人教版2023年七年级上册 第3章 一元一次方程 单元检测卷

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人教版2023年七年级上册 第3章 一元一次方程 单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列方程中，是一元一次方程的是（　　）
A．2x﹣y＝1 B．y﹣9＝2y C．y＝6x D．＝7
2．下列根据等式的基本性质变形正确的有（　　）
①若a＝b，则ac＝bc；②若ac＝bc，则a＝b；③若a＝b，则＝；④若＝，则a＝b； ⑤若＝，则＝．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．若x＝﹣1是方程ax﹣（2a+x）＝4的解，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
4．下列是解一元一次方程2（x+3）＝5x的步骤：
2（x+3）＝5x2x+6＝5x2x﹣5x＝﹣63x＝﹣6x＝﹣2
其中说法错误的是（　　）
A．①步的依据是乘法分配律
B．②步的依据是等式的性质1
C．③步的依据是加法结合律
D．④步的依据是等式的性质2
5．解方程3＝1﹣2（4+x），以下去括号正确的是（　　）
A．3＝1﹣8﹣2x B．3＝1﹣8+2x C．3＝1﹣8+x D．3＝1﹣8﹣x
6．把方程3x+＝3﹣去分母正确的是（　　）
A．18x+（2x﹣1）＝18﹣（x+1）
B．3x+（2x﹣1）＝3﹣（x+1）
C．18x+2（2x﹣1）＝18﹣3（x+1）
D．3x+2（2x﹣1）＝3﹣3（x+1）
7．一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行用3h，从乙码头返回甲码头用了5h，已知轮船在静水中的平均速度为32km/h，求水流的速度，若设水流的速度为xkm/h，则可列方程为（　　）
A．3（32+x）＝5×32 B．3×32＝5×（32﹣x）
C．3（32+x）＝5×（32﹣x） D．＝
8．对有理数a，b规定新运算※的意义是：a※b＝a+2b，则方程3x※x＝2﹣x的解是（　　）
A． B．3 C．﹣3 D．
9．在某月的月历中圈出相邻的3个数，其和为43．这3个数的位置可能是（　　）
A． B． C． D．
10．某超市推出如下优惠方案：
（1）购物款不超过200元不享受优惠；
（2）购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠；
（3）购物款超过600元一律享受八折优惠．
小明的妈妈两次购物分别付款168元、423元．如果小明的妈妈在超市一次性购买与上两次价值相同的商品，则小明的妈妈应付款（　　）元．
A．522.80 B．560.40 C．510.40 D．472.80
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．已知方程5xm﹣2+1＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是 　 　．
12．如果﹣5x+6＝1﹣6x，那么x＝　 　，根据　 　．
13．当x＝　 　时，代数式2x﹣2的值与代数式3x+3的值相等．
14．标价80元的裤子，打八五折后，优惠了 　 　元．
15．数学谜题：3×2〇+5＝〇2，“〇”内填上同一个数字 　 　，可使等式成立．
16．（古代数学问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，则根据题意列出方程　 　．
17．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，p的绝对值等于3，则关于x的方程（a+b）x2+4cdx+p2＝x的解为 　 　．
18．一系列方程，第1个方程是x+＝3，解为x＝2；第2个方程是，解为x＝6；第3个方程是，解为x＝12；…根据规律第10个方程是　 　，解为　 　．
三．解答题（共6小题，满分46分）
19．（6分）解下列方程
（1）3（x﹣1）＝9 （2）x﹣＝．






20．（7分）小马虎在解关于x的方程去分母时，方程右边的“﹣1”没有乘以6，最后他求得方程的解为3．
（1）求m的值；
（2）求该方程正确的解．






21．（7分）“遥知兄弟登高处，遍插茱萸少一人．”每年农历九月九日是重阳节，又称老人节，志愿者服务小组在老人节这天购买了一些中老年奶粉到敬老院慰问老人，如果送给每位老人3袋，那么剩余12袋；如果送给每位老人4袋，那么还差24袋，敬老院一共有多少位老人？






22．（7分）我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”．例如：2x＝4的解为2，且2＝4﹣2，则方程2x＝4是差解方程．请根据上述规定解答下列问题：
（1）判断3x＝4.5是否为差解方程，并说明理由．
（2）若关于x的一元一次方程5x＝m+1是差解方程，求m的值．









23．（9分）运动场环形跑道周长为300米，爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为3米/秒，与此同时小红在爷爷后面100米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，速度为a米/秒．
（1）若a＝1，求两人第一次相遇所用的时间；
（2）若两人第一次相遇所用的时间为80秒，试求a的值．







24．（10分）如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点，点C对应的数为3，BC＝2，AB＝6．

（1）求点A，B对应的数；
（2）动点M，N分别同时从AC出发，分别以每秒3个单位和1个单位的速度沿数轴正方向运动．P为AM的中点，Q在CN上，且CQ＝CN，设运动时间为t（t＞0）．
①求点P，Q对应的数（用含t的式子表示）；
②t为何值时OP＝BQ．









解析卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列方程中，是一元一次方程的是（　　）
A．2x﹣y＝1 B．y﹣9＝2y C．y＝6x D．＝7
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
【解答】解：A．2x﹣y＝1，只含有两个未知数（元），且未知数的次数是1，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B．y﹣9＝2y，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，是一元一次方程，故本选项符合题意；
C．y＝6x，含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D．，未知数的最高次数不是1，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．下列根据等式的基本性质变形正确的有（　　）
①若a＝b，则ac＝bc；②若ac＝bc，则a＝b；③若a＝b，则＝；④若＝，则a＝b； ⑤若＝，则＝．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用等式的性质分别判断得出答案．
【解答】解：①若a＝b，则ac＝bc，正确；
②若ac＝bc，则a＝b（c≠0），故此选项错误；
③若a＝b，则＝（c≠0），故此选项错误；
④若＝，则a＝b，正确；
⑤若＝，则＝，正确．
故选：C．
3．若x＝﹣1是方程ax﹣（2a+x）＝4的解，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
【分析】将x＝﹣1代入原方程即可计算出a的值．
【解答】解：将x＝﹣1代入方程ax﹣（2a+x）＝4得：
﹣a﹣2a+1＝4，
解得a＝﹣1．
故选：A．
4．下列是解一元一次方程2（x+3）＝5x的步骤：
2（x+3）＝5x2x+6＝5x2x﹣5x＝﹣63x＝﹣6x＝﹣2
其中说法错误的是（　　）
A．①步的依据是乘法分配律
B．②步的依据是等式的性质1
C．③步的依据是加法结合律
D．④步的依据是等式的性质2
【分析】根据解一元一次方程的步骤求解即可．
【解答】解：解一元一次方程2（x+3）＝5x的步骤：2（x+3）＝5x2x+6＝5x2x﹣5x＝﹣63x＝﹣6x＝﹣2，
①步的依据是乘法分配律；
②步的依据是等式的性质1；
③步的依据是合并同类项的法则；
④步的依据是等式的性质2．
故选：C．
5．解方程3＝1﹣2（4+x），以下去括号正确的是（　　）
A．3＝1﹣8﹣2x B．3＝1﹣8+2x C．3＝1﹣8+x D．3＝1﹣8﹣x
【分析】利用去括号法则进行变形即可．
【解答】解：已知3＝1﹣2（4+x），
则3＝1﹣8﹣2x，
故选：A．
6．把方程3x+＝3﹣去分母正确的是（　　）
A．18x+（2x﹣1）＝18﹣（x+1）
B．3x+（2x﹣1）＝3﹣（x+1）
C．18x+2（2x﹣1）＝18﹣3（x+1）
D．3x+2（2x﹣1）＝3﹣3（x+1）
【分析】根据等式的性质去分母即可．
【解答】解：3x+＝3﹣，
去分母，得18x+2（2x﹣1）＝18﹣3（x+1），
故选：C．
7．一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行用3h，从乙码头返回甲码头用了5h，已知轮船在静水中的平均速度为32km/h，求水流的速度，若设水流的速度为xkm/h，则可列方程为（　　）
A．3（32+x）＝5×32 B．3×32＝5×（32﹣x）
C．3（32+x）＝5×（32﹣x） D．＝
【分析】首先求出船的顺流速度＝静水速度+水速＝32+x，逆流速度＝静水速度﹣水速＝32﹣x，从甲码头到乙码顺流行驶用了3h，从乙码头返回甲码头流行驶用了5h，根据速度×时间＝路程，求出甲、乙两个码头之间的距离联立方程即可．
【解答】解：设水流速度为xkm/h，则顺流速度为（32+x）km/h，逆流速度为（32﹣x）km/h，
3（32+x）＝5（32﹣x）．
故选：C．
8．对有理数a，b规定新运算※的意义是：a※b＝a+2b，则方程3x※x＝2﹣x的解是（　　）
A． B．3 C．﹣3 D．
【分析】根据a※b＝a+2b，由3x※x＝2﹣x，可得3x+2x＝2﹣x，再根据解一元一次方程的方法，求出x的值即可．
【解答】解：∵a※b＝a+2b，且3x※x＝2﹣x，
∴3x+2x＝2﹣x，
移项，可得：3x+2x+x＝2，
合并同类项，可得：6x＝2，
系数化为1，可得：x＝．
故选：A．
9．在某月的月历中圈出相邻的3个数，其和为43．这3个数的位置可能是（　　）
A． B． C． D．
【分析】设最小的数是x，假设A、B、C、D都可能，月历中的数的特点是：横行中的数后面的数比前面的数大1，竖列中的数下面的数比上面的数大7，由A图得x+x+7+x+7+1＝43，由B图得x+x+1+x+1+7＝43，由C图得x+x+1+x+7＝43，由D图得x+x+7﹣1+x+7＝43，分别求出相应的x的值可发现只有由D图列出的方程的解符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：设最小的数是x，假设A、B、C、D都可能，
由A图得x+x+7+x+7+1＝43，
解得x＝，不符合题意，
所以3个数的位置不可能是A；
由B图得x+x+1+x+1+7＝43，
解得x＝，不符合题意，
所以3个数的位置不可能是B；
由C图得x+x+1+x+7＝43，
解得x＝，不符合题意，
所以3个数的位置不可能是C；
由D图得x+x+7﹣1+x+7＝43，
解得x＝10，符合题意，
所以3个数的位置可能是D，
故选：D．
10．某超市推出如下优惠方案：
（1）购物款不超过200元不享受优惠；
（2）购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠；
（3）购物款超过600元一律享受八折优惠．
小明的妈妈两次购物分别付款168元、423元．如果小明的妈妈在超市一次性购买与上两次价值相同的商品，则小明的妈妈应付款（　　）元．
A．522.80 B．560.40 C．510.40 D．472.80
【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过200，即是168元．第二次就有两种情况，一种是超过200元但不超过600元一律9折；一种是购物超过600元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数．
【解答】解：（1）第一次购物显然没有超过200元，即在第二次消费168元的情况下，他的实质购物价值只能是168元．
（2）第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：
①第一种情况：他消费超过200元但不足600元，这时候他是按照9折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9＝423，解得：x＝470．
①第二种情况：他消费超过600元，这时候他是按照8折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8＝423，解得：x＝528.75（舍去）
即在第二次消费423元的情况下，他的实际购物价值可能是470元．
综上所述，他两次购物的实质价值为168+470＝638（元），超过了600元．因此一次性购买可以按照8折付款：
638×0.8＝510.4（元）
综上所述，她应付款510.4元．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．已知方程5xm﹣2+1＝0是关于x的一元一次方程，则m的值是 　3　．
【分析】根据一元一次方程的定义（含有一个未知数且未知数的指数为1）得到m﹣2＝1，求解即可．
【解答】解：∵方程5xm﹣2+1＝0是关于x的一元一次方程，
∴m﹣2＝1，
解得：m＝3．
故答案为：3．
12．如果﹣5x+6＝1﹣6x，那么x＝　﹣5　，根据　等式性质1　．
【分析】根据等式的基本性质1可知：﹣5x+6＝1﹣6x先两边同加6x，再同减去6，可得x＝﹣5．
【解答】解：根据等式的基本性质1，﹣5x+6＝1﹣6x两边同加6x，得x+6＝1，
根据等式性质1，等式两边同减去6，可得x＝﹣5．
13．当x＝　﹣5　时，代数式2x﹣2的值与代数式3x+3的值相等．
【分析】根据题意可得：2x﹣2＝3x+3，然后按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
2x﹣2＝3x+3，
2x﹣3x＝3+2，
﹣x＝5，
x＝﹣5，
故答案为：﹣5．
14．标价80元的裤子，打八五折后，优惠了 　12　元．
【分析】根据优惠额＝计算即可．
【解答】解：设优惠x元，由题意得，
x＝80×（1﹣）
x＝12（元），
故答案为：12．
15．数学谜题：3×2〇+5＝〇2，“〇”内填上同一个数字 　9　，可使等式成立．
【分析】设“〇”内填的数字是x，则3×20+3x+5＝10x+2，然后根据解一元一次方程的方法，求出x的值即可．
【解答】解：设“〇”内填的数字是x，
∵3×2x+5＝x2，
∴3×20+3x+5＝10x+2，
∴60+3x+5＝10x+2，
移项，可得3x﹣10x＝2﹣60﹣5，
合并同类项，可得：﹣7x＝﹣63，
系数化为1，可得：x＝9，
∴3×2〇+5＝〇2，“〇”内填上同一个数字9，可使等式成立．
故答案为：9．
16．（古代数学问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，则根据题意列出方程　8x﹣3＝7x+4　．
【分析】可设有x个人，根据所花总钱数不变列出方程即可．
【解答】解：设有x人，根据题意，
可列方程：8x﹣3＝7x+4，
故答案为：8x﹣3＝7x+4．
17．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，p的绝对值等于3，则关于x的方程（a+b）x2+4cdx+p2＝x的解为 　x＝﹣3　．
【分析】由相反数得出a+b＝0，由倒数得出cd＝1，由绝对值得出p＝±3，然后将其代入关于x的方程（a+b）x2+3cd⋅x﹣p2＝0中，从而得出x的值．
【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，p的绝对值等于3，
∴a+b＝0，cd＝1，p＝±3，
∴p2＝（±3）2＝9，
将其代入关于x的方程（a+b）x2+4cdx+p2＝x中，
可得：4x+9＝x，
解得：x＝﹣3．
故答案为：x＝﹣3．
18．一系列方程，第1个方程是x+＝3，解为x＝2；第2个方程是，解为x＝6；第3个方程是，解为x＝12；…根据规律第10个方程是　　，解为　x＝110　．
【分析】观察这一系列方程可发现规律，第n个方程为+＝2n+1，解为n（n+1）．然后将10代入即可得到答案．
【解答】解：第1个方程是x+＝3，解为x＝2×1＝2；
第2个方程是，解为x＝2×3＝6；
第3个方程是，解为x＝3×4＝12；
…
可以发现，第n个方程为+＝2n+1
解为n（n+1）．
∴第10个方程是 +＝21，
解为：x＝10×11＝110．
故答案为：+＝21；x＝110．
三．解答题（共6小题，满分46分）
19．（6分）解下列方程
（1）3（x﹣1）＝9
（2）x﹣＝．
【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）去括号得：3x﹣3＝9，
移项合并得：3x＝12，
解得：x＝4；
（2）去分母得：6x﹣4x+2＝3x﹣3，
移项合并得：﹣x＝﹣5，
解得：x＝5．
20．（7分）小马虎在解关于x的方程去分母时，方程右边的“﹣1”没有乘以6，最后他求得方程的解为3．
（1）求m的值；
（2）求该方程正确的解．
【分析】（1）根据题意可得x＝3是方程2（x﹣1）＝3（x+2m）﹣1的解，将之代入即可求出m的值；
（2）根据解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1；进行计算即可．
【解答】解：（1）由题意得，x＝3是方程2（x﹣1）＝3（x+2m）﹣1的解，
∴2（3﹣1）＝3（3+2m）﹣1，
4＝9+6m﹣1，
6m＝﹣4，
解得；
（2）原方程为，
去分母得：，
去括号得：2x﹣2＝3x﹣4﹣6，
移项合并得：﹣x＝﹣8，
系数化为1得：x＝8．
21．（7分）“遥知兄弟登高处，遍插茱萸少一人．”每年农历九月九日是重阳节，又称老人节，志愿者服务小组在老人节这天购买了一些中老年奶粉到敬老院慰问老人，如果送给每位老人3袋，那么剩余12袋；如果送给每位老人4袋，那么还差24袋，敬老院一共有多少位老人？
【分析】设敬老院一共有x位老人，则奶粉的袋数可表示为（3x+12）袋或（4x﹣24）袋，列方程得3x+12＝4x﹣24，解方程求出x的值即可．
【解答】解：设敬老院一共有x位老人，
因为奶粉的袋数不变，
所以4x﹣24＝3x+12，
解得x＝36，
答：敬老院一共有36位老人．
22．（7分）我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”．例如：2x＝4的解为2，且2＝4﹣2，则方程2x＝4是差解方程．请根据上述规定解答下列问题：
（1）判断3x＝4.5是否为差解方程，并说明理由．
（2）若关于x的一元一次方程5x＝m+1是差解方程，求m的值．
【分析】（1）解方程，并计算对应b﹣a的值与方程的解恰好相等，所以是差解方程；
（2）解方程，根据差解方程的定义列式，解出即可．
【解答】解：（1）∵3x＝4.5，
∴x＝1.5，
∵4.5﹣3＝1.5，
∴3x＝4.5是差解方程；
（2）5x＝m+1，
x＝，
∵关于x的一元一次方程5x＝m+1是差解方程，
∴m+1﹣5＝，
解得：m＝．
23．（9分）运动场环形跑道周长为300米，爷爷一直都在跑道上按逆时针方向匀速跑步，速度为3米/秒，与此同时小红在爷爷后面100米的地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，速度为a米/秒．
（1）若a＝1，求两人第一次相遇所用的时间；
（2）若两人第一次相遇所用的时间为80秒，试求a的值．

【分析】（1）根据时间＝路程差÷速度差，列出算式计算即可求解；
（2）分情况讨论①当a＞3时和当a＜3时，列出方程计算即可求解．
【解答】（1）设小红、爷爷两人第一次相遇所用的时间为x秒，
根据题意，得：3x﹣x＝200，
解这个方程，得：x＝100．
答：小红、爷爷两人第一次相遇所用的时间100秒．
（2）①当a＞3时，
根据题意，得：80a﹣80×3＝100，
解得：a＝4.25．
②当a＜3时，
根据题意，得：80×3﹣80a＝200，
解得：a＝0.5．
答：a的值为0.5或者4.25．
24．（10分）如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点，点C对应的数为3，BC＝2，AB＝6．
（1）求点A，B对应的数；
（2）动点M，N分别同时从AC出发，分别以每秒3个单位和1个单位的速度沿数轴正方向运动．P为AM的中点，Q在CN上，且CQ＝CN，设运动时间为t（t＞0）．
①求点P，Q对应的数（用含t的式子表示）；
②t为何值时OP＝BQ．
【分析】（1）根据点C所表示的数，以及BC、AB的长度，即可写出点A、B表示的数；
（2）①根据数轴的特点求得点P、Q对应的数（用含t的式子表示）；
②根据OP＝BQ列出关于t的方程并解方程即可．
【解答】解：（1）∵点C对应的数为3，BC＝2，
∴点B对应的数为3﹣2＝1，
∵AB＝6，
∴点A对应的数为1﹣6＝﹣5．

（2）①∵动点M，N分别同时从A、C出发，分别以每秒3个单位和1个单位的速度沿数轴正方向运动，且运动时间为t
∴AM＝3t，CN＝t
∵P为AM的中点，Q在CN上，且CQ＝CN，
∴AP＝t，CQ＝t
∵点A对应的数为﹣5，点C对应的数为3
∴点P对应的数为﹣5+t，点Q对应的数为3+t．
②∵OP＝BQ．
∴|0﹣（﹣5+t）|＝|3+t﹣1|．
解得：t＝或t＝6．