高考数学一轮复习检测：第10章第1节 计数原理与排列组合 含解析

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数的个数是(　　)

A．30　　　　　　　　 B．42

C．36  D．35

解析：选C.因为a＋bi为虚数，所以b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．

2．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)

A．85  B．56

C．49  D．28

解析：选C.由于丙不入选，相当于从9人中选派3人．甲、乙两人均入选，有CC种选法，甲、乙两人只有1人入选，有CC种选法．所以由分类加法计数原理知，共有CC＋CC＝49种不同选法．

3．从1,3,5中取两个数，从2,4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为(　　)

A．12  B．18

C．24  D．36

解析：选C.从1,3,5中取两个数有C种方法，从2,4中取一个数有C种方法，而奇数只能从1,3,5取出的两个数之一作为个位数，故奇数的个数为CCAA＝3×2×2×2×1＝24(个)．

4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)

A．192种  B．216种

C．240种  D．288种

解析：选B.第一类：甲在最左端，有A＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；

第二类：乙在最左端，有4A＝4×4×3×2×1＝96(种)方法．

所以共有120＋96＝216(种)方法．

5．某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为(　　)

A．1 860  B．1 320

C．1 140  D．1 020

解析：选C.当A，B节目中只选其中一个时，共有CCA＝960(种)演出顺序；当A，B节目都被选中时，由插空法得共有CAA＝180(种)演出顺序，所以一共有1 140种演出顺序．

6．(2018·河南天一大联考)如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法共有(　　)

A．360种  B．720种

C．780种  D．840种

解析：选B.由题意知2,3,4,5的颜色都不相同，先涂1：有6种方法，再涂2,3,4,5，有A种方法，故一共有6×A＝720(种)．

7．某县委将7位大学生志愿者(4男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有(　　)

A．36种  B．68种

C．104种  D．110种

解析：选C.分组的方案有3、4和2、5两类，第一类有(C－1)·A＝68(种)；第二类有(C－C)·A＝36(种)，所以共有N＝68＋36＝104(种)．

8．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)．

解析：第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法．

第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法．由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种)．

答案：36

9．乘积(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)展开后共有________项．

解析：由(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)展开式各项都是从每个因式中选一个字母的乘积，由分步乘法计数原理可得其展开式共有3×4×5＝60(项)．

答案：60

10．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有________种．

解析：把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；第二步：排两个o，共一种排法，所以总的排法种数为A＝12(种)．其中正确的有一种，所以错误的共A－1＝12－1＝11(种)．

答案：11

B级　能力提升练

11．(2018·福建漳州八校第二次联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是(　　)

A．540  B．480

C．360  D．200

解析：选D.由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有CCA＝50(种)排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C＝4(种)满足题意的选法，故满足题意的三位数共有50×4＝200(个)．

12．(2018·浙江温州高三模拟)身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲丁不相邻的不同的排法共有(　　)

A．12  B．14

C．16  D．18

解析：选B.从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可记为1,2,3,4,5.要求1,4不相邻．分四类：①先排4,5时，则1只有1种排法，2,3在剩余的两个位上，这样有AA＝4(种)排法；②先排3,5时，则4只有1种排法，2,1在剩余的两个位上，这样有AA＝4种排法；③先排1,2时，则4只有1种排法，3,5在剩余的两个位上，这样有AA＝4(种)排法；④先排1,3时，则这样的数只有两个，即21534,43512，只有两种排法．综上共有4＋4＋4＋2＝14(种)排法，故选B.

13．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　)

A．18种  B．24种

C．36种  D．72种

解析：选C.不同的分配方案可分为以下两种情况：①甲、乙两人在一个路口，其余三人分配在另外的两个路口，其不同的分配方案有CA＝18(种)；②甲、乙所在路口分配三人，另外两个路口各分配一个人，其不同的分配方案有CA＝18(种)．由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有18＋18＝36(种)．

14．(2018·黑龙江哈尔滨第六中学期末)某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为(　　)

A．484  B．472

C．252  D．232

解析：选B.若三班有1人入选，则另两人从三班以外的12人中选取，共有CC＝264(种)选法．若三班没有人入选，则要从三班以外的12人中选3人，又这3人不能全来自同一个班，故有C－3C＝208(种)选法．故总共有264＋208＝472(种)不同的选法．

15．用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)

解析：分两种情况：第一种：四位数都不是偶数的个数为：A＝120(个)，第二种：四位数中有一位为偶数的个数为CCA＝960(个)，则共有1 080个．

答案：1 080

16．设a，b，c∈{1,2,3,4,5,6}，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有________个．

解析：由题意知以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，

(1)先考虑等边三角形情况

则a＝b＝c＝1,2,3,4,5,6，此时有6个．

(2)再考虑等腰三角形情况，若a，b是腰，则a＝b，

当a＝b＝1时，c＜a＋b＝2，则c＝1，与等边三角形情况重复；

当a＝b＝2时，c＜4，则c＝1,3(c＝2的情况等边三角形已经讨论了)，此时有2个；

当a＝b＝3时，c＜6，则c＝1,2,4,5，此时有4个；

当a＝b＝4时，c＜8，则c＝1,2,3,5,6，此时有5个；

当a＝b＝5时，c＜10，有c＝1,2,3,4,6，此时有5个；

当a＝b＝6时，c＜12，有c＝1,2,3,4,5，此时有5个；

由分类加法计数原理知有2＋4＋5＋5＋5＋6＝27(个)．

答案：27