数学湘教版2.4 过不共线三点作圆精品教案设计

2.4 过不共线三点作圆

【知识与技能】

1.理解、确定圆的条件及外接圆和外心的定义.

2.掌握三角形外接圆的画法.

【过程与方法】

经过不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程,让我们学会用尺规作不在同一直线上的三点的圆.

【情感态度】

在探究过不在同一直线上的三点确定一个圆的过程中,进一步培养探究能力和动手能力,提高学习数学的兴趣.

【教学重点】

确定圆的条件及外接圆和外心的定义.

【教学难点】

任意三角形的外接圆的作法.

一、情境导入，初步认识

如图所示,点A,B,C表示因支援三峡工程建设而移民的某县新建的三个移民新村.这三个新村地理位置优越,空气清新,环境幽雅.花园式的建筑住宅让人心旷神怡,但安居后发现一个极大的现实问题:学生就读的学校离家太远,给学生上学和家长接送学生带来了很大的麻烦.

根据上面的实际情况,政府决定为这三个新村就近新建一所学校,让三个村到学校的距离相等,你能帮助他们为学校选址吗?

二、思考探究，获取新知

1.确定圆的条件活动1如何过一点A作一个圆?过点A可以作多少个圆?

活动2如何过两点A、B作一个圆?过两点可以作多少个圆?

【教学说明】以上两个问题要求学生独立动手完成,让学生初步体会,已知一点和已知两点都不能确定一个圆,并帮助学生得出如下结论.

(1)过平面内一个点A的圆,是以点A以外的任意一点为圆心,以这点到A的距离为半径的圆,这样的圆有无数个.

(2)经过平面内两个点A,B的圆,是以线段AB垂直平分线上的任意一点为圆心,以这一点到A或B的距离为半径的圆.这样的圆有无数个.

活动3如图,已知平面上不共线三点A、B、C,能否作一个圆,使它刚好都经过A,B,C三点.

【教学说明】假设经过A、B、C三点的圆存在,圆心为O,则点O到A、B、C三点的距离相等,即OA=OB=OC,则点O位置如何确定?是否唯一确定?教师提示到此,让学生动手画圆,最后教师归纳出.

(3)经过不在同一直线上的三个点A,B,C的圆,是以AB,BC,CA的垂直平分线的交点为圆心,以这一点到点A,点B或点C的距离为半径的圆,这样的圆只有一个.

例1判断正误:

(1)经过三点可以确定一个圆.

(2)三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点.

(3)三角形的外心到三边的距离相等.

(4)经过不在同一直线上的四点能作一个圆.

【分析】经过不在同一直线上的三点确定一个圆;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;经过不在同一直线上的四点不一定能作一个圆.

解:(1)×(2)√(3)×(4)×

2.三角形的外接圆，三角形的外心.

活动4经过△ABC的三个顶点可以作一个圆吗?请动手画一画.

【教学说明】因为△ABC的三个顶点不在同一条直线上,所以过这三个顶点可以作一个圆,并且只可以作一个圆,并且得出如下结论.

1.三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，它的圆心叫做三角形的外心，是三角形三边垂直平分线的交点.

2.三角形的外心到三角形三顶点的距离相等.强调:任意一个三角形都有唯一的一个外接圆,但对于一个圆来说,它却有无数个内接三角形.

教学延伸:经过不在同一直线上的任意四点能确定一个圆吗?什么样的特殊四边形能确定一个圆?

【教学说明】提示:不一定.对角互补的四边形一定可以确定一个圆.

例2小明家的房前有一块矩形的空地,空地上有三棵树A,B,C,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.

(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).

(2)若在△ABC中,AB=8米,AC=6米,∠BAC=90°,试求小明家圆形花坛的面积.

解:(1)用尺规作出两边的垂直平分线,作出图.⊙O即为所求的花坛的位置.

(2)∵∠BAC=90°,AB=8米,AC=6米,

∴BC=10米,∴△ABC外接圆的半径为5米.

∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米.

三、运用新知，深化理解

1.下列说法正确的是（）

A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点

B.过两点A、B的圆的圆心在一条直线上

C.过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点

D.过四点A、B、C、D的圆不存在

2.已知a、b、c是△ABC三边长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是（）

A.a=15,b=12,c=11

B.a=5,b=12,c=12

C.a=5,b=12,c=13

D.a=5,b=12,c=14

3.下列说法正确的是（）

A.过一点可以确定一个圆

B.过两点可以确定一个圆

C.过三点可以确定一个圆

D.三角形一定有外接圆

4.在一个圆中任意引两条平行直线，顺次连结它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（）

A.菱形  B.等腰梯形  C.矩形  D.正方形

【教学说明】通过练习巩固三角形的外心和外接圆的概念，强调过不在同一条直线上的三点确定唯一一个圆.

【答案】1.B 2.C  3.D  4.C

四、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾：过已知点作圆，条件一是确定圆心，二是确定半径，不在同一直线上的三个点确定一个圆.了解三角形的外接圆、外心等概念.

2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.

【教学说明】教师引导学生回顾知识点,让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳.

1.教材P63第1、2题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课从生活实际需要引入,到学生动手画满足条件的圆、培养学生动手、动脑的习惯.在动手画圆的过程中层层深化,得出新知识.加深了学生对新知的认识,并运用新知解决实际问题.体验应用知识的快感,以此激发学习数学的兴趣.