数学人教版9年级上册第22单元精准教学★★★★题库

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数学人教版9年级上册
第22单元精准教学★★★★题库
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过四个象限，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数（a为常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（        ）
A． B． C． D．
3．如图，二次函数的图像经过点和点．关于这个二次函数的描述：①，，；②当时，y的值等于1；③当时，y的值小于0．正确的是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．已知在二次函数的图象上有三点，，，，，且，，则的值为（   ）
A．正数 B．负数 C．0 D．非负数
5．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根是（   ）
A．2，6 B．，6 C．2， D．，
7．已知二次函数的图象如图所示，则在同一坐标系中与的图象可能是( )

A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　）
A．y的最大值为1
B．图象顶点坐标为，对称轴为直线
C．当时，y随x值的增大而减小，当时，y随x值的增大而增大
D．其图象可由的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
9．若点，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
10．已知二次函数的图象和一次函数的图象交于点，则下列说法正确的是（       ）
A．若，则的对称轴在y轴左侧，且 B．若，则的对称轴在y轴右侧，且
C．若，则的对称轴在y轴右侧，且 D．若，则的对称轴在y轴左侧，且
11．把二次函数用配方法化成的形式（　　）
A． B．
C． D．
12．已知二次函数的图象经过点，，在范围内有最大值为，最小值为，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
13．为得到二次函数的图像，需将的图像（　　）
A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位
B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
14．【新定义】函数的“向心值”：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值” ．
【问题解决】抛物线与直线的“向心值”为（   ）
A． B． C．3 D．4
15．如图，二次函数（a、b、c为常数，且）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．下列结论：①时，y随x的增大而增大；②；③；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号为（　　）

A．②③ B．②④ C．①② D．②③④
16．二次函数的图象经过点和，则b的值为（　　）
A．24 B．12 C． D．
17．将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（　　）
A．先向右平移 个单位，再向上平移 个单位
B．先向右平移 个单位，再向下平移 个单位
C．先向左平移 个单位，再向上平移 个单位
D．先向左平移 个单位，再向下平移 个单位
18．如图，，O是的中点，P是以点O为圆心，为直径的半圆上的一个动点（点P与点A，B可以重合），连接，过P作于点M．设，则，令，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
19．已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
20．若二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（    ）

A．点 B．点 C．点 D．点
21．已知，，是抛物线上的三点，则下列结论中正确的是（    ）
A． B． C． D．
22．将二次函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的函数图象的表达式为（    ）
A． B． C． D．
23．如图抛物线交x轴于点和，关于该抛物线的性质描述不正确的是（　　）

A． B．
C．当时，y随x的增大而减少 D．当时，
24．把二次函数先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，新二次函数表达式变为（    ）
A． B． C． D．
25．抛物线的图像如图所示，则一元二次方程的解是（    ）

A． B． C．或 D．无法确认
26．二次函数的图象可能是（    ）
A． B． C． D．
27．已知二次函数的图象经过点和点，则下列说法正确的是（    ）
A． B．对称轴
C．与轴的交点为 D．顶点坐标
28．已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是（    ）
A． B． C． D．
29．已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ）

A． B．
C． D．
30．如图，二次函数（，，为常数，且）的图象的对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴交于点．有下列结论：
①；
②；
③一元二次方程的两个实数根是和；
④当或时，．
其中，正确结论的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
31．二次函数的最大值是___________，最小值是___________．
32．抛物线与x轴交于两点，分别是，，则________
33．抛物线的顶点D在直线上运动，顶点运动时抛物线也随之运动，抛物线与直线相交于点Q，则点Q纵坐标的最大值为____________．
34．如图所示，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，对称轴为直线，直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是___________．（只填写序号）

35．如图，二次函数的图像的顶点为A，与y轴的交点为点B，过点B作轴交函数图像于点C，连接、，则的面积为_________．

36．对一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），，，，若用作为这条线段长度的近似值，当_____时，最小．
37．如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）经过点和．下列四个结论：①；②；③；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过定点．其中正确的结论是______（填序号）．

38．已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
……

2
3
4
……
y
……
5
2
5

……
当时，__________．
39．如图，某跑道的周长为且两端为半圆形，要使矩形内部操场的面积最大，直线跑道段的长应为______．

40．二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程，的两根分别为，5；④，上述结论中正确的是_________（只填序号）

三、解答题
41．抛物线经过A、、三点．点D为抛物线的顶点，连接、、、．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴上是否存在一点E，使为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
42．如图，已知抛物线的顶点为M，直线交抛物线于点，交x轴于点B

(1)求点M的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)设点是抛物线在x轴下方，顶点左方一段上的动点，连接，过以P为顶角顶点，为腰的等腰三角形的另一顶点C作x轴的垂线交直线于点D，连接，设的面积为S，求S与x之间的函数关系式；
(4)在上述动点中，是否存在使的点？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由
43．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台相关政策，本市企业提供产品给大学毕业生自主销售，政府还给予大学毕业生一定补贴．已知某种品牌服装的成本价为每件100元，每件政府补贴20元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：．
(1)若第一个月将销售单价定为160元，政府这个月补贴多少元?
(2)设获得的销售利润（不含政府补贴）为（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大销售利润?
(3)若每月获得的总收益（每月总收益=每月销售利润+每月政府补贴）不低于28800元，求该月销售单价的最小值．
44．对于抛物线．
(1)若抛物线过点，
①求顶点坐标；
②当时，直接写出的取值范围为_______；
(2)已知当时，，求和的值．
45．在平面直角坐标系中，有一函数过点．
(1)若，是一元二次方程的两个实数根，求的可能取值．
(2)过作直线，讨论直线与函数的交点个数(此时为确定的实数)．
(3)过原点作一条直线交该函数于另一点，再过作垂直于的直线交抛物线另一点于，请试探究面积的取值范围(此时为确定的实数)
46．如图1所示，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．

(1)求的面积；
(2)如图2所示，点P是抛物线上第一象限的一点，且，求点P的坐标；
47．一座拱桥的界面轮廓为抛物线型（如图1），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
　　
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），其表达式是的形式，请根据所给的数据求出a、c的值；
(2)求支柱MN的长度；
(3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽3m的隔离带），其中的一条行车道要能并排行驶三辆宽2m的汽车（汽车间的间隔忽略不计），则在最外侧车道上的汽车最高为_____m．高为2.5m的汽车在最外侧车道___（填“能”或“不能”）顺利通过拱桥下面．
48．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为

(1)该抛物线的对称轴是直线_______， _______；
(2)点是位于第二象限内的二次函数的图象上的一点，设其横坐标为求当为何值时，四边形的面积最大？最大面积是多少？
49．如图抛物线经过点，点，且．

(1)求抛物线的解析式及其对称轴；
(2)点P为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点P的坐标．
50．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．

(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标；
51．如图，抛物线过点A、B，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
52．如图，关于的二次函数的图像与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在．请求出点的坐标．像
53．已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P运动到什么位置时，的面积有最大值，面积最大值是多少？
54．定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．
(1)函数的友好同轴二次函数为 ．
(2)当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．
(3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．
55．已知抛物线（b是常数）经过点．
(1)求该抛物线解析式；
(2)直接写出当时，y的取值范围．
(3)若为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为，当点落在该抛物线上时，求m的值．
56．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为．

(1)求n的值和抛物线的解析式．
(2)已知P是抛物线上位于直线下方的一动点（不与点B，C重合），设点P的横坐标为a．当a为何值时，的面积最大，并求出其最大值．
(3)在抛物线上是否存在点M，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
57．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点B，与y轴交于点C．

(1)求a，b的值；
(2)若点P为直线上一点，点P到A，B两点的距离相等，将该抛物线向左（或向右）平移，得到一条新抛物线，并且新抛物线经过点P，求新抛物线的顶点坐标．
58．如图①，有一个直径为的圆形喷水池，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水池中心O处立着一个直径为的圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合．如图②，水柱距水池中心处到达最大高度为6，建立如图②所示的平面直角坐标系．

(1)选择图②中一条抛物线求其对应的函数关系式．
(2)求点M的纵坐标．
(3)如图③，在水池里过水池中心的直线上安装一排直线型喷头，且喷射水柱竖直向上，高度均为m，相邻两个直线型喷头的间距均为 m，且喷射的水柱不能碰到抛物线型水柱，要求在符合条件处都安装喷头，安装后关于OM成轴对称分布，且每相邻的两个直线型喷头的间距为 m．直接写出离中心O最远的两个直线型喷头的水平距离．
59．某公司生产的一种季节性产品，其单件成本与售价随季节的变化而变化.据调查：

①该种产品一月份的单件成本为6.6元/件，且单件成本每月递增0.2元/件；
②该种产品一月份的单件售价为5元/件，六月份的单件售价最高可达到10元/件，单件售价y（元/件）与时间x（月）的二次函数图象如图所示.
(1)求该产品在六月份的单件生产成本；
(2)该公司在哪个月生产并销售该产品获得的单件收益w最大？
(3)结合图象，求在全年生产与销售中一共有几个月产品的单件收益不亏损？（注：单件收益=单件售价-单件成本）
60．某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子的截面示意图），某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线（单位长度为）的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为．已知．

(1)求抛物线L的解析式和顶点坐标．
(2)请通过计算说明该同学抛出的弹珠能投入箱子．
(3)若弹珠投入箱内后立即向左上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且无阻挡时最大高度可达，则弹珠能否弹出箱子？请说明理由．

参考答案
1．B
2．D
3．B
4．B
5．C
6．B
7．A
8．C
9．C
10．A
11．A
12．B
13．C
14．A
15．D
16．D
17．C
18．A
19．A
20．A
21．A
22．A
23．C
24．C
25．C
26．B
27．D
28．C
29．C
30．C
31． 5 1
32．2
33．
34．②③④
35．/1.5
36．
37．①②④
38．
39．/100米
40．③④/④③
41．（1）解：∵经过、，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：在y轴上存在点E，使为直角三角形，理由如下：
∵抛物线的解析式为，
∴，
设E点坐标为，
∴，，，
当时，有，
∴，
解得，
∴此时点E的坐标为；
当时，，             
，
解得，
∴此时点E的坐标为；
当时，，
，
解得或，
∴此时点E的坐标为或．
综上所述，符合题意的点E的坐标为或或或．
42．（1）解：把代入中得，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴顶点M的坐标为；
（2）解：设直线的解析式为，
把，两点代入得：，
解得，
∴直线的解析式为，
（3）解：在中，令，解得，
∴B点坐标为；
设，
∵以为腰的等腰三角形的另一顶点C在x轴上，
∴C的坐标是，
∵轴，
∴，
∴，
∴．
∴；
（4）解：当，时，则，
∴，此时，即方程无解，
∴此种情形不成立；
当，时，则，
∴，即，
解得或（舍去），
∴
∴存在动点P，使，此时P点坐标为．
43．（1）解：在中，令，则，
∴政府这个月补贴元；
（2）由题意可得：，
∵，
∴当时，w有最大值30000．
即当销售单价定为200元时，每月可获得最大利润30000元．
（3）设每月获得的总收益为，
由题意可得：，
令，则，
解得：或，
∵，则抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，，
∴该月销售单价的最小值为140元．
44．（1）解：①∵抛物线过点，
∴，
解得：，
∴，
∴顶点坐标为；
②∵抛物线的对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围为．
故答案为：．
（2）∵抛物线
当时，，
∴抛物线与轴交于点，
∵当时，，
∴抛物线经历先下降再上升的过程，
∴，
解得：或（舍去），
∴，．
45．（1）解：
即，
解得：，
∴或，
∵过点
当时，
解得：
当时，
解得：，
综上所述，或；
（2）解：设过的直线，解析式为，
联立
即，
∴
∵的值不确定，
∴都有可能，
∴随的取值变化而变化，直线与函数的交点个数可以是0个，也可以是1个，也可以是2个
（3）面积的取值范围为大于的任何实数
46．（1）将点代入，得
，
解得，
∴，
当时，，
∴，
∴的面积；
（2）过P作轴于H，则，

∵，
∴，
∴，
设，则，，，，
∴，
∴，（不合题意舍去），
∴；
47．（1）解：由题意可得，、、，
将、代入，
得，
解得，．
（2）解：由（1）知，，
根据相邻两支柱间的距离均为5m，设，
将代入，
解得，
由图可知，拱桥最高处到地面得距离为，
故支柱MN的长度为．
（3）解：如图所示，设最外侧车道上得汽车位于点G处，汽车高度为GH，
DE为3m的隔离带，EG为并排行驶三辆宽2m的汽车得宽度，
则，


设，
将代入，
解得，
故在最外侧车道上的汽车最高为；

故高为2.5m的汽车在最外侧车道能顺利通过拱桥下面．

48．（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：

∴抛物线的表达式为：
∴抛物线的对称轴为
故答案为：
（2）如图，过点作轴于点交于点

则，




∴当时，有最大值，最大值为
49．（1）∵，
∴点，
则抛物线的表达式为：，
故，解得：，
故抛物线的表达式为：①，
函数的对称轴为：；
（2）如图，设直线交x轴于点E，

直线把四边形的面积分为两部分，
又∵，
则或，
则或，
即：点E的坐标为或，
将点E的坐标代入直线的表达式：，
解得：或，
故直线的表达式为：或②
联立①②并解得：或（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为或．
50．（1）解：将代入得，，
∴，
将代入得，解得，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
设抛物线的表达式为，
将代入得，，解得，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图1，过作于F，交于E，

∴，，则，



∵，
∴当时，四边形面积最大，值为；
将代入得，，
∴，
∴四边形面积S的最大值为，此时D点的坐标为．
51．（1）解：对于直线，
令，即，
解得：，
令，得，
∴，，
∵A为x轴负半轴上一点，且，
∴．
将点A、B的坐标分别代入中，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：存在．如图2，
由得抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵点P在x轴上，
∴设．
∵，
∴由勾股定理，得：，，，
分为三种情况讨论：
①当时，，
即，
解得，，
此时点P的坐标为或；
②当时，，即，
解得，（不符合题意，舍去），
此时点P的坐标为；
③当时，，
即，
解得，
此时点P的坐标为．
综上所述，在x轴上存在点P，使得为等腰三角形，满足条件的点P的坐标为或或或．

52．（1）解：把和代入，

解得：，，
二次函数的表达式为：；
（2）令，则，
解得：或，
，
，
点在轴上，当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图，

①当时，，
或
，；
②当时，，
；
③当时，

此时与重合，
；
综上所述，点的坐标为：或或或．
53．（1）由题意得：
，解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）
直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，解得：，
直线的表达式为：，
点的横坐标为，则，
过点作轴的垂线，交线段于点，

则，
，
当时，的值取最大，此时；
54．（1）设友好同轴二次函数为，
由函数可知，
对称轴为直线，与轴交点为，
，，对称轴为直线，
，
友好同轴二次函数为；
（2）由函数可求得，
该函数的友好同轴二次函数为；
①当时，时，，
解得：；
②当时，时，，
解得：；
综上所述，；
（3）由函数可求得，
该函数的友好同轴二次函数为，
把分别代入可得，
，，
则，
，
，
①当时，，即，
，
解得：；
②当时，，即，
，
解得：；
③当时，，即，
，
解得：；
综上所述，当时，；
当时，；
当时，．
55．（1）解：把代入到抛物线解析式中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，当时，函数有最小值，
∵，
∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小，
当时，，当时，，
∴当时，；
（3）解：关于原点的对称点为，
∴，
∵，都在抛物线上，
∴，
∴．
56．（1）解：对于，
令，则，
令，解得：，
当时，，
∴点A、B、C的坐标分别为；
将点B、C的坐标代入抛物线的表达式得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，过点P作y轴的平行线交于点H，连接，

设点P的坐标为，则点，
∴，
∴的面积，
∵，
∴当时，的面积存在最大值，最大值为64；
（3）解：存在，理由如下：
①当点B为直角顶点时，如图，此时，分别过点M和点C作y轴的垂线，垂足分别为N，D，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
∵点M在抛物线上，
∴，解得或0（舍），
∴，
∴；
②当点C为直角顶点时，如图，此时，过点作y轴的垂线，过点C作x轴的垂线，

由①知，
∴，
∴，
∴，
设点的横坐标为m，则，
∴，
∴，解得或8（舍），
∴．
综上所述，存在点M，使是以为直角边的直角三角形，此时点M的坐标为或．
57．（1）解：∵二次函数的图象经过点，点B，
∴，
解得；
（2）解：由（1）得抛物线解析式为
∴抛物线的对称轴为直线，，
∵点P到A，B两点的距离相等，
∴点P在抛物线的对称轴上，即在直线上，
设直线的解析式为，
∴，
∴
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
设平移后的新抛物线的解析式为，
∵新抛物线经过点P，
∴，
解得，
∴新抛物线的顶点坐标为或．
58．（1）解：选择图②中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式，
由题意，得抛物线的顶点坐标为，
设抛物线对应的函数关系式为，
将点代入，得，
解得，
∴抛物线对应的函数关系式为，
选择图②中第二象限内的抛物线求其对应的函数关系式．
由题意，得抛物线的顶点坐标为，
设抛物线对应的函数关系式为，
将点代入，得．
解得，
∴抛物线对应的函数关系式为；
（2）解：当时，，
∴点M的纵坐标为；
（3）解：当时，
，
解得：，，
∵安装后关于OM成轴对称分布，实心石柱直径为，邻的两个直线型喷头的间距为 m，
∴，，，
∴，
∴每边能装7个碰头，总的个喷头，
∴离中心O最远的两个直线型喷头的水平距离为：．
59．（1）由题意知：该种产品的单件成本n与月份x之间的关系满足：，当时，，可得.
∴六月份的单件生产成本为：（元）
（2）设单件售价y与月份x之间的函数关系式为：，
∵时，
∴，解得：.
所以单件收益，
配方得：，
当x=5或6时，，
所以该企业在5月份或6月份生产并销售该产品获得的单件收益最大
（3）单件收益不亏损需满足：，
由，得，即或，
结合图象可知：当时，，
即全年一共有8个月单件收益不亏损.
60．（1）解：当时，，
∵当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为．
∴结合题图可知抛物线L过点，
把，分别代入，
得，解得，
∴抛物线L的解析式为．
∵，
∴抛物线L的顶点坐标为．
（2）由题意得，，．
令，得，
解得．
∵，
∴该同学抛出的弹珠能投入箱子．
（3）不能．
理由如下：令，解得，
∴抛物线L与x轴负半轴交于点．
由题意可设抛物线M的解析式为，把代入，
得，
解得．
∵抛物线M的对称轴在直线左侧，
∴，
∴抛物线M的解析式为．
当时，，
故弹珠不能弹出箱子．