高考数学一轮复习检测：第10章第8节 两点分布、超几何分布、正态分布 含解析

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．(2018·河南正阳模拟)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X≥4)＝0.158 7，则P(2＜X＜4)＝(　　)

A．0.682 6　　　　　　　 B．0.341 3

C．0.460 3  D．0.920 7

解析：选A.∵随机变量X服从正态分布N(3,1)，∴正态曲线的对称轴是直线x＝3，∵P(X≥4)＝0.158 7，∴P(2＜X＜4)＝1－2P(X≥4)＝1－0.317 4＝0.682 6.故选A.

2．(2018·广西两校联考)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法错误的是(　　)

A．甲类水果的平均质量为0.4 kg

B．甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右

C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

D．σ2＝1.99

解析：选D.由题中图象可知甲的正态曲线关于直线x＝0.4对称，乙的正态曲线关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A正确，C正确．由图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右，故B正确．因为乙的正态曲线的峰值为1.99，即＝1.99，所以σ2≠1.99，故D错误，于是选D.

3．(2018·孝感模拟)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝(　　)

A.  B．

C．4  D．

解析：选B.由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝.

4．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲的及格概率为，乙的及格概率为，丙的及格概率为，则三人中至少有一人及格的概率为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选D.设“甲及格”为事件A，“乙及格”为事件B，“丙及格”为事件C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，∴P()＝，P()＝，P()＝，则P(  )＝P()P()P()＝××＝，∴三人中至少有一人及格的概率P＝1－P(  )＝.故选D.

5．已知随机变量X，Y满足X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是(　　)

A．6和2.4  B．2和2.4

C．2和5.6  D．6和5.6

解析：选B.∵随机变量X，Y满足X＋Y＝8，X～B(10，0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4，则E(Y)＝E(8－X)＝8－E(X)＝8－6＝2，D(Y)＝D(8－X)＝D(X)＝2.4.故选B.

6．如图是总体的正态曲线，下列说法正确的是(　　)

A．组距越大，频率分布直方图的形状越接近于它

B．样本容量越小，频率分布直方图的形状越接近于它

C．阴影部分的面积代表总体在(a，b)内取值的百分比

D．阴影部分的平均高度代表总体在(a，b)内取值的百分比

解析：选C.总体的正态曲线与频率分布直方图的形状关系如下：当样本容量越大，组距越小时，频率分布直方图的形状越接近总体的正态曲线，故A，B不正确．在总体的正态曲线中，阴影部分的面积代表总体在(a，b)内取值的百分比，故选C.

7．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥2)的值为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选C.∵ξ～B(2，p)，P(ξ≥1)＝，∴P(ξ≥1)＝1－P(ξ＜1)＝1－Cp0(1－p)2＝，∴p＝，∴P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－C×0×3－C×1×2＝1－－＝，故选C.

8．已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为0.683,0.955和0.997.某校为高一年级1 000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布N(165,52)，则适合身高在155～175 cm范围内学生的校服大约要定制(　　)

A．683套  B．955套

C．972套  D．997套

解析：选B.设学生的身高为随机变量ξ，则P(155＜ξ＜175)＝P(165－5×2＜ξ＜165＋5×2)＝P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.955.因此适合身高在155～175 cm范围内学生的校服大约要定制1 000×0.955＝955(套)．故选B.

9．2018年1月某校高三年级1 600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X～N(100，σ2)(试卷满分为150分)．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为(　　)

A．80  B．100

C．120  D．200

解析：选D.∵X～N(100，σ2)，∴其正态曲线关于直线X＝100对称，又成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，由对称性知成绩不低于120分的学生人数约为总人数的×＝，∴此次考试成绩不低于120分的学生人数约为×1 600＝200.故选D.

10．经检测，有一批产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，记其中合格产品的件数为ξ，则P(ξ＝k)取得最大值时，k的值为(　　)

A．5  B．4

C．3  D．2

解析：选B.根据题意得，P(ξ＝k)＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5，则P(ξ＝0)＝C0×5＝，P(ξ＝1)＝C1×4＝，P(ξ＝2)＝C2×3＝，P(ξ＝3)＝C3×2＝，P(ξ＝4)＝C4×1＝，P(ξ＝5)＝C5×0＝，故当k＝4时，P(ξ＝k)最大．

B级　能力提升练

11．(2018·福建福州质检)从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z)，由测量结果得如下频率分布直方图：

(1)公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z＜95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；

(2)由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．

①利用该正态分布，求P(87.8＜Z＜112.2)；

②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的产品件数，利用①的结果，求E(X)．

附：≈12.2.

若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 5.

解：(1)由频率估计概率，

产品为正品的概率为(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67，

所以随机变量ξ的分布列为

所以E(ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝50.4.

(2)由频率分布直方图知，抽取产品的该项质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为

＝70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02＝100，

s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.

①因为Z～N(100,150)，

从而P(87.8＜Z＜112.2)＝P(100－12.2＜Z＜100＋12.2)＝0.682 7.

②由①知，一件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的概率为0.682 7，

依题意知X～B(500,0.682 7)，

所以E(X)＝500×0.682 7＝341.35.

12．(2018·广西南宁测试)某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份其中5天的日销售量y(单位：千克)与该地当日最低气温x(单位：℃)的数据，如下表：

(1)求出y与x的回归方程＝x＋；

(2)判断y与x之间是正相关还是负相关，若该地1月份某天的最低气温为6 ℃，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；

(3)设该地1月份的日最低气温X～N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，求P(3.8＜X＜13.4)．

附：①回归方程＝x＋中，＝，＝－ .

②≈3.2，≈1.8.若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5.

解：(1)＝i＝＝7，＝i＝＝9，

iyi－5 ＝2×12＋5×10＋8×8＋9×8＋11×7－5×7×9＝－28，

－52＝22＋52＋82＋92＋112－5×72＝50，

∴＝＝－0.56.

∴＝－ ＝9－(－0.56)×7＝12.92.

∴所求的回归方程是＝－0.56x＋12.92.

(2)由＝－0.56＜0知，y与x之间是负相关，

将x＝6代入回归方程可预测该店当日的销售量＝－0.56×6＋12.92＝9.56(千克)．

(3)由(1)知μ＝＝7，由σ2＝s2＝[(2－7)2＋(5－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2＋(11－7)2]＝10，得σ≈3.2.

从而P(3.8＜X＜13.4)＝P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)＝P(μ－σ＜X＜μ)＋P(μ＜X＜μ＋2σ)＝P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＋P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.818 6.

13．某班级准备从甲、乙两人中选一人参加某项比赛，已知在一个学期的10次考试中，甲、乙两人的成绩(单位：分)的茎叶图如图所示.

(1)你认为选派谁参赛更合适？并说明理由．

(2)若从甲、乙两人10次的成绩中各随机抽取1次，设抽到的2次成绩中，90分以上的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

解：(1)根据茎叶图可知，甲的平均成绩

甲＝

＝89.4，

乙的平均成绩

乙＝＝89，

甲的平均成绩略大于乙的平均成绩．

又甲的成绩的方差s＝[(79－89.4)2＋(85－89.4)2＋(86－89.4)2＋(88－89.4)2＋(88－89.4)2＋(88－89.4)2＋(94－89.4)2＋(95－89.4)2＋(95－89.4)2＋(96－89.4)2]＝27.24，

乙的成绩的方差s＝[(74－89)2＋(78－89)2＋(85－89)2＋(86－89)2＋(88－89)2＋(92－89)2＋(93－89)2＋(97－89)2＋(98－89)2＋(99－89)2]＝64.2，

故甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，

因此选派甲参赛更合适．

(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝.

随机变量X的分布列为

数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

14．近日，某市举行了教师选拔考试(既有笔试又有面试)，该市教育局对参加该次考试的50名教师的笔试成绩(单位：分)进行分组，得到的频率分布表如下：

(1)求频率分布表中x，y，z的值，并补充频率分布直方图；

(2)估计参加考试的这50名教师的笔试成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(3)若该市教育局决定在分数较高的第三、四、五组中任意抽取2名教师进入面试，设ξ为抽到的第五组教师的人数，求ξ的分布列及数学期望．

解：(1)由频率分布表可得，

解得

补全的频率分布直方图如下：

(2)估计参加考试的这50名教师的笔试成绩的平均数为

(55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01)×10＝74.

(3)由(1)可知，第三、四、五组的教师的人数分别为15,10,5.

随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2.

P(ξ＝0)＝＝，

P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝.

所以ξ的分布列为

所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.