数学人教版9年级上册第24单元精准教学★★★★★题库

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数学人教版


数学人教版9年级上册
第24单元精准教学★★★★★题库
一、单选题
1．如图，点A，B，C，D在上，四边形是平行四边形，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
2．如图，是的直径，点是外一点，交于点，连接，．若，且与相切，则此时等于（　　）

A． B． C． D．
3．如图，在菱形中，，，点是边上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，当点从点运动到点时，点的运动路径长是（    ）

A． B． C． D．
4．如图，是的直径，C为上一点，射线与相切于点C，过点A作交于点D，垂足为点E，连接，，若，，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
5．如图，小明将一个自制的三角板放置在量角器上，则的度数等于（    ）

A． B． C． D．
6．如图，已知，为上一点，以为半径的圆经过点，且与，交于点，设，（ ）

A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．如图，是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（　　）

A． B． C． D．
8．如图，在等腰直角中，，，，点是上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值是（　　）

A．2 B．4 C． D．
9．如图，在中，，，D为线段上的动点，连接，过点B作交于点E，则在点D的运动过程中，求线段的最小值为（　　）

A．10 B． C．5 D．
10．如图，的弦，且于点E，连接．若，则的半径为（　　）

A． B． C． D．3
11．如图，内切于正方形，O为圆心，作，其两边分别交，于点N，M，若，则的面积为（    ）

A．π B．2π C．4π D．0.5π
12．如图，是的弦，延长相交于点P．已知，，则所对的圆心角的度数是（    ）

A． B． C． D．
13．如图，已知的周长是20，点O为三角形内心，连接、，于点D，且，则的面积是（　　）

A．20 B．25 C．30 D．35
14．如图，是等腰直角三角形，且，分别以A，B，C为圆心做弧，得到曲线，那么曲线和线段围成的图形（图中阴影部分）的面积为（　　）

A． B． C． D．
15．如图，在扇形中，D为弧上的点，连接并延长与的延长线交于点C，若，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
16．如图在由3个边长为1的正六边形组成的网格中，点P，Q是该网格的格点（正六边形的顶点），再选取一个格点O，得到．

结论Ⅰ：若是直角三角形，的长度有两种不同的取值：1和．
结论Ⅱ：若是等腰三角形，的长度有两种不同的取值：2和．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．I对Ⅱ不对 D．I不对Ⅱ对
17．如图，是的弦，半径于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则的面积为（    ）

A． B． C． D．
18．已知锐角，观察下图中的作图痕迹，判断下列结论错误的是（    ）

A．当时， B．
C．与互相垂直平分 D．连接、，是等腰三角形
19．如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（    ）

A．8 B． C．10 D．
20．如图，在圆内接四边形中，，为直径，若四边形的面积是，的长是，则与之间的数关系式是（    ）

A． B． C． D．
21．如图，在正方形中，，以边为直径作半圆，是半圆上的动点，于点，于点，设，，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．
22．如图，在矩形中，，，以为直径作，将矩形绕点顺时针旋转，使所得矩形的边与相切，边与相交于点，则的长为（　　）

A． B． C．3 D．4
23．如图，直径，的夹角为，为上的一个动点（不与点，，，重合）．，分别垂直于，，垂足分别为，．若的半径长为，则的长（　　）

A．随点运动而变化，最大值为 B．等于
C．随点运动而变化，最小值为 D．随点运动而变化，没有最值
24．如图，已知是的直径，点C是弧的中点，点D在的延长线上，连接交⊙O于点E，若，则（　　）

A．20° B．2° C．25° D．30°
25．如图，在中，为边上的一个动点，连接，以为直径作圆交于点P，连接．则线段长的最小值为（    ）

A． B． C． D．
26．如图，、分别是的直径，连接、，如果弦，且，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．
27．如图，直角三角形的一条边为，另一顶点P在直线l上，下面是三位学生作直角三角形的过程以及自认为正确的最终结论，下列判断正确的是（    ）
甲：过点A作直线l的垂线，垂足为；过点B作直线l的垂线，垂足为，故符合题意的点P有两处；
乙：以为直径作，与直线l交于，两点，故符合题意的点P有两处；
丙：过点A作，与直线l交于点；过点B作，与直线l交于点，故符合题意的点P有两处.

A．甲的作法和结论均正确 B．甲、乙的作法和结论合在一起才正确
C．乙、丙的作法和结论合在一起才正确 D．乙的作法和结论均不正确
28．如图，矩形中，，，以A为圆心，1为半径画，E是上一动点，P是上一动点，则最小值是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．
29．如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高，底面直径，球的最高点到瓶底面的距离为，则球的半径为（玻璃瓶厚度忽略不计） （   ）

A． B． C． D．
30．如图，为的切线，A，B分别为切点，，点P到圆心O的距离，则的半径为（　　）

A． B．1 C． D．2
二、填空题
31．如图，为的直径，弦于点M，将沿折叠，恰好经过点O，连接．若，则图中阴影部分的面积是______．

32．如图，为半圆O的直径，四边形是平行四边形，点D在半圆O上，与半圆O交于点M．若，则图中阴影部分的面积为________．

33．将绕点B逆时针旋转到，使A、B、C′在同一直线上，若，，，则图中阴影部分面积为_____．

34．如图，线段上一点O，以O为圆心，为半径作圆，上一点A，连结交于B点，连结，若，且，则_____．

35．如图，点N是矩形的边上的中点，以点N为圆心、为直径，在矩形的内部作出半圆，以点B为圆心、为半径在矩形内部作出四分之一圆，与相交于点M，连接，已知，图中阴影部分的面积 ____．

36．如图，点A，B的坐标分别为，C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接的最大值为 _____．

37．如图，在半圆O中半径为，，与交于点D
（1）＝______；
（2）当点D恰好为的中点时，＝_______．

38．如图，点A，C，D均在上，点B在内，且于点B，于点C，若，则的面积为_____．

39．如图，等腰内接于，，，点D是上一点，连结，点E是上一点，满足．若，则的面积是______．
  
40．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为2的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当___________时，与坐标轴相切．

三、解答题
41．如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与，分别相交于点，．

(1)求证：是的切线．
(2)若正方形的边长为，求的半径．
42．如图，已知是的外接圆，点D是的内心，的延长线与相交于点E，过E作直线．

(1)求证：l是的切线；
(2)连接，若，求的长．
43．B，C是⊙O上的两个定点，A是圆上的动点，，，．

(1)如图1，如果是等边三角形，求证是⊙O的切线；
(2)如图2，如果，，分别交⊙O于E，F，研究五边形的性质；
①探索、和的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，若⊙O的半径为6，，求边的长；
③若，，直接写出，的数量关系．
44．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点E．

(1)求证：；
(2)判断直线与的位置关系，并说明理由．
45．如图，经过正方形的顶点，，与相切于点，分别交，于点，，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)求的值．
46．如图，在中，，以为直径的与交于点，连接．

(1)尺规作图：作劣弧的中点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若与相切，求（1）中作图得到的的度数．
47．如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为的下半圆弧的中点，连接交于F，若．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
48．在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理：如图1，是的弦，点P在上，于点C，点D在弦上且，在上取一点Q，，连接，则．

(1)如图2，小亮尝试说明，于是他连接了，，，．请你帮助他完成下列证明．
①求证：；
②求证：．
(2)如图3，将材料中的“弦”改为“直径”，作直线l与相切于点Q．过点P作直线l于点G，其余条件不变，连接，．若，，求的半径的长
49．如图，为的直径，为的一条弦，过点A作直线，使．

(1)求证：为的切线；
(2)若，，，求的长．
50．如图，在中，点是直径延长线上的一点，点是直径上方圆上的一点，连接，使得．

(1)求证：是的切线；
(2)若平分，且分别交于点，当时，求的长．
51．如图，点P是外一点，与相切于A点，B，C是上的另外两点，连接，，

(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为5，，求的长．
52．如图，是的直径，C是上一点，于点D，过点C作的切线，交的延长线于点E，连接．

(1)求证：与相切；
(2)延长交的延长线于点F．若，，求的半径长．
53．已知与相切于点A，与相交于点B，点C在优弧上，且与点A，B不重合．

(1)如图①，若，求的大小；
(2)如图②，，垂足为D，若，，求的长．
54．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，点D在上，且，弧的度数是．

(1)求线段的长；
(2)求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）．
55．如图，与⊙O相切于点B，交⊙O于点C，的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，．

(1)求的大小；
(2)若点F在的延长线上，且，求证：与⊙O相切．
56．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作：

(1)若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为______；
(2)连接、，则的半径长为______（结果保留根号），的度数为______；
(3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长．（结果保留根号）
57．在中， 为弦（不是直径），K为劣弧的中点，C为优弧上一点，连接交于点M．

(1)如图1，作直径，连接，求证：；
(2)如图2，作直径交于N，若，求证：．
58．阅读材料并完成相应任务：
婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）．
婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．
下面对该定理进行证明．
已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点P，于点M，延长交于点N．
求证：．
证明：∵，，
∴，
∴．
……

任务：
(1)请完成该证明的剩余部分；
(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长．
59．如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作的切线交于D点．

(1)求证：；
(2)若的直径为，求线段的长．
60．如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点．

(1)求证：与相切；
(2)若的半径为，求正方形的边长．

参考答案
1．C
2．A
3．A
4．D
5．B
6．A
7．C
8．D
9．B
10．C
11．C
12．C
13．C
14．A
15．D
16．D
17．A
18．C
19．A
20．C
21．D
22．D
23．B
24．D
25．D
26．D
27．C
28．C
29．B
30．B
31．
32．
33．
34．/15度
35．
36．/
37． 60°
38．
39．
40．2或6或10
41．（1）证明：连，过作于；

与相切，
，
四边形是正方形，
平分，
，
与相切．
（2）四边形为正方形，
，，，
，，
，

又，


42．（1）连接，

∵点D是的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为半径，
∴l是的切线；
（2）在中，由勾股定理得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
．
43．（1）证明：如图1中，  
，，
∴四边形是平行四边形，
，，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
∵点O是等边的外心，
，
，
，
是⊙O的切线．
（2）解：①结论：．
理由：如图2中，连接，，
，

，
，
，
,
,
,

；
②如图3中，连接，，，．
由①可知，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
③结论：．
理由：如图3中，，，
，
，
∴，
∵四边形是平行四边形，
，，
．

44．（1）证明：为的直径，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：直线与相切，理由如下：
连接，如下图所示，

，
，
为的中位线，
，
，
，
为的半径，
∴直线与相切．

45．（1）证明：如图，连接，

经过正方形的顶点，，
，
是的直径，
，
四边形是矩形；
（2）解：连接交于点，连接，过点作于点，

经过圆心，
，
是的切线，
，
由（1）知四边形是矩形，
，
，
，
，
是半径，
，
同理可得四边形和四边形均为矩形，
，，，
，
设，，则，
，
，，
，
整理得，
，
或（舍去），
，
．
46．（1）如图，点E即为所求．

（2）与相切，为直径，
，
，
是等腰直角三角形，
；
由（1）可得
47．（1）证明：连接、，

∵D为弧的中点，
∴，
∴，  
∴，
∵，    
∴，
∵，
∴，   
∴，
∵为半径，
∴是切线；
（2）解：连接，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，  
∴，
在中，，  
∴，，
∴．
48．（1）证明：①∵，，
∴垂直平分线段，
∴，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴．
②∵，
∴，
由①知，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
（2）如图，连接，．

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵直线l与相切于点O，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，．
与（1）同理，可得，
∴，
∴的半径．
49．（1）证明：，
，
，
，
为的直径，
，
，
,
为的切线；
（2）解：连接，过点A作于点F，
是直径，
，
，，
在中，，
，
，  
，
，
，
，，
，
由勾股定理得：，，
．

50．（1）证明：连接，

为的直径，
，
，
，
，
，
，
，

是圆的半径，
是的切线；
（2）解：平分，
，
又，
，
即，
，
，
．
51．（1）解：连接，如图1所示：

∵，
∴，
∴，
∵切于点A，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）延长并延长交于D，连接，过P作于Q，如图2所示：

∵，
∴，
∴，四边形是矩形，
，
∴，
∵是的切线，
∴，
在中，设，则，
由勾股定理得：，
解得：，
即的长为15．
52．（1）证明：∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
在和中
∵
∴，
∴，
与相切；
（2）解：由（1）得，，
∵，
∴，，
∵，
∴在，设，则， ，，
∵，，，
∴在，，，
∵为的切线，
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∵，
∴
∵在中， ，
∴，
∵，
∴．
53．（1）解：如图，连接．

∵与相切于点A，
∴．得．
∵，
∴．
∴．
（2）如图，连接．

由（1）知，，．
∵，
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴，．
在中，．
∴．
54．（1）解：过作于，

∵弧的度数是，
，又，
∴，
，
∴
，
，
，，
；
（2）．
55．（1）解：连接，
∵与⊙O相切于点B，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；

（2）证明：连接，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，
即，
∵，是半径，
∴是⊙O的切线；
56．（1）解：连接、，
由各点坐标可知，网格中1个格代表2个单位长度，
利用网格特点，作线段、的垂直平分线，交点为D，
如图所示，
则点D的坐标为，
故答案为：；

（2）连接，如图，
，
即的半径长为；


，
为直角三角形，的度数为；
故答案为：；；

（3）设该圆锥的底面圆的半径长为，
由题意可得：
，
解得：，
即该圆锥的底面圆的半径长为．
57．（1）证明：如下图所示，连接，

∵K为劣弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵,
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
58．（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可证，
∴；
（2）解：∵四边形 为圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，即点N为的中点，
∴．
59．（1）证明：如图所示，连接，

点在上，，    
，
平分，
，
是切线，
，
，
，
，
（2）解：作于，

，
四边形是矩形，
，
，设，则，
，
，
在中，，
，
解得或（舍去），
，
，      
．
60．（1）解：如下图，过O作于H，

正方形，
，
是⊙O的切线，
，
，
为的半径，
为的半径，
与相切；
（2）的半径为，
，
由（1）可知， ，
，
，
四边形是正方形，
，
则在中，
，即，
，
解得：，
故正方形的边长为．