高考数学一轮复习 精选习题：第八篇　平面解析几何 第2节　圆与方程 Word版含解析

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 www.ks5u.com第2节　圆与方程【选题明细表】知识点、方法题号圆的方程1,3,6,9点与圆的位置关系2,7与圆有关的最值(取值)问题4,11,12,14与圆有关的轨迹问题5,8圆的综合问题10,13基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·全国名校第四次大联考)若方程4x2+4y2-8x+4y-3=0表示圆,则其圆心为(　D　)(A)(-1,-) (B)(1,)(C)(-1,)  (D)(1,-)解析:圆的一般方程为x2+y2-2x+y-=0,据此可得,其圆心坐标为(-,-),即(1,-).故选D.2.(2018·七台河市高三期末)已知圆C:x2+y2-2x-4y=0,则下列点在圆C内的是(　D　)(A)(4,1)  (B)(5,0)  (C)(3,4)  (D)(2,3)解析:圆C化为标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5,将选项一一代入,可得(2,3)在圆C内,故选D.3.(2018·青岛二模)已知圆的方程x2+y2+2ax+9=0,圆心坐标为(5,0),则它的半径为(　D　)(A)3  (B)   (C)5  (D)4解析:圆的方程x2+y2+2ax+9=0,即(x+a)2+y2=a2-9,它的圆心坐标为(-a,0),再根据它的圆心坐标为(5,0),可得a=-5,故它的半径为==4,故选D.4.(2018·兰州市一模)已知圆C:(x-)2+(y-1)2=1和两点A(-t,0), B(t,0)(t>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则t的取值范围是(　D　)(A)(0,2] (B)[1,2] (C)[2,3] (D)[1,3]解析:圆C:(x-)2+(y-1)2=1的圆心C(,1),半径为1,因为圆心C到O(0,0)的距离为2,所以圆C上的点到点O的距离的最大值为3,最小值为1,再由∠APB= 90°,以AB为直径的圆和圆C有交点,可得PO=AB=t,故有1≤t≤3,故选D.5.(2018·淄博调研)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　A　)(A)(x-2)2+(y+1)2=1  (B)(x-2)2+(y+1)2=4(C)(x+4)2+(y-2)2=4  (D)(x+2)2+(y-1)2=1解析:设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则解得因为点Q在圆x2+y2=4上,所以+=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.故选A.6.(2018·天津卷)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为　                        . 解析:法一　设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为圆经过点(0,0),(1,1),(2,0),所以解得所以圆的方程为x2+y2-2x=0.法二　画出示意图如图所示,则△OAB为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.答案:x2+y2-2x=07.已知圆C的圆心在x轴上,并且经过点A(-1,1),B(1,3),若M(m,)在圆C内,则m的取值范围为　　　　. 解析:设圆心为C(a,0),由|CA|=|CB|,得(a+1)2+12=(a-1)2+32,解得a=2.半径r=|CA|==.故圆C的方程为(x-2)2+y2=10.由题意知(m-2)2+()2<10,解得0<m<4.答案:(0,4)8.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.则M的轨迹方程为　     . 解析:圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4,设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y),由题设知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.答案:(x-1)2+(y-3)2=2能力提升(时间:15分钟)9.(2018·吴忠模拟)与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是(　C　)(A)(x+1)2+(y+1)2=2  (B)(x+1)2+(y+1)2=4(C)(x-1)2+(y+1)2=2  (D)(x-1)2+(y+1)2=4解析:由题意圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1),半径为,所以过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0,所求的圆的圆心在此直线上,排除A,B,因为圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为=3,则所求的圆的半径为,故选C.10.若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则+的最小值为(　D　)(A)1 (B)5 (C)4 (D)3+2解析:由题意知圆心C(2,1)在直线ax+2by-2=0上,所以2a+2b-2=0,整理得a+b=1,所以+=(+)(a+b)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,即b=2-,a=-1时,等号成立.所以+的最小值为3+2.故选D.11.过圆x2+y2=1上一点作圆的切线与x轴,y轴的正半轴交于A,B两点,则|AB|的最小值为(　C　)(A)   (B)   (C)2  (D)3解析:设圆上的点为(x0,y0),其中x0>0,y0>0,则切线方程为x0x+y0y=1.分别令x=0,y=0得A(,0),B(0,),则|AB|==≥=2.当且仅当x0=y0时,等号成立.12.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,设点P是圆C上的动点.记d=|PB|2+|PA|2,其中A(0,1),B(0,-1),则d的最大值为　　　　. 解析:设P(x0,y0),d=|PB|2+|PA|2=+(y0+1)2++(y0-1)2=2(+)+ 2.+为圆上任一点到原点距离的平方,所以(+)max=(5+1)2=36,所以dmax=2×36+2=74.答案:7413.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.(1)求直线CD的方程;(2)求圆P的方程.解:(1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2).所以直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.①又直径|CD|=4,所以|PA|=2.所以(a+1)2+b2=40.②由①②解得或所以圆心P(-3,6)或P(5,-2),所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.14.已知M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求m+2n的最大值;(2)求的最大值和最小值.解:(1)因为x2+y2-4x-14y+45=0的圆心C(2,7),半径r=2,设m+2n=t,将m+2n=t看成直线方程,因为该直线与圆有公共点,所以圆心到直线的距离d=≤2,解上式得16-2≤t≤16+2,所以所求的最大值为16+2.(2)记点Q(-2,3),因为表示直线MQ的斜率k,所以直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.由直线MQ与圆C有公共点,得≤2.可得2-≤k≤2+,所以的最大值为2+,最小值为2-.