高考数学一轮复习检测：第8章第5节 双曲线 含解析

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A级　基础夯实练

1．(2018·石家庄模拟)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为(　　)

A.－＝1　　　 B．－＝1

C.－＝1  D．－＝1

解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，即双曲线方程为－＝1，故选A.

2．(2018·辽宁抚顺模拟)当双曲线M：－＝1(－2≤m＜0)的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x  B．y＝±x

C．y＝±2x  D．y＝±x

解析：选C.由题意可得c2＝m2＋2m＋6＝(m＋1)2＋5，当m＝－1时，c2取得最小值，即焦距2c取得最小值，此时双曲线M的方程为x2－＝1，所以渐近线方程为y＝±2x.故选C.

3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选D.解法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.

解法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以＝(1，0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.

4．(2018·武汉市武昌区调研考试)已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则＋的最小值为(　　)

A．6  B．3

C.  D．

解析：选A.设椭圆的长半轴长为a，双曲线的半实轴长为a′，半焦距为c，依题意知，2a＝2a′＋4c，所以＋＝＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝6，当且仅当c＝2a′时取“＝”，故选A.

5．(2018·河南新乡模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为(　　)

A.－＝1  B．－＝1

C.－＝1  D．－＝1

解析：选D.不妨设B(0，b)，由＝2，F(c，0)，可得A，代入双曲线C的方程可得×－＝1，即·＝，所以＝，①

又||＝＝4，c2＝a2＋b2，

所以a2＋2b2＝16，②

由①②可得，a2＝4，b2＝6，

所以双曲线C的方程为－＝1，故选D.

6．已知点P，A，B在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，直线AB过坐标原点，且直线PA，PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为(　　)

A.  B．

C．2  D．

解析：选A.根据双曲线的对称性可知点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，P(x，y)，所以－＝1，－＝1，两式相减得＝，即＝，因为直线PA，PB的斜率之积为，所以kPA·kPB＝·＝＝＝，所以双曲线的离心率为e＝＝＝.故选A.

7．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n＝________．

解析：因为双曲线的焦点是(0，2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以椭圆方程为＋x2＝1，且n＞0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．

答案：5

8．(2018·四川绵阳模拟)设F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，M，N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△AMN的面积为c2，则该双曲线的离心率为________．

解析：设M，根据矩形的性质，

得|MO|＝|OF1|＝|OF2|＝c，

即x2＋＝c2，

则x＝a，所以M(a，b)．

因为△AMN的面积为c2，

所以2××a×b＝c2，

所以4a2(c2－a2)＝c4，

所以e4－4e2＋4＝0，所以e＝.

答案：

9．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为12，则∠F1PF2＝________．

解析：由题意可知，F1(－，0)，F2(，0)，|F1F2|＝2.设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×2|y0|＝12.故y＝，将P点坐标代入双曲线方程得x＝，不妨设点P，则＝(，)，＝，可得·＝0，即PF1⊥PF2，故∠F1PF2＝.

答案：

10．(2018·河北石家庄质检)已知F为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，且·＝0，△MNF的面积为ab，则该双曲线的离心率为________．

解析：因为·＝0，所以⊥.设双曲线的左焦点为F′，则由双曲线的对称性知四边形F′MFN为矩形，则有|MF|＝|NF′|，|MN|＝2c.不妨设点N在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF′|－|NF|＝2a，所以|MF|－|NF|＝2a.因为S△MNF＝|MF|·|NF|＝ab，所以|MF|·|NF|＝2ab.在Rt△MNF中，|MF|2＋|NF|2＝|MN|2，即(|MF|－|NF|)2＋2|MF||NF|＝|MN|2，所以(2a)2＋2·2ab＝(2c)2，把c2＝a2＋b2代入，并整理，得＝1，所以e＝＝ ＝.

答案：

B级　能力提升练

11．(2018·江西宜春调研)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2c，直线l过点且与双曲线C的一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆Ω与直线l交于M，N两点，若|MN|＝c，则双曲线C的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x  B．y＝±x

C．y＝±2x  D．y＝±4x

解析：选B.由题意得，双曲线的渐近线方程为y＝±x，设垂直于直线l的渐近线方程为y＝x，则直线l的斜率k1＝－，直线l的方程为y＝－，整理可得，ax＋by－a2＝0，焦点(c，0)到直线l的距离d＝＝，则|MN|＝2＝2＝c，整理可得c4－9a2c2＋12a3c－4a4＝0，即e4－9e2＋12e－4＝0，即(e－1)(e－2)(e2＋3e－2)＝0，又双曲线的离心率e＞1，所以e＝＝2，所以b＝a，故双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故选B.

12．(2018·甘肃兰州模拟)已知F1，F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF1与双曲线相交于点Q，且|PQ|＝2|QF1|，则该双曲线的离心率为(　　)

A.  B．2

C.  D．

解析：选A.如图，连接PF2，QF2.由|PQ|＝2|QF1|，可设|QF1|＝m，则|PQ|＝2m，|PF1|＝3m；由|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝|PF1|－2a＝3m－2a；由|QF2|－|QF1|＝2a，得|QF2|＝|QF1|＋2a＝m＋2a.∵点P在以F1F2为直径的圆上，∴PF1⊥PF2，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，

|PQ|2＋|PF2|2＝|QF2|2.由|PQ|2＋|PF2|2＝|QF2|2，得(2m)2＋(3m－2a)2＝(m＋2a)2，解得m＝a，∴|PF1|＝3m＝4a，|PF2|＝3m－2a＝2a.∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，|F1F2|＝2c，∴(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，化简得c2＝5a2，∴双曲线的离心率e＝＝，故选A.

13．已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是双曲线E右支上一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与AF2相切于点Q.若|AQ|＝，则双曲线E的离心率是(　　)

A．2  B．

C.  D．

解析：选C.如图，设△PAF2的内切圆与PF2相切于点M.依题意知，|AF1|＝|AF2|，根据双曲线的定义，以及P是双曲线E右支上一点，得2a＝|PF1|－|PF2|，根据三角形内切圆的性质，得|PF1|＝|AF1|＋|PA|＝|AF1|＋(|PM|＋|AQ|)，|PF2|＝|PM|＋|MF2|＝|PM|＋|QF2|＝|PM|＋(|AF2|－|AQ|)．所以2a＝2|AO|＝2，即a＝.因为|F1F2|＝6，所以c＝3，所以双曲线E的离心率是e＝＝＝，故选C.

14．(2018·江西吉安一模)已知抛物线C1：y2＝8ax(a＞0)，直线l的倾斜角是45°且过抛物线C1的焦点，直线l被抛物线C1截得的线段长是16，双曲线C2：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线C1的准线上，则直线l与y轴的交点P到双曲线C2的一条渐近线的距离是(　　)

A．2  B．

C.  D．1

解析：选D.抛物线C1的焦点为(2a，0)，由弦长计算公式有＝16a＝16，a＝1，所以抛物线C1的标准方程为y2＝8x，准线方程为x＝－2，故双曲线C2的一个焦点坐标为(－2，0)，即c＝2，所以b＝＝＝，渐近线方程为y＝±x，直线l的方程为y＝x－2，所以点P(0，－2)，点P到双曲线C2的一条渐近线的距离为＝1，选D.

15．已知双曲线－＝1，过双曲线的上焦点F1作圆O：x2＋y2＝25的一条切线，切点为M，交双曲线的下支于点N，T为NF1的中点，则△MOT的外接圆的周长为________．

解析：如图，∵F1M为圆的切线，∴OM⊥F1M，在直角三角形OMF1中，|OM|＝5.设双曲线的下焦点为F2，连接NF2，∴OT为△F1F2N的中位线，∴2|OT|＝|NF2|.设|OT|＝x，则|NF2|＝2x，又|NF1|－|NF2|＝10，∴|NF1|＝|NF2|＋10＝2x＋10，∴|TF1|＝x＋5.由勾股定理得|F1M|2＝|OF1|2－|OM|2＝132－52＝144，|F1M|＝12，∴|MT|＝|x－7|，在直角三角形OMT中，|OT|2－|MT|2＝|OM|2，即x2－(x－7)2＝52，∴x＝.又△OMT是直角三角形，故其外接圆的直径为|OT|＝，∴△MOT的外接圆的周长为π.

答案：π

16．(2018·江西上饶质检)如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上、下端点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D.若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是________．

解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由e＝＝2知，c＝2a，又c2＝a2＋b2，故b＝a，所以A(0，a)，C(0，－a)，B(－a，0)，F(－2a，0)，则＝(a，a)，＝(－2a，a)，结合题图可知，

cos∠BDF＝cos〈，〉＝＝＝.

答案：