山东省济南莱州市2021届高三上学期开学考试数学试题 Word版含答案

这是一份山东省济南莱州市2021届高三上学期开学考试数学试题 Word版含答案，共15页。试卷主要包含了本试题满分100分等内容，欢迎下载使用。
莱州市高三入学测试
数学试题
注意事项：
1．本试题满分100分。
2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上。
3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰。超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，第1～7题只有一项符合题目要求，第8～10题有多项符合题目要求。全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
1.设集合，，则
A. B. C. D.
2.复数的共轭复数为
A. B. C. D.
3.若直线的倾斜角为，则的值为
A. B. C. D.
4. 若向量，，且，则
A. B. C. D.
5.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
6.《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、 坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成
（表示一根阳线，表示一根阴线），现有人各自随机的从八卦中任取两卦，恰有人两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线的概率为
A. B. C. D.
7.已知函数在上最大值为且递增，则 的最大值为
A. B. C. D.
8.下列命题中的真命题为
A.命题“”的否定是“对于”
B.已知，则“”是“”的必要不充分条件
C.若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是
D.函数与函数的定义域和值域都相同
9.已知数列为等差数列，，且，，是一个等比数列中的相邻三项，
记，则的前项和可以是
A. B. C. D.
10.已知正方体的棱长为，点分别棱的中点，下列结论正确的是
A.平面 B.四面体的体积等于
C.与平面所成角的正切值为 D.平面
二、填空题：本大题共有4个小题，每小题4分，共16分。
11.展开式的第五项的系数为
12.已知是定义在上的奇函数，若的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，且，则
13.过抛物线的焦点且斜率大于0的直线交抛物线于点(点于第一象限)，交其准线于点，若，则直线的斜率为
14.已知，函数，当时，不等式的解集是___________；若函数恰有2个零点，则的取值范围是___________．（本题每空2分）
三、解答题：本大题共5个小题，共44分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分8分）
在四边形中，，是上的点且满足与相似，，，.
(1)求的长度；
(2)求三角形面积的最大值.
16.（本小题满分8分）
在四棱锥中，为平行四边形，，
三角形是边长为的正三角形，.
（1）证明：；
（2）若为中点，在线段上，且，求二面角的大小.



17．（本小题满分9分）
2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法（修订草案）》初次提请全国人大常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定．草案提出，国家推行生活垃圾分类制度．为了了解人民群众对垃圾分类的认识，某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人（其中450人为女性）的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：
得分







男性人数
15
90
130
100
125
60
30
女性人数
10
60
70
150
100
40
20
（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求；

不太了解
比较了解
合计
男性



女性



合计



（2）把市民分为对垃圾分类“比较了解”（不低于60分的）和“不太了解”（低于60分的）两类，请完成如下列联表，并判断是否有的把握认为市民对垃圾分类的了解程度与性别有关?
(3)从得分不低于分的被调查者中采用分层 抽样的方法抽取名.再从这人中随机抽取人,求抽取的人中男性人数的分布列及数学期望.
参考数据:①；②若，则，，；
③
















，
18.（本小题满分9分）
已知椭圆：的离心率为，点在上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为坐标原点，，试判断在椭圆上是否存在三个不同点(其中的纵坐标不相等)，满足，且直线与直线倾斜角互补？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.

19.（本小题满分10分）
已知
（1）若在其定义域上为单调递减函数，求实数的取值范围；
（2）若函数在上有1个零点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：若，则不等式成立.

数学参考答案
一、选择题
1.B 2. A 3.C 4.B 5.D 6.A 7.C 8.BCD 9.BD 10.AC
二、填空题
11. 12. 13. 14. ；或
三、解答题
15. 解：（1）,
在三角形中，，
即， …………2分
所以，； …………4分
(2)因为，所以， …………5分
在三角形中，，
所以， …………6分
所以，
所以， …………7分
所以，
所以三角形面积的最大值为. …………8分
16.解：(1)因为，所以，所以，
又因为为平行四边形，所以,， …………1分
因为，所以，所以，
因为,所以,所以, …………2分
因为，所以，所以，
因为,所以,所以, …………3分
因为,所以. …………4分
(2)由 (1)知，两两垂直，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在三角形中，,则, ,, ,,,
…………5分
所以，,,,设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，，于是取 ， …………6分
又由 (1)知，底面为正方形，所以,
因为，所以,
因为,所以.

所以平面的一个法向量， …………7分
设二面角的大小为，
则，
所以二面角的大小为. …………8分
17.解：由题意知：， …………1分
又，，
所以. …………2分
（2）由题意得列联表如下：

不太了解
比较了解
合计
男性
235
315
550
女性
140
310
450
合计
375
625
1000
…………3分， …………4分
所以有的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关. …………5分
（3）不低于分的被调查者的男女比例为，所以采用分层抽样的方法抽取人中，男性为人，女性为人. …………6分
设从这人中随机抽取的人中男性人数为，则的取值为
，，
，，
所以随机变量的分布列为










…………8分
所以其期望 …………9分
18.解：（1）由题意知
可得，，，解得，，…………2分
则椭圆的方程为； …………3分
（2）由题意，直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，
设点，
联立，得，
所以 ，，
，
因为，
所以，
因为在椭圆上，所以，
化简得， …………5分
满足，
又因为直线与直线倾斜角互补，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以， …………7分
因为，所以，代入得， …………8分
所以存在满足条件的三个点，此时直线的方程为或. …………9分
19.解:（1）在上恒成立， …………1分
所以，
令，则，
由，得，所以在单调递增，
由，得，所以在单调递减，
所以当时，取得最小值， …………2分
所以. …………3分
（2）（i）
所以，
当时，，所以在单调递增，
又因为，所以在上无零点. …………4分
当时，使得，所以在单调递减，在单调递增，又因为，，
所以若，即时，在上无零点， ……5分
若，即时，在上有一个零点， …………6分
当时，在上单调递减，
在上无零点，
综上当时，在上有一个零点 …………7分
（ii）证明：要证当时，，
只需证
只需证， …………8分

设，
，所以在上单调递增，，
由（1）知，时，，即，当且仅当时取等号，
所以当时，
即，
所以， …………9分
又因为，所以，
所以，
所以
即，不等式成立. …………10分
（法二）证明：要证当时，，
只需证
只需 …………8分
又因为，所以，
只需证， …………9分
只需 且
设，
，所以在上单调递增，，
由（1）知，时，，即，当且仅当时取等号，
所以当时，
即，不等式成立. …………10分