高考数学一轮复习检测：第4章第2节 平面向量的数量积及应用 含解析

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．(2018·山东济南模拟)已知矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，则·＝(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．－1

C.  D．2

解析：选B.设＝a，＝b，则a·b＝0，∵|a|＝，|b|＝1，

∴·＝(a＋b)·(－b)＝－a·b－b2＝－1.故选B.

2．(2018·陕西吴起高级中学质检)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则|a－2b|＝(　　)

A.  B．1

C．2  D．

解析：选B.∵|a－2b|2＝|a|2＋4|b|2－4a·b＝1＋1－1＝1，∴|a－2b|＝1.故选B.

3．(2018·昆明检测)已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a|＝3，且a与a＋b的夹角为，则|b|＝(　　)

A．6  B．3

C．2  D．3

解析：选D.因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a||a＋b|cos ，所以|a＋b|＝3，将|a＋b|＝3两边平方可得，a2＋2a·b＋b2＝18，解得|b|＝3，故选D.

4．(2018·成都检测)已知平面向量a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b与b垂直，则实数λ的值为(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：选D.因为a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b与b垂直，

所以(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝－2λ＋1＋2(3λ＋2)＝4λ＋5＝0，解得λ＝－.故选D.

5．(2018·江西三校联考)若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为(　　)

A.  B．

C.  D．－

解析：选A.∵(a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，

∴a·b＝－4，cos〈a，b〉＝＝＝－，∴〈a，b〉＝，故选A.

6．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)

A．|b|＝1  B．a⊥b

C．a·b＝1  D．(4a＋b)⊥

解析：选D.因为＝－＝(2a＋b)－2a＝b，

所以|b|＝2，故A错误；

由于·＝2a·(2a＋b)＝4|a|2＋2a·b＝4＋2×1×2×＝2，

所以2a·b＝2－4|a|2＝－2，

所以a·b＝－1，故B，C错误；

又因为(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，

所以(4a＋b)⊥.

7．(2018·永州模拟)在△ABC中，若A＝120°，·＝－1，则||的最小值是(　　)

A.  B．2

C.  D．6

解析：选C.∵·＝－1，

∴||·||·cos 120°＝－1，

即||·||＝2，

∴||2＝|－|2＝2－2·＋2≥2||·||－2·＝6，

∴||min＝.

8．(2018·豫南九校联考)已知向量a＝(m,2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则的值为________．

解析：∵a⊥b，∴2m－2＝0，∴m＝1，则2a－b＝(0,5)，a＋b＝(3,1)，∴a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5，

|2a－b|＝5，∴＝＝1.

9．(2018·江苏扬州质检)已知点E是正方形ABCD的边CD的中点，若·＝－2，则·＝________.

解析：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2a(a＞0)，则A(0,0)，E(a,2a)，B(2a,0)，D(0,2a)，可得＝(a,2a)，＝(2a，－2a)，若·＝－2，则2a2－4a2＝－2，解得a＝1，所以＝(－1,2)，＝(1,2)，所以·＝3.

答案：3

10．在△ABC中，⊥，M是BC的中点．

(1)若||＝||，求向量＋2与向量2＋的夹角的余弦值；

(2)若O是线段AM上任意一点，且||＝||＝，求·＋·的最小值．

解：(1)设向量＋2与向量2＋的夹角为θ，

则cos θ＝，

令||＝||＝a，则cos θ＝＝.

(2)∵||＝||＝，∴||＝1，设||＝x(0≤x≤1)，则||＝1－x.而＋＝2，

所以·＋·＝·(＋)＝2·＝2||·||cos π＝2x2－2x＝22－，

当且仅当x＝时，·＋·取得最小值，最小值为－.

B级　能力提升练

11．(2018·佛山调研)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)

A．1  B．2

C.  D．

解析：选C.设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则

(a－c)·(b－c)＝0，即(1－x，－y)·(－x,1－y)＝0，

整理得2＋2＝，这是一个圆心坐标为，半径为的圆，所求的值等价于这个圆上的点到坐标原点的最大距离．根据图形可知，这个最大距离是，即所求的最大值为.

12．(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　)

A．I1＜I2＜I3  B．I1＜I3＜I2

C．I3＜I1＜I2  D．I2＜I1＜I3

解析：选C.在△ACD中，由余弦定理得

cos∠CAD＝＝＜，

得cos∠CAD＜cos∠CAB，即∠CAD＞∠CAB.

在等腰△ABD中，易得OD＞OB，∠AOB＞.

同理在等腰△ABC中，

∵∠ABD＜，∴CO＞OA.

又I1＝||||cos∠AOB，

I3＝||||cos∠COD，

∴I3＜I1＜0，∴I2＞0＞I1＞I3，故选C.

13．(2018·南京模拟)在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．

解析：由题意设BM＝k，CN＝2k(0≤k≤1)，由＝＋，＝＋知，·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝·＋·＝4－3k，又0≤k≤1，所以1≤4－3k≤4，故·的取值范围是[1,4]．

答案：[1,4]

14．已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，且m·n＝sin 2C.

(1)求角C的大小；

(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)＝18，求边c的长．

解：(1)由已知得m·n＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)，

因为A＋B＋C＝π，

所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，

所以m·n＝sin C.

又m·n＝sin 2C，

所以sin 2C＝sin C，所以cos C＝.

又0＜C＜π，所以C＝.

(2)由已知得2sin C＝sin A＋sin B，由正弦定理得

2c＝a＋b.

因为·(－)＝·＝18，

所以abcos C＝18，所以ab＝36.

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab

所以c2＝4c2－3×36，

所以c2＝36，所以c＝6.

15．(2018·衡阳模拟)已知m＝(2，1)，n＝cos2，sin(B＋C)，其中A，B，C是△ABC的内角．

(1)当A＝时，求|n|的值；

(2)若BC＝1，||＝，当m·n取最大值时，求A的大小及AC边的长．

解：(1)∵当A＝时，

n＝＝，

∴|n|＝ ＝.

(2)∵m·n＝2cos2＋sin(B＋C)

＝(1＋cos A)＋sin A

＝2sin＋.

∵0＜A＜π，∴＜A＋＜.

∴当A＋＝，即A＝时，

sin＝1，此时m·n取得最大值2＋.

由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，

即12＝()2＋AC2－2AC×，化简得AC2－3AC＋2＝0，解得AC＝1或2.

C级　素养加强练

16．(2018·武汉市模拟)如图在等腰三角形ABC中，已知|AB|＝|AC|＝1，∠A＝120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且＝λ，＝μ，其中λ，μ∈(0,1)，且λ＋4μ＝1.若线段EF，BC的中点分别为M，N，则||的最小值为________．

解析：连接AM，AN，由·＝||||cos ＝－，＝(＋)＝(λ＋μ)，

＝(＋)，＝－＝(1－λ)＋(1－μ)，

||2＝[(1－λ)2－(1－λ)(1－μ)＋(1－μ)2]＝(1－λ)2－(1－λ)(1－μ)＋(1－μ)2，由λ＋4μ＝1⇒1－λ＝4μ，可得||2＝μ2－μ＋，∵λ，μ∈(0,1)，∴当μ＝时，||2取最小值，||的最小值为，∴||的最小值为.

答案：