高考数学一轮复习检测：第4章第1节 平面向量的线性运算与基本定理 含解析

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．(2018·吉林白山模拟)AC为平行四边形ABCD的一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)

A．(2,4)　　　　　　　 B．(3,7)

C．(1,1)  D．(－1，－1)

解析：选D.∵＝－＝(－1，－1)，

∴＝＝(－1，－1)．

2．(2018·保定模拟)若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)则c＝(　　)

A．－a＋b  B．a－b

C.a－b  D．－a＋b

解析：选B.设c＝λ1a＋λ2b，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，

∴λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝，λ2＝－，

所以c＝a－b.

3．(2018·唐山模拟)设a，b为不共线的非零向量，＝2a＋3b，＝－8a－2b，＝－6a－4b，那么(　　)

A.与同向，且||＞||

B.与同向，且||＜||

C.与反向，且||＞||

D.∥

解析：选A.＝＋＋＝2a＋3b＋(－8a－2b)＋(－6a－4b)＝－12a－3b，又＝－8a－2b，

∴＝.

∵＞0，∴与同向，且||＝||＞||.

∴||＞||.

4．(2018·江门二模)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行，则A＝(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B.因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，又sin B≠0，从而tan A＝，由于0＜A＜π，所以A＝.

5．(2018·合肥模拟)已知a，b是不共线的两个向量，向量＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件为(　　)

A．λ＋μ＝2  B．λ－μ＝1

C．λμ＝1  D．λμ＝－1

解析：选C.∵向量a和b不共线，∴和为非零向量，则A，B，C三点共线的充要条件为存在k(k≠0)，使得＝k，即λa＋b＝k(a＋μb)＝ka＋kμb，∵a和b不共线，∴λ＝k，1＝kμ，∴λμ＝1，故选C.

6．(2018·九江模拟)如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y＝(　　)

A．0  B．1

C．5  D．

解析：选D.建立如图所示平面直角坐标系，设小方格的边长为1.

则向量a＝(1,2)，b＝(2，－1)，c＝(3,4)，

∵c＝xa＋yb，

即解得

∴x＋y＝＋＝.

7．(2018·河北保定质检)设M是△ABC所在平面上的一点，且＋＋＝0,，D是AC的中点，则的值为(　　)

A.  B．

C．1  D．2

解析：选A.∵D是AC的中点，∴＋＝0,.又∵＋＋＝0,，∴＝－(＋)＝－×2，即＝3，故＝，∴＝.故选A.

8．(2018·常州八校联考)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于________．

解析：因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，所以＝－，∴λ＝－，μ＝.

所以λ＋μ＝.

答案：

9．(2018·银川模拟)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0,.其中正确命题的个数为________．

解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①错误；＝＋＝a＋b，故②正确；

＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；

∴＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0,.

∴正确的命题为②③④.

答案：3

10．(2018·济南模拟)已知非零向量e1，e2，a，b满足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2.给出以下结论：

①若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝－2；

②若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝2；

③存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线；

④不存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线．

其中正确的是________(只填序号)．

解析：若a与b共线，即a＝λb，即2e1－e2＝λke1＋λe2，而e1与e2不共线，

所以解得k＝－2.故①正确，②不正确．

若e1与e2共线，则e2＝λe1，有

因为e1，e2，a，b为非零向量，所以λ≠2且λ≠－k，所以a＝b，即a＝b，这时a与b共线，所以不存在实数k满足题意．故③不正确，④正确．

综上，正确的结论为①④.

答案：①④

B级　能力提升练

11．(2018·河南中原名校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　　)

A.－　　　　　 B．－

C．－＋  D．－＋

解析：选C.解法一：如图，取AB的中点G，连接DG，CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，所以＝＝－＝－，所以＝＋＝＋＝＋＝＋，于是＝－＝－＝＋－＝－＋.

解法二：＝(＋)＝－＋×

＝－＋(－)＝－＋(－)

＝－＋＝－＋.

12．(2018·烟台质检)在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)

A.  B．

C．1  D．3

解析：选B.如图，因为＝，P是上一点，

所以＝，＝m＋＝m＋.

因为B，P，N三点共线，

所以m＋＝1，所以m＝.

13．(2018·山西四校联考)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选D.依题意，设＝λ，其中1＜λ＜，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.

又＝x＋(1－x)，且，不共线，于是有x＝(1－λ)∈，即x的取值范围是.

14．(2018·洛阳模拟)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝＋＋2，则点P一定为△ABC的(　　)

A．AB边中线的中点

B．AB边中线的三等分点(非重心)

C．重心

D．AB边的中点

解析：选B.如图设AB的中点为M，则＋＝，所以＝(＋2)，即3＝＋2⇒－＝2－2⇒＝2.又与有公共点P，所以P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．

15．(2017·江苏卷)如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1,1，，与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝________.

解析：由tan α＝7，得tan＝＝－.

以O为原点，OA方向为x轴正半轴建立坐标系(图略)，则A点坐标为(1,0)．

由tan＝－，的模为1，可得B.由tan α＝7，的模为，可得C.

由＝m＋n，代入A、B、C点坐标可得，

解得

∴m＋n＝3.

答案：3

C级　素养加强练

16．(2018·天水模拟)如图，在等腰直角三角形ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n(m＞0，n＞0)，则mn的最大值为________．

解析：以A为坐标原点，线段AC、AB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设△ABC的腰长为2，则B(0,2)，C(2,0)，O(1,1)．

∵＝m，＝n，

∴M，N，

∴直线MN的方程为＋＝1，

∵直线MN过点O(1,1)，∴＋＝1，即m＋n＝2，

∴mn≤＝1，当且仅当m＝n＝1时取等号，

∴mn的最大值为1.

答案：1