宜丰中学2023届九年级上学期第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份宜丰中学2023届九年级上学期第一次月考数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题.，填空题(18分），解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023（上）初三第一次月考数学试卷
一、单选题（18分）.
1．计算：23=（　　）
A．5 B．6 C．8 D．9
2．据国家统计局公布，2015年我国国内生产总值约为676700亿元（人民币），请用科学记数法表示数据“676700亿”，结果是（　　）
A．6.767×105 B．6.676×1012 C．6.676×1013 D．6.676×1014
3．下列计算正确的是(　　)
A． B． C．D．
4．反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
5．设抛物线C1：向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2，则抛物线C2对应的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
6．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（ ）

A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9
二、填空题(18分）
7．一个矩形的面积为，若一边长为，则另一边长为___________．
8．化简_____________．
9．已知点P（3﹣m，m）在第二象限，则m的取值范围是____________________．
10．某班一次测验成绩（10分制）如下：10分4人，9分7人，8分14人，7分18人，6分5人，5分2人．则本次测验的中位数是____．
11．如图a，ABCD是一矩形纸片，AB＝6cm，AD＝8cm，E是AD上一点，且AE＝6cm．操作：（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c．则△GFC的面积是_____________

12．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为____．

三、解答题
13．（1）求值：
（2）解方程：
14．先化简，再求值：，其中x=﹣2．
15．请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．
（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；
（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．

16．小惠家大门进门处有一个三位单极开关，如图，每个开关分别控制着A（楼梯），B（客厅），C（走廊）三盏电灯，其中走廊的灯已坏（对应的开关闭合也没有亮）．
（1）若小惠任意闭合一个开关，“客厅灯亮了”是_______事件；若小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”是_______事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；
（2）若任意闭合其中两个开关，试用画树状图或列表的方法求“客厅和楼梯灯都亮了”的概率．

17．如图，在△ABC中，∠ACB=，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F.
（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；
（2）当∠A=时，求证：四边形ECBF是菱形.

18．如图，已知反比例函(k≠0)的图象经过点(8，-)，直线与反比例函数图象相交于点A和点B(m，4)．

(1)求上述反比例函数和直线的解析式；
(2)当时，请直接写出k的取值范围．
19．如图，在中，，是的平分线，点在上，经过，两点，交于点．
  
（1）求证：是的切线.
（2）若，，求的长．
20．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直经过CD的中点F时(如图3所示)放置较平稳．
(1)求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；
(2)为保护视力，写字时眼离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超过30cm，求台灯平稳放置时∠ABE的最大值．(结果精确到0.01°，参考数据：≈1.732，sin7.70°≈0.134，cos82.30°≈0.134，可使用科学计算器)

图1　 　   　　　图2　　　 　图3
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．

（1）若BM=BN，求t的值；
（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；
（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．
22．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．
（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．

23．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点（），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

(1)求a的值和直线AB的函数表达式：
(2)设△PMN的周长为，△AEN的周长为，若求m的值．
(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为（），连接、，求的最小值．




1．C
解析：解： 23=8．
故选：C
2．C
解析：解：676700亿；
故选C．
3．C
解析：A．，故该选项错误，不符合题意；  
B．，故该选项错误，不符合题意；
C．，故该选项正确，符合题意；
D．，故该选项错误，不符合题意；
故选C．
4．B
解析：∵函数的图象经过二、四象限，
∴k＜0，
由图知当x＝﹣1时，y＝﹣k＜1，
∴0＞k＞﹣1，
∴抛物线y＝2kx2﹣4x+k2开口向下，
对称轴为x＝﹣＝， ＜-1，
∴对称轴在﹣1左侧，
∵当x＝0时，y＝k2＜1．
故选B．
5．A
解析：试题分析：由“左加右减”的原则可知，向右平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移3个单位长度所得的抛物线的解析式为：．故选A．
考点：二次函数图象与几何变换．
6．D
解析：设小正方形的边长为x，根据图形可得：



∴，
∴S1=x2，
∵
∴，
∴S2=S正方形ABCD，
∴S2=x2，
∴S1：S2=x2：x2=4：9
故答案为：D
7．．
解析：请在此输入详解！
8．
解析：解：原式

．
故答案为：．
9．m>3.
解析：试题分析：因为点P在第二象限，所以，，解得：
考点：（1）平面直角坐标；（2）解不等式组
10．7.5
解析：解：由题意可知，共50个数据，按从大到小的顺序排列后，中位数是第25,26个数据的平均数，
即： ，
故答案为：7.5．
11．2cm2##2平方厘米
解析：由题意得：cm，，
∴．
∵，
∴cm，
∴cm2．
故答案为：2cm2．
12．6或或
解析：①当BA=BP时，
则AB=BP=BC=6，即线段BC的长为6；
②当AB=AP时，如图1，连接AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AE=AB=3，

∴BD=DP，
在Rt△AEO中，AE=3，AO=5，
∴OE==4，
∵∠OAE=∠BAD，∠AEO=∠ADB=90°，
∴△AOE∽△ABD，
∴，即，
∴BD=，
∴BD=PD=，即PB=，
∵AB=AP=6，
∴∠ABD=∠APC，
∵∠PAC=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△CPA，
∴，即，
∴CP=，
∴BC=BP-CP=-=；
③当PA=PB时，
如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，

∴AF=FB=3，
在Rt△OFB中，OB=5，FB=3，∴OF=4，
∴FP=9，
∵∠PAF=∠ABP=∠CBG，∠AFP=∠CGB=90°，
∴△PFB∽△CGB，
∴，
设BG=t，则CG=3t，
∵∠PAF=∠ACG，∠AFP=∠AGC=90°，
∴△APF∽△CAG，
∴，
∴，
解得t=，
∴BG=，CG=，
在Rt△BCG中，BC=，
综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为6或或；
故答案为6或或．
13．（1）（2），
解析：解：（1）；
（2），
因式分解得:,
所以，．
14．，
解析：解：原式=     
=
=，                     
当时，
原式=；
15．（1）作图见解析；（2）作图见解析.
解析：（1）如图所示：四边形EFGH即为所求的菱形；
（2）如图所示：四边形AECF即为所求的菱形．

16．（1）随机；不可能；（2）．
解析：解：（1）若小惠任意闭合一个开关，“客厅灯亮了”是随机事件；
∵走廊的灯已坏，
∴若小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”是不可能事件；
故答案为：随机；不可能；
（2）设客厅灯亮了为事件A，楼梯灯亮了为事件B，走廊灯亮了为事件C；则
树状图如下：

∴共有6种结果，其中“客厅灯和楼梯灯亮了”的有2种，
∴P（客厅灯和楼梯灯都亮了）．
17．（1）详见解析；（2）详见解析.
解析：解：（1）证明：∵D，E分别为边AC，AB的中点，
∴DE∥BC，即EF∥BC．
又∵BF∥CE，
∴四边形ECBF是平行四边形．
（2）证法一：
∵∠ACB=，∠A=，E为AB的中点，
∴，．
∴，
又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形,
∴四边形ECBF是菱形．
证法二：
∵∠ACB=，∠A=，E为AB的中点，
∴，∠ABC=，
∴△是等边三角形，
∴．
又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形,
∴四边形ECBF是菱形．
证法三：
∵E为AB的中点，∠ACB=，∠A=，
∴, ∠ABC=，
∴△是等边三角形，
∴.
又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形,
∴四边形ECBF是菱形．
18．(1)反比例函数解析式为
(2)﹣4＜x＜﹣1或x＞0
解析：（1）解：∵反比例函数(k≠0)的图象经过点(8,﹣)，
∴﹣=，
∴k=﹣4，
∴反比例函数解析式为=﹣．
∵点B(m，4)在反比例函数解析式为=﹣上，
∴4=﹣，
∴m=﹣1，
又B(﹣1,4)在=x+b上，
∴4=﹣1+b，
∴b=5，
∴直线的解析式为=x+5．
（2）解：联立两函数解析式，得
，
解得：，，
∴A(-4，1)，
由图象可知，当时x的取值范围﹣4＜x＜﹣1或x＞0．
19．（1）见解析；（2）BE=3.2.
解析：（1）如图，连接，
∵经过，两点，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴.
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线.
  
（2）解：设的半径为，
在中，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
过作于点，则，
∴，
∴，
∴，
∴由垂径定理得：.
    
20．(1)平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°
(2)台灯平稳放置时∠ABE的最大值是97.70°
解析：（1）解：由题意得，cm，，
∴
∴
∴平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°．
（2）解：如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，

∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴台灯平稳放置时∠ABE的最大值是97.70°．
21．（1）10-15；（2）t=或t=；（3）t=2.5；最小值为
解析：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，
∴，
由题意知，，，
由BM=BN得
解得：
（2）①当△MBN∽△ABC时，
∴，即，
解得：
②当△NBM∽△ABC时，
∴， 即，
解得：．
∴当或时，△MBN与△ABC相似．
（3）过M作MD⊥BC于点D，可得：，设四边形ACNM的面积为y，
∴


．
∴根据二次函数的性质可知，当时，y的值最小．
此时，

22．（1）=；（2）成立，证明见解析；（3）135°.
解析：（1）∵DE∥BC，
∴，
∵AB=AC，
∴DB=EC，
故答案为=，
（2）成立．
证明：由①易知AD=AE，
∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，
又∵AD=AE，AB=AC
∴△DAB≌△EAC，
∴DB=CE，
（3）如图，

将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，
∴△CPB≌△CEA，
∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，
∴∠CEP=∠CPE=45°，
在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=，
在△PEA中，PE2=（）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，
∵PE2+AE2=AP2，
∴△PEA是直角三角形
∴∠PEA=90°，
∴∠CEA=135°，
又∵△CPB≌△CEA
∴∠BPC=∠CEA=135°．
23．(1)a=-．直线AB解析式为y=-x+3；
(2)2
(3)
解析：（1）令y=0，则ax2+（a+3）x+3=0，
∴（x+1）（ax+3）=0，
∴x=-1或-，
∵抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），
∴-=4，
∴a=-．
∵A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y=kx+b，则，
解得，
∴直线AB解析式为y=-x+3；
（2）如图1，

∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN=∠AEN，
∵∠PNM=∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∵
∴，
∵NE∥OB，
∴，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴，
∴，
解得m=2或4，
经检验x=4是分式方程的增根，
∴m=2；
（3）如图2，在y轴上 取一点M′使得OM′=，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′=OE．

∵OE′=2，OM′•OB=，
∴OE′2=OM′•OB，
∴，
∵∠BOE′=∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴，
∴，
∴，此时最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），
最小值．