数学人教版8年级上册第14单元精准教学★★★★★题库

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数学人教版8年级上册
第14单元精准教学★★★★★题库
一、单选题
1．如图，用1块边长为a的大正方形，4块边长为b的小正方形和4块长为a，宽为b的长方形（），密铺成正方形，已知，正方形的面积为S（　　）

A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　）
A． B．
C． D．
3．若，，满足，，，则的值为（    ）
A．1 B． C． D．12
4．下列计算中正确的是（   ）
A． B．
C． D．
5．如果是多项式的一个因式．则k的值为（    ）
A． B．1 C．4 D．8
6．已知，则的值为（　　）
A． B．0 C． D．
7．已知实数、y、满足：(，下列式子一定成立的是(　　)
A． B． C． D．
8．已知当和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于（　　）
A． B． C．3 D．11
9．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．以下说法正确的有（    ）个．
①分解因式：；
②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等边三角形；
③若a，b，c为实数且满足，则这三边能构成三角形
A．3 B．2 C．1 D．0
10．对于两个整式，，有下面四个结论：（1）当时，的值为；（2）当时，则；（3）当时，则；（4）当时，则或；以上结论正确的有（    ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知，，则的值为（　　）
A．3 B．6 C．8 D．11
12．把分解因式，正确的是（    ）
A． B．
C． D．
13．计算的值为（    ）．
A． B． C． D．
14．若，，则代数式的值为（    ）
A．6 B．12 C．18 D．24
15．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ）
A． B．
C． D．
16．下列多项式：①，②，③，④．其中有一个相同因式的多项式是（    ）
A．①和② B．①和④ C．①和③ D．②和④
17．已知，则多项式的值为（    ）
A．24 B．18 C． D．
18．在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如：对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法生成的密码可以是（    ）
A． B． C． D．
19．已知，，那么下列关于，，之间满足的等量关系正确的是（    ）
A． B． C． D．
20．下式等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ）
A． B．
C． D．
21．若，则（    ）
A．， B．， C．， D．，
22．将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式．例如，由图（1）可得等式：．将图（2）所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（        ）

A． B． C． D．
23．小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（　　）
A． B．4043 C． D．1
24．已知，则代数式的值为（    ）
A．2020 B．2024 C．2021 D．2034
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E、AC于点F，在EF上确定一点P，使PB＋PD最小，则这个最小值为（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13
26．对于任意的有理数,我们规定  ,如  ．求的值为（    ）
A． B． C． D．
27．下列各式，从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ）
A． B．
C． D．
28．已知实数m，n满足，则的最大值为（    ）
A．24 B． C． D．
29．已知，则的值是(   )
A．0 B．1 C．－1 D．2
30．如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（    ）

A． B． C． D．
二、填空题
31．已知，则的值为__________．
32．已知，，且，则的值等于_______．
33．计算：（1）_________；（2）_______．
34．当时，代数式__________
35．若一个两位数（a，b均为正整数目：，）等于其各位数字之和的k倍（k为整数），则称M为“开心数”，k为M的开心指数，则24的开心指数为_______；若一个“开心数”N与其开心指数的8倍的差是14的正约数，则N的最大值为_______．
36．观察下列方程①；②；③；④；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．请写出第个方程是________．
37．已知多项式能分解为，则______，______．
38．甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，则正确的分解结果为_____．
39．已知分别是等腰三边的长，且满足．若均为正整数，则这样的等腰存在______个．
40．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“”还原，得原式．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请利用上述方法将分解因式的结果是___________．
三、解答题
41．阅读材料：
在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：．
解：原式


即原式
请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题．
分解因式：
(1)；
(2)．
42．因式分解：
(1)
(2)
43．（1）因式分解：
（2）解不等式（组）：
44．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到．请回答下列问题：

(1)写出图②中所表示的数学等式______；
(2)猜测______．
(3)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；
(4)在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．
45．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______．
A．提取公因式；B．平方差公式；C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式．
(2)该同学因式分解的结果是否彻底_______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_____．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
46．老师在讲完乘法公式的各种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：
∵    ∴
即：当时，的值最小，最小值是1，
请你根据上述方法，解答下列各题：
(1)直接写出：的最小值为___________
(2)求出代数式的最小值；
(3)若，求的最大值
47．（1）阅读材料：一个正整数x能写成（a，b均为正整数，且），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解．例如：，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解．
①请直接写出一个30以内且是两位数的雪松数，并写出它们的一个平方差分解；
②试证明10不是雪松数；
（2）若a，b正整数，且，求的值．
48．阅读下面的材料：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键是“拆两头，凑中间”，例如，分解因式，方法如下：拆两头，拆为拆为，然后排列如下：交叉相乘积相加得，凑得中间项，所以．利用材料解决问题的策略解答下列问题：

(1)解方程：
(2)已知，求的值．
49．（1）计算：
①
②．
（2）因式分解：
①    
②
50．已知对于任意实数x代数式的最小值是0，代数式，当时的最小值是0．
(1)求代数式的值是最小值时x的值．
(2)判断代数式的值是有最大值，还是最小值，并求出代数式的最大值或者最小值
51．（1）先化简，再求值：，其中，；
（2）分解因式：① ；② ．
52．请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法，求代数式的最小值．
，
∵，∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)，则________，___________；
(2)求证：无论x取何值，代数式的值都是正数；
(3)若代数式的最小值为3，求k的值．
53．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：



根据以上材料，解答下列问题：
(1)用多项式的配方法将化成的形式；
(2)下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式的解答过程，老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“_____”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：
解：


(3)求证：x，y取任何实数时，多项式的值总为正数．
54．阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．
过程如下：．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)若、、为非零实数，且，求证：．
55．（1）计算：；
（2）因式分解：．
56．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
例1：如图l，可得等式：；
例2：由图2，可得等式：．

(1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为_______________________；
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值．
(3)如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为．设，若的值与无关，求与之间的数量关系．
57．分解因式：
(1)；
(2)．
58．【观察】如图①是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图②所示，请直接写出，，之间的等量关系____________________________；

【应用】若，，则_______________；
【拓展】如图③，正方形的边长为x，，，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．
59．已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数，个位数字和十位数字组成两位数，并记．
例如：6237是“平方差数”，因为，所以6237是“平方差数”；
此时．
又如：5135不是“平方差数”，因为，所以5135不是“平方差数”．
(1)判断7425是否是“平方差数”？并说明理由；
(2)若是“平方差数”，且比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”M．
60．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：___________；
(2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值；
(3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．

参考答案
1．C
2．C
3．B
4．D
5．C
6．A
7．D
8．C
9．B
10．C
11．B
12．B
13．C
14．C
15．D
16．C
17．D
18．D
19．A
20．C
21．C
22．C
23．C
24．D
25．C
26．A
27．C
28．B
29．A
30．A
31．1
32．1
33．
34．0
35． 4 63
36．
37． ； ．
38．
39．4
40．
41．（1）解：

；
（2）解：

．
42．（1）解：


（2）解：


43．解：（1）

；
（2），
解①得：，
解②得：，
∴．
44．（1）解：由题意得，，
故答案为：
（2）解：由下图可得：
，
故答案为：；

（3）解：∵，，
∴，，
∵，
∴；
（4）解：该三角形为等边三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴该三角形是等边三角形．
45．（1）解：由是利用了两数和的完全平方公式，故C正确；
故选：C．
（2）解：∵，
∴该同学因式分解的结果不彻底，
最后结果为：．
故答案为：不彻底；．
（3）解：设，
原式



．
46．（1）解：∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：；
（2）解：
∵，
∴，
∴的最小值为3；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为7．
47．解：（1）①∵，
∴21是“雪松数”，5和2为21的一个平方差分解；
②设，
∵，
∴或，
解得：或，
∵a、b均为正整数，且，
∴方程组无解，
∴10不是“雪松数”；
（2）∵，
∴，
∴，
不妨令，
∴或，
解得：或，
∵a、b均为正整数，且，
∴，
∴．
48．（1）解：，

因式分解得：，
∴或，
解得：，；
（2）解：，

因式分解得：，
∴或，
即或，
∵，
∴，，
当时，，
当时，，
综上分析可知，的值为4或．
49．解： ①



②



（2）因式分解： ①；


②．



50．（1）解：∵

∴时，最小值为0；
（2）解：∵


∵
∴，有最大值，最大值为
51．解：（1）


，
当，时，原式；
（2）①
；
②


．
52．（1）

=
∴
∴
故答案为：3，1
（2）证明：

，
∵
∴
∴无论x取何值，代数式的值都是正数；
（3），
∵，
∴的最小值为，
又∵代数式的最小值为3，
∴，解得或．
53．（1）

；
（2）如图所示：
解：


正确的解答过程：


；
（3）证明：

，
故x，y取任何实数时，多项式的值总为正数．
54．（1）解：

；
（2）解：


；
（3）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
∴．
55．解：（1）


；
（2）

．
56．（1）解：∵正方形面积为，小块四边形面积总和为
∴由面积相等可得：，
故答案为：．
（2）解：由（1）可知，
∵，；
∴，
∴．
（3）解：由题意知，，，，，
∵，
∴，
即，
又∵为定值，
∴，即．
57．（1）解：

．
（2）解：


．
58．解：观察：由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，
大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，
∴，
故答案为：；
应用：∵，
∴，
将，代入得：，
∴，
∴，
故答案为：；
拓展：∵正方形的边长为x，
∴，，
∴，
设，，，
∴，
∴


，
∴图中阴影部分的面积为900．
59．（1）解： 7254是“平方差数”．理由如下：
∵，
∴7254是“平方差数”．
（2）∵是“平方差数”，
∴，
∵比M的个位数字的9倍大30，
∴，即，
∴，
即．
∵且均为30的正因数，
∴将30分解为或或．
①，
解得，
∵，
∴；
②，
解得，
∵，
∴（舍）；
③，
解得，
∵，，
∴（舍）或5214．
∴．
60．（1）解：原式


=；
故答案为：
（2），
，
，
解得：，
、、是 的三边长，
，
又是整数，；
边长的最小值是5；
（3）

，
，；
，
当 时, 即 时，取得最大值为16．