2022-2023学年湖南省益阳市安化县七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省益阳市安化县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖南省益阳市安化县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下面是我国有名的四所大学的校徽，其中是轴对称图形的是(    )
A. B. C. D.
2. 如图，两条直线l1，l2被第三条直线l3所截，其中一对同位角是(    )
A. ∠1与∠4
B. ∠2与∠4
C. ∠3与∠4
D. ∠1与∠3


3. 下列各式中能用公式法分解因式的是(    )
A. −x2+4x+4 B. x2+4 C. x2−2x+1 D. 4x2−4x+4
4. 用代入法解二元一次方程组y=x−1x−2y=5时，得到结果正确的是(    )
A. x−2x−1=5 B. x−2x+1=5 C. x−2x−2=5 D. x−2x+2=5
5. 下列各式计算正确的是(    )
A. a2⋅a3=a6 B. (a3)3=a6
C. (−2ab2)3=−8a3b6 D. 2a2+3a3=5a5
6. 为了考察甲、乙两块实验地块的果树苗长势，分别从中随机抽出10株果树苗，测得苗高如图所示，若m和n分别表示甲、乙两块地果树苗高数据的方差，则m与n的大小关系是(    )


A. mn D. 无法确定
7. 已知2xn−3−13y2m+5=0是关于x，y的二元一次方程，则mn的值为(    )
A. −116 B. 116 C. 16 D. −16
8. 王强同学统计了自己最近5次的跳远成绩(单位：cm)分别为245，245，246，247，251，则这组数据的中位数为(    )
A. 251 B. 246 C. 246.5 D. 245
9. 如图，将三角形OCD绕点O顺时针旋转55°后得到三角形OAB，此时CD//OB，若∠AOB=20°，则∠A的度数是(    )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
10. 如图，AB//CD，OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，OP⊥CD，∠ABO=40°，有下列结论：①∠BPO=90°；②OF⊥OE；③∠BOE=2∠BOD；④∠POE=∠DOF；⑤2∠POB=5∠DOF.其中正确的结论有(    )
A. 4个 B. 5个 C. 2个 D. 3个
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 因式分解：4m2−4= ______ ．
12. (2x)2⋅(−5xy2)= ______ ．
13. 为了落实“双减”，增强学生体质，某校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动.10名选手投中篮框的个数分别为6，9，9，10，9，8，7，7，6，10，则这组数据的众数是______ ．
14. 若a+b=2，ab=−4，则a3b+2a2b2+ab3的值为______ ．
15. 如图，这是一个风车图案，这个图案绕它的中心旋转相同的角度后能够与它本身重合，则旋转角度最小是______ ．


16. 如图，在三角形ABC中，过点A的直线MN⊥BC，将三角形ABC沿直线MN翻折，得到三角形AB′C′，若∠ACB=100°，则∠AC′B= ______ ．


17. 有这样一道题：“栖树一群鸦，鸦树不知数；三只栖一树，五只没去处；五只栖一树，闲了一棵树；请你动动脑，算出鸦树数.”前三句的意思：一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上栖息3只，则有5只没处栖息；若每棵树上栖息5只，则有一棵树上没有乌鸦.设乌鸦x只，树y棵，依题意可列方程组为______ ．
18. 如图，在大长方形ABCD中，放入6个相同的小长方形，则图中阴影的面积为______．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
解方程组：x−1=2(y+1)3+y2=x−3．
20. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(x−y)(x+3y)−x(x+2y)，其中x=13,y=−2．
21. (本小题8.0分)
在下面网格中，每个小正方形的边长为一个单位长度，A，B，C，O都是格点(网格线的交点)．
(1)将三角形ABC向左平移6个单位长度得到三角形A1B1C1，请画出三角形A1B1C1．
(2)将三角形ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到三角形A2B2C2，请画出三角形A2B2C2．

22. (本小题10.0分)
2023年全国射击锦标赛正在火热进行中，某区为发展射击运动，培养射击人才，策划了一次射击比赛，选取两所射击特色学校参赛，每个学校参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，将两所学校学生的成绩进行整理并绘制成如下统计图．

请你根据以上提供的信息解答下列问题．
(1)实验学校参加射击比赛的人数为______ 人，体育学校射击比赛成绩的众数落在______ 等级；
(2)请你根据平均数、中位数综合比较哪个学校射击水平较高．
23. (本小题10.0分)
如图，在四边形ACDE中，点F、G分别在AE和CD上，连接FG，且DE//FG，点B在AE的延长线上，连接BC，分别交GF、DE于点M，N，且∠2=∠3．
(1)求证：∠1=∠B；
(2)若∠A=∠1+70°，∠ACB=42°，求∠B的度数．

24. (本小题10.0分)
如图，长方形ABCD的周长为40cm，以它的四条边为边长向外作正方形，如果四个正方形的面积和为200cm2，求长方形ABCD的面积．

25. (本小题12.0分)
6月以来，某地持续高温，最高气温超过了30度，许多市民纷纷购买空调防暑降温.已知购买2台A型空调和1台B型空调需要8200元；购买2台A型空调和3台B型空调需要14600元．
(1)求购买一台A型空调和一台B型空调分别需要多少元；
(2)某单位需要购买A型空调5台，B型空调3台，现商家推出店庆活动，优惠一：A型空调满3台打8折；优惠二：总购物金额满20000元减2000元(两种优惠不同时享受)，问该单位如何购买更划算．
26. (本小题12.0分)
在课后学习中，小红探究平行线中的线段与角的数量关系，如图，直线AB//CD，点N在直线CD上，点P在直线AB上，点M为平面上任意一点，连接MP，MN，PN．

(1)如图1，点M在直线CD上，PM平分∠APN，试说明∠PMN=∠MPN；
(2)如图2，点M在直线AB，CD之间，∠PMN=70°，∠MNC=30°，求∠APM的度数；
(3)如图3，∠APM和∠MNC的平分线交于点Q，∠PQN与∠PMN有何数量关系？并说明理由．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
利用轴对称图形定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

2.【答案】A 
【解析】解：两条直线l1，l2被第三条直线l3所截，是同位角的为∠1与∠4，
故选：A．
根据同位角定义即可判断．
本题主要考查同位角、内错角、同旁内角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角．

3.【答案】C 
【解析】解：A、前后两项符号不同不符合完全平方公式，故本选项不符合题意；
B、两项符号相同不能采用公式法因式分解，故本选项不符合题意；
C、x2−2x+1=(x−1)2，符合完全平方公式，故本选项不符合题意；
D、不符合完全平方公式，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据平方差公式及完全平方公式的结构特点，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了运用公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握两个公式的形式．

4.【答案】D 
【解析】解：y=x−1①x−2y=5②，
把①代入②得：x−2(x−1)=5，
整理得：x−2x+2=5．
故选：D．
利用代入消元法进行求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．

5.【答案】C 
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故A不符合题意；
B、(a3)3=a9，故B不符合题意；
C、(−2ab2)3=−8a3b6，故C符合题意；
D、2a2与3a3不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：C．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

6.【答案】A 
【解析】解：从统计图数据可知，甲的10株果树苗的高度比较集中，整齐，而乙的10株果树苗的高度则显得分散，乙的离散程度较大，因此乙的方差也大，
∴m 故选：A．
根据统计图中的数据的离散程度，发现甲的离散程度显然要小于乙，因此S甲2 本题考查方差的意义，方差是用来反映一组数据的离散程度的统计量，方差越小，越整齐越稳定，离散程度小，反之就越大，通过观察直接得出结果，无需计算，也是数学中估算的应用．

7.【答案】C 
【解析】解：∵方程2xn−3−13y2m+5=0是关于x，y的二元一次方程，
∴n−3=1且2m+5=1，
解得：n=4，m=−2，
∴mn=(−2)4=16，
故选：C．
根据二元一次方程的定义得出n−3=1且2m+5=1，求出m、n的值，再求出答案即可．
本题考查了二元一次方程的定义，能根据二元一次方程的定义得出n−3=1和2m+5=1是解此题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：把这组数据从小到大排序后为245，245，246，247，251，
∴这组数据的中位数为246．
故选：B．
把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题考查了中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

9.【答案】D 
【解析】解：∵将三角形OCD绕点O顺时针旋转55°后得到三角形OAB，
∴∠AOC=55°，∠A=∠C，
∵∠AOB=20°，
∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=55°−20°=35°，
∵CD//OB，
∴∠BOC=∠C=35°，
∴∠A=35°，
故选：D．
由旋转的性质得出∠AOC=55°，∠A=∠C，根据平行线的性质得出∠BOC=∠C=35°，则可得出答案．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，求出∠BOC的度数是解题的关键．

10.【答案】A 
【解析】解：∵OP⊥CD，
∴∠COP=∠DOP=90°，
∵AB//CD，
∴∠BPO=∠COP=90°，
所以①正确，符合题意；
∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，
∴∠BOE=12∠BOC，∠BOF=12∠BOD，
∵∠BOC+∠BOD=180°，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=12(∠BOC+∠BOD)=90°，
∴OE⊥OF，
所以②正确，符合题意；
∵AB//CD，∠ABO=40°，
∴∠BOD=∠ABO=40°，
∴∠BOC=180°−∠BOD=180°−40°=140°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=12∠BOC=12×140°=70°，
∴∠BOE≠2∠BOD，
所以③错误，不符合题意；
∵OP⊥CD，
∴∠COP=90°，
∴∠EOF=∠POD=90°，
∴∠POE=90°−∠POF，∠DOF=90°−∠POF，
∴∠POE=∠DOF，
所以④正确，符合题意；
∵∠BOD=40°，OF平分∠BOD，
∴∠DOF=∠BOF=12∠BOD=12×40°=20°，
又∵∠DOP=90°
∴∠POB=∠DOP−∠BOD=90°−40°=50°，
∴2∠POB=5∠DOF，
所以⑤正确，符合题意；
符合题意的有4个，
故选：A．
根据垂直得到∠COP=90°，根据平行线的性质得到∠BPO=∠COP=90°；判断①；由角平分线的定义得到∠BOE=12∠BOC，∠BOF=12∠BOD，根据垂直的定义得到OE⊥OF，判断②；由平行线的性质和角平分线可得∠BOD=40°，即可得到∠BOC=140°，再根据角平分线求出∠BOE=70°，判断③；根据垂直的定义得到∠COP=90°，求得∠EOF=∠POD=90°，根据角的和差得到∠POE=∠DOF，判断④；根据角平分线可以求出∠DOF=20°，根据角的和差得到∠POB=50°，判断⑤．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．

11.【答案】4(m+1)(m−1) 
【解析】解：原式=4(m2−1)
=4(m+1)(m−1)．
故答案为：4(m+1)(m−1)．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

12.【答案】−20x3y2 
【解析】解：(2x)2⋅(−5xy2)
=4x2⋅(−5xy2)
=−20x3y2．
故答案为：−20x3y2．
根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．

13.【答案】9 
【解析】解：6，9，9，10，9，8，7，7，6，10，这组数据中，9出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为9．
故答案为：9．
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数进行求解即可．
本题主要考查了求一组数据的众数，熟知众数的定义是解题的关键．

14.【答案】−16 
【解析】解：∵a+b=2，ab=−4，
∴a3b+2a2b2+ab3
=ab(a2+2ab+b2)
=ab(a+b)2
=−4×22
=−16．
故答案为：−16．
先把代数式进行因式分解，再整体代入求解．
本题考查了因式分解的应用，把代数式进行因式分解是解题的关键．

15.【答案】90° 
【解析】解：图形看作正方形，
而正方形的中心角为90°，
所以此图案绕旋转中心旋转90°的整数倍时能够与自身重合，
故答案为：90°．
把此图案绕看作正方形，然后根据正方形的性质求解．
本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度(小于360°)后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．

16.【答案】80° 
【解析】解：∵∠ACB=100°，
∴∠ACB′=180°−∠ACB=80°，
∵三角形AB′C′由三角形ABC翻折得到，
∴AC=AC′，
∴∠AC′B=∠ACB′=80°，
故答案为：80°．
先求出∠ACB′的度数，根据翻折的性质得到AC=AC′，所以∠AC′B=∠ACB′，从而求出∠AC′B的度数．
本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，掌握翻折的性质是解题的关键．

17.【答案】3y+5=x5(y−1)=x 
【解析】解：由题意可得，
3y+5=x5(y−1)=x，
故答案为：3y+5=x5(y−1)=x．
根据每棵树上栖息3只，则有5只没处栖息，可得方程3y+5=x；根据每棵树上栖息5只，则有一棵树上没有乌鸦，可得方程5(y−1)=x；然后即可写出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．

18.【答案】44cm2 
【解析】解：设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，
依题意，得：x−y=6x+3y=14，
解得：x=8y=2，
∴14×(6+2y)−6xy=44．
故答案为：44cm2．
设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，观察图中给定的数据，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积=大长方形的面积−6×小长方形的面积，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

19.【答案】解：x−1=2(y+1)3+y2=x−3，
整理得：x−2y=3①2x−y=9②，
①×2得：2x−4y=6③，
②−③得：3y=3，
解得：y=1，
把y=1代入①得：x−2y=3，
解得：x=5，
故原方程组的解为：x=5y=1． 
【解析】利用加减消元进行求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．

20.【答案】解：(x−y)(x+3y)−x(x+2y)，
=x2−xy+3xy−3y2−x2−2xy
=−3y2，
当y=−2时，原式=−3×(−2)2=−3×4=−12． 
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

21.【答案】解：(1)如图，三角形A1B1C1即为所求；
(2)如图，三角形A2B2C2即为所求．
 
【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
本题考查作图−旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．

22.【答案】25  A 
【解析】解：(1)实验学校参加射击比赛的人数为6+12+2+5=25(人)，
体育学校射击比赛成绩的众数落在A等级；
故答案为：25，A；
(2)实验学校射击成绩的中位数为90分，体育学校射击成绩的中位数为80分，
从中位数看，实验学校好于体育学校．
实验学校射击水平较高，
实验学校射击成绩的平均数为125×(100×6+12×90+80×2+70×5)=87.6(分)，
体育学校射击成绩的平均数为100×44%+4%×90+80×36%+70×16%=87.6(分)，
从平均数看，两个学校射击水平相同．
综上所述，实验学校射击水平更高．
(1)把各等级的数相加即可得实验学校参加射击比赛的人数；根据扇形统计图即可得体育学校射击比赛成绩的众数；
(2)求出各个学校的中位数和平均数，根据结果分析比较．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．本题也考查了对平均数、中位数、众数的认识．

23.【答案】(1)证明：∵DE//FG，
∴∠2=∠D，
∵∠2=∠3，
∴∠3=∠D，
∴AB//CD，
∴∠1=∠B；
(2)解：∵AB//CD，
∴∠A+∠ACD=180°，
∵∠A=∠1+70°，∠ACB=42°，
∴(∠1+70°)+(∠1+42°)=180°，
∴∠1=34°，
∴∠B=∠1=34°． 
【解析】(1)先根据平行线的性质证得∠2=∠D，已知∠2=∠3，等量代换证得∠3=∠D，再根据AB//CD即可证得∠1=∠B；
(2)根据平行线的性质先证得∠A+∠ACD=180°，已知∠A=∠1+70°，∠ACB=42°，即可得到(∠1+70°)+(∠1+42°)=180°，求出∠1，再利用平行线的性质求出∠B即可．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．

24.【答案】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=CD，AD=BC，
设AB=CD=x cm，AD=BC=y cm，
∵以长方形ABCD的四条边为边长向外作正方形，
∴四个正方形的边长分别为：x cm，x cm，y cm，y cm，
又∵这四个正方形的面积和为200cm2，
∴2x2+2y2=200，
即：x2+y2=100．
因为长方形ABCD的周长为40cm，
∴x+y=12×40=20，
∴(x+y)2=202，
即：x2+y2+2xy=400，
∴100+2xy=400，
∴xy=300，
∴长方形ABCD的面积为150cm2． 
【解析】设AB=CD=x cm，AD=BC=ycm，由四个正方形的面积和为200cm2可得x2+y2=100，再根据长方形ABCD的周长为40cm得x+y=20，据此得(x+y)2=202，再由乘法公式得x2+y2+2xy=400，由此得xy=150cmcm2，进而可得长方形ABCD的面积．
此题主要考查了完全平方公式的实际应用，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握完全平方公式的结构特征．

25.【答案】解：(1)设购买一台A型空调需要x元，购买一台B型空调需要y元，
根据题意得：2x+y=82002x+3y=14600，
解得：x=2500y=3200．
答：购买一台A型空调需要2500元，购买一台B型空调需要3200元；
(2)选择优惠一所需费用为2500×0.8×5+3200×3=19600(元)；
选择优惠二所需费用为2500×5+3200×3−2000=20100(元)．
∵19600<20100，
∴该单位选择优惠一更划算． 
【解析】(1)设购买一台A型空调需要x元，购买一台B型空调需要y元，根据“购买2台A型空调和1台B型空调需要8200元；购买2台A型空调和3台B型空调需要14600元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)利用总价=单价×数量，结合商家推出的两种优惠方案，可分别求出选项方案一及选择方案二所需费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

26.【答案】解：(1)∵AB//CD，
∴∠APM=∠PMN．
∵PM平分∠APN，
∴∠APM=∠MPN，
∴∠PMN=∠MPN；
(2)如图，过点M作ME//CD，

∴∠EMN=∠MNC=30°，
∵AB//CD，ME//CD，
∴ME//AB，
∴∠APM=∠PME，
∴∠PMN=∠PME+∠EMN=∠APM+∠MNC，
∵∠PMN=70°，
∴∠APM=∠PMN−∠MNC=70°−30°=40°；
(3)2∠PQN=∠PMN，理由如下：
由(2)可知∠PMN=∠APM+∠MNC，
同理可得：∠PQN=∠APQ+∠QNC，
∵PQ和NQ分别是∠APM和∠MNC的平分线，
∴∠APQ=12∠APM,∠QNC=12∠MNC，
∴∠PQN=∠APQ+∠QNC，
=12∠APM+12∠MNC=12∠PMN，
∴2∠PQN=∠PMN． 
【解析】(1)根据平行线的性质证明∠APM=∠PMN，再由角平分线定义得∠APM=∠MPN，进行代换即可；
(2)过点M作ME//AB，利用平行公理的推论证明ME//CD，再根据平行线的性质，证明有关角与角之间的关系，进行代换即可；
(3)由(2)的方法求出∠PQN和∠PMN，再根据已知条件证明即可．
本题主要考查了平行线的性质应用，解题关键是根据平行线的性质，找出角与角之间的关系．