高考数学一轮复习检测：第3章第4节 函数f(x)＝asin(ωx＋φ)的图象及应用 含解析

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限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级　基础夯实练
1．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)
A．x＝－(k∈Z)　　　　 B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
解析：选B.将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin 2＝2sin的图象．由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．
2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f的值为(　　)

A．－ B．－
C．－ D．－1
解析：选D.由函数图象可得A＝，最小正周期T＝4×＝π，则ω＝＝2.
又f＝sin＝－，|φ|<，得φ＝，则f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1，故选D.
3．将函数y＝sin图象上的点P向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则(　　)
A．t＝，s的最小值为
B．t＝，s的最小值为
C．t＝，s的最小值为
D．t＝，s的最小值为
解析：选A.点P在函数y＝sin的图象上，∴t＝sin＝.所以P.将点P向左平移s(s>0)个单位长度得P′.因为P′在函数y＝sin 2x的图象上，所以sin 2＝，即cos 2s＝，所以2s＝2kπ＋或2s＝2kπ＋π，即s＝kπ＋或s＝kπ＋(k∈Z)，又s>0，所以s的最小值为.
4．(2018·衡水模拟)将函数y＝f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则下面对函数y＝g(x)的叙述正确的是(　　)
A．函数g(x)＝2sin
B．函数g(x)的周期为π
C．函数g(x)的一个对称中心为点
D．函数g(x)在区间上单调递增
解析：选C.将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位，可得函数y＝2sin＝2sin的图象；
再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)＝2sin的图象，
故g(x)的周期为＝，排除A，B.
令x＝－，求得g(x)＝0，可得g(x)的一个对称中心为，故C满足条件．
在区间上，4x＋∈，函数g(x)没有单调性，故排除D.
5．(2018·广东珠海质检)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，为了得到g(x)＝cos 2x的图象，则只需将f(x)的图象(　　)

A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选D.根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜)的图象，可得A＝1，×＝－，
∴ω＝2.
因此f(x)＝sin(2x＋φ)．
由题图，知f＝sin＝－1，
∴＋φ＝2kπ－(k∈Z)．
又|φ|＜，∴φ＝.
∴f(x)＝sin.
∵f(x)＝sin＝cos
＝cos＝cos＝cos，
故把f(x)＝sin的图象向左平移个单位，可得g(x)＝cos 2x的图象．
6．(2018·太原模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象与直线y＝b(0＜b＜A)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A．[6kπ，6kπ＋3]，k∈Z B．[6k－3，6k]，k∈Z
C．[6k，6k＋3]，k∈Z D．[6kπ－3，6kπ]，k∈Z
解析：选C.因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象与直线y＝b(0＜b＜A)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，
所以T＝6＝，所以ω＝，且当x＝3时函数取得最大值，所以×3＋φ＝，所以φ＝－，
所以f(x)＝Asin，
所以－＋2kπ≤πx－≤＋2kπ，k∈Z，
所以6k≤x≤6k＋3，k∈Z.
7．(2018·唐山模拟)已知角φ的终边经过点P(－4，3)，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f的值为________．
解析：由角φ的终边经过点P(－4，3)，可得cos φ＝－.
根据函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，
可得周期为＝2×，解得ω＝2，
∴f(x)＝sin(2x＋φ)，
∴f＝sin＝cos φ＝－.
答案：－
8．(2018·南昌模拟)电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的图象如右图所示，则当t＝秒时，电流强度是______安．
解析：由函数图象知A＝10，＝－＝，
∴ω＝＝100π.∴I＝10sin(100πt＋φ)，
∵图象过点，
∴10sin＝10，
∴sin＝1，＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，又∵0＜φ＜，∴φ＝.
∴I＝10sin，
当t＝秒时，I＝－5(安)．
答案：－5
9．(2018·河北邯郸调研)已知函数f(x)＝2cos2 ωx－1＋2cos ωxsin ωx(0＜ω＜1)，直线x＝是f(x)图象的一条对称轴．
(1)试求ω的值；
(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值．
解：f(x)＝2cos2 ωx－1＋2cos ωxsin ωx＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin.
(1)由于直线x＝是函数f(x)＝2sin图象的一条对称轴，
∴sin＝±1.
∴ω＋＝kπ＋(k∈Z)，
∴ω＝k＋(k∈Z)．
又0＜ω＜1，∴－＜k＜.
又∵k∈Z，从而k＝0，∴ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝2sin，由题意可得
g(x)＝2sin，即g(x)＝2cosx.
∵g＝2cos＝，
∴cos＝.
又α∈，
∴＜α＋＜，
∴sin＝，
∴sin α＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.
10．已知函数f(x)＝sin ωx－sin(ω＞0)．
(1)若f(x)在[0，π]上的值域为，求ω的取值范围；
(2)若f(x)在上单调，且f(0)＋f＝0，求ω的值．
解：f(x)＝sin ωx－sin＝sin ωx－sin ωx－cos ωx＝sin ωx－cos ωx＝sin.
(1)由x∈[0，π]⇒ωx－∈，又f(x)在[0，π]上的值域为，即最小值为－，最大值为1，则由正弦函数的图象可知≤ωπ－≤，解得≤ω≤.∴ω的取值范围是.
(2)因为f(x)在上单调，所以≥－0，则≥，即ω≤3，又ω＞0，所以0＜ω≤3，由f(0)＋f＝0且f(x)在上单调，得是f(x)图象的对称中心，∴－＝kπ，k∈Z⇒ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω≤3，所以ω＝2.
B级　能力提升练
11．(2017·天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
解析：选A.∵f＝2，f＝0，∵f(x)的最小正周期大于2π.
∴－＝，∴T＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.
由2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|＜π，∴取k＝0，得φ＝.
12．(2018·石家庄质检)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象关于点对称，则m的值可能为(　　)

A. B．
C. D．
解析：选D.依题意得解得
＝＝－＝，
故ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)＋.
又f＝sin＋＝，
故＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)．
因为|φ|＜，故φ＝，
所以f(x)＝sin＋.
将函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后得到g(x)＝sin＋的图象，又函数g(x)的图象关于点对称，即h(x)＝sin的图象关于点对称，故sin＝0，即＋2m＝kπ(k∈Z)，故m＝－(k∈Z)．令k＝2，则m＝.
13．(2018·青岛二中月考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，若x1，x2∈(－，)，则f(x1)＝f(x2)，且f(x1＋x2)＝________．

解析：观察题中图象可知，A＝1，T＝π，
∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)．
将代入上式得sin＝0，
由已知得φ＝，故f(x)＝sin.
函数图象的对称轴为x＝＝.
又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，
∴f(x1＋x2)＝f＝f
＝sin＝.
答案：
14．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x





Asin(ωx＋φ)
0
5

－5
0
(1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．
解：(1)根据表中已知数据，得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如表：
ωx＋φ
0

π

2π
x




π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
得g(x)＝5sin.
因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，令＋－θ＝，k∈Z，
解得θ＝－，k∈Z.由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
15．已知函数f(x)＝2cos πx·cos2＋sin[(x＋1)π]·sin φ－cos πx的部分图象如图所示．

(1)求φ的值及图中x0的值；
(2)将函数f(x)的图象上的各点向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝2cos πx·cos2＋sin[(x＋1)π]·sin φ－cos πx＝cos πx·－sin πx·sin φ
＝cos πx·cos φ－sin πx·sin φ＝cos(πx＋φ)．
由题图可知，cos φ＝，又0＜φ＜，所以φ＝.
又cos＝，所以πx0＋＝，
所以x0＝.
(2)由(1)可知f(x)＝cos，将图象上的各点向左平移个单位长度得到y＝cos
＝cos的图象，然后将各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍后得到g(x)＝cos的图象．
因为x∈，所以－≤πx＋≤.
所以当πx＋＝0，即x＝－时，g(x)取得最大值；
当πx＋＝，即x＝时，g(x)取得最小值－.
C级　素养加强练
16．(2018·广东中山质检)已知函数f(x)＝msin x＋ncos x，且f是它的最大值(其中m，n为常数，且mn≠0)．给出下列命题：
①f为偶函数；
②函数f(x)的图象关于点对称；
③f是函数f(x)的最小值；
④函数f(x)的图象在y轴右侧与直线y＝的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，P4，…，则|P2P4|＝π.其中正确命题的个数是________个．
解析：由于函数f(x)＝msin x＋ncos x＝sin(x＋φ)，且f是它的最大值，
∴＋φ＝2kπ＋，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z.
∴f(x)＝sin
＝sin.
对于①，由于f＝·sin(x＋＋)＝cos x是偶函数，故①正确；
对于②，由于当x＝时，f(x)＝0，故函数f(x)的图象关于点对称，故②正确；
对于③，由于f＝·sin＝－是函数f(x)的最小值，故③正确；
对于④，由正弦函数的图象可知，|P2P4|等于最小正周期2π.故④不正确．
答案：3