
∴，
∴；
②当三角板转到如图所示时，，
∵，
∴，
∴；
③当三角板转到如图所示时，，
∵，
∴，
∴；
④当三角板转到如图所示时，，
∵，
∴，
∴；
综上所述：t的值为，，，；
故答案为，，，．
58．AC：CD：DB=1：2：3，设AC：CD：DB=a：2a：3a，
AB=AC+CD+DB，
，
∴AC=，CD=，DB=，
∵M、N分别为AC、DB的中点，
AM=AC=，DN=DB=，
∴MN=AM+CD+DN=(cm)．
∴线段MN的长为cm．
59．解：分别是的中点，
分别是的中点
又
∵，
∴在点的右边，
如图示：
分别是的中点，
又
只要满足点在线段所在直线上，点分别是的中点．那么就等于的一半
60．（1）由题意得：
化简得
解得
故答案为：3，1；
（2）的度数不发生变化，其值求解如下：
由三角形的内角和定理得
点C为三条内角平分线交点，即AC平分，BC平分
由三角形的内角和定理得；
（3）①由三角形的外角性质得：
点C为三条内角平分线交点，即AC平分，OC平分
又是的角平分线
；
②是的角平分线，BC平分
由三角形的外角性质得：
则在中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么一定是
．
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