九上数学北师第一章单元测试卷

这是一份九上数学北师第一章单元测试卷，共11页。
第一章　特殊平行四边形
时间:90分钟　 满分:100分
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
　　　　　　 　　　　　　　　　　
1.(2023·广东深圳罗湖区期中)矩形具有而菱形不一定具有的性质是(　　)
A.两组对边分别平行且相等
B.邻角互补
C.对角线互相平分
D.对角线相等
2.(2023·贵州六盘水期中)如图,四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形,且点G在CD上.若∠BAG=20°,则∠DGF=(　　)
A.70° B.60° C.80° D.45°
(第2题)　　(第3题)
3.如图,点O是矩形ABCD的对称中心,点M是AD的中点.若BC=8,OB=5,则OM的长为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2023·海南中学模拟)如图,菱形ABCD中,AC交BD于点O,DE⊥BC于点E,连接OE.若∠ABC=140°,则∠OED的度数为(　　)
A.15° B.20° C.25° D.30°
(第4题)　　(第5题)
5.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了一道题.有下列四个条件:①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD.从中选择两个作为补充条件,使平行四边形ABCD(如图)为正方形.小文有下列四种选法,你认为其中错误的是(　　)
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
6.(2023·山东滕州期中)如图,菱形ABCD的周长为8,对角线相交于点O,两相邻角度数比是1∶2,则菱形ABCD的面积是(　　)
A.23 B.22 C.42 D.43
(第6题)　　(第7题)
7.(2023·四川达州期中)如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,要使四边形EFGH是菱形,四边形ABCD应满足的一个条件是(　　)
A.AB=CD B.AC⊥BD
C.AC=BD D.AD=BC
8.(2023·山东济南历城区期中)如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,且EC=AE,Rt△FEG的两直角边EF,EG分别交BC,DC于点M,N.若正方形ABCD的边长为4,则阴影部分的面积为(　　)
A.8 B.6 C.4 D.2
(第8题)　　　　　(第9题)
9.(2023·四川成都青羊区期中)如图,在正方形ABCD中,点E在对角线AC上,EF⊥AB于点F,连接DE.若AB=10,AE=32,则ED=(　　)
A.7 B.210 C.58 D.882

10.如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点B,C分别在边OM,ON上,当B在OM上运动时,点C随之在ON上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中CD=5,BC=24,运动过程中,点D到点O的最大距离是(　　)
A.24 B.25 C.213 D.26
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件　　　　,使平行四边形ABCD是矩形. 
(第11题)　　　　(第12题)
12.(2023·广西南宁二中三模)如图,四边形ABCD是菱形,E,F分别是AD,BD的中点.若EF=2,则BC的长为　　　　. 

13.(2023·辽宁锦州期中)四边形具有不稳定性,对于四条边长都确定的四边形,当内角度数发生变化时,其形状也会随之改变.如图,改变正方形ABCD的内角度数,正方形ABCD变为菱形ABC'D',若∠BAD'=30°,且菱形ABC'D'的面积为16,则正方形ABCD的面积为　　　　. 
14.如图,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第2个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第3个正方形AEGH…如此下去,第n个正方形的边长为　　　　. 
(第14题)　　　　(第15题)
15.(2023·浙江温州期中)如图,在矩形ABCD中,点E是BC上一点,连接AE,以AE为对称轴作△ABE的轴对称图形△AB'E,延长EB'恰好经过点D,过点E作EF⊥BC,垂足为E,交AB'于点F.若AB=9,BE=3,则EF=　　　　. 
三、解答题(共6小题,共55分)
16.(8分)(2023·江苏无锡滨湖区期中)如图,∠ABC=∠ADC=90°,点O是线段AC的中点.
(1)求证:OB=OD.
(2)若∠ACD=30°,OB=6,求△AOD的周长.


17.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.
(1)求证:四边形ADCE为矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE为正方形?并给出证明.







18.(9分)(2023·宁夏银川期中)如图,E为菱形ABCD的对角线BD延长线上的一点,连接AE,CE.
(1)求证:AE=CE;
(2)若BC=10,AE=13,∠ABC=60°,求BE的长.


19.(9分)(2023·上海奉贤区期末)如图,四边形ABCD是菱形,点E,F分别在边BC,CD上,且BE=DF,过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G,连接EG.
(1)求证:四边形AEGF是菱形;
(2)如果∠B=∠BAE=30°,求证:四边形AEGF是正方形.


20.(10分)如图(1),在正方形ABCD中,点P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于点F,连接PC.
(1)求∠CPE的度数;
(2)把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,如图(2),当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.
图(1)　图(2)

21.(11分)在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的两条直线分别交边AB,CD,AD,BC于点E,F,G,H.
(1)感知
如图(1),若四边形ABCD是正方形,且AG=BE=CH=DF,则S四边形AEOG=　　　　S正方形ABCD; 
(2)拓展
如图(2),若四边形ABCD是矩形,且S四边形AEOG=14S矩形ABCD,设AB=a,AD=b,BE=m,求AG的长(用含a,b,m的代数式表示);
(3)探究
如图(3),若四边形ABCD是平行四边形,且AB=3,AD=5,BE=1,试确定F,G,H的位置,使直线EF,GH把平行四边形ABCD的面积四等分.
图(1)　　　图(2)
图(3)



















第一章　特殊平行四边形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
A
C
B
B
A
D
C
C
B
11.∠ABC=90°(答案不唯一)
12.4
13.32
14.(2)n-1
15.5
16.(1)证明:∵∠ABC=∠ADC=90°,点O是线段AC的中点,
∴OB=12AC,OD=12AC,
∴OB=OD.(3分)
(2)∵OB=6,OD=OB,
∴OD=6.
∵∠ADC=90°,O为线段AC的中点,
∴AC=2OD=12,OA=6.(5分)
∵∠ACD=30°,∠ADC=90°,
∴AD=12AC=6,
∴△AOD的周长=OA+AD+OD=6+6+6=18.(8分)
17.【(1)证明:在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,
∴∠MAE=∠CAE,
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=12×180°=90°.
∵AD⊥BC,CE⊥AN,
∴∠ADC=∠CEA=90°,
∴四边形ADCE为矩形.(4分)
(2)当△ABC满足∠BAC=90°时,四边形ADCE为正方形.(5分)
证明:∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ACB=∠B=45°.
∵AD⊥BC,
∴∠CAD=∠ACD=45°,
∴DC=AD.
∵四边形ADCE为矩形,
∴矩形ADCE是正方形.(8分)

18.(1)证明:如图,连接AC交BD于点O,
∵四边形ABCD是菱形,
∴BD垂直平分AC,
即直线BD是线段AC的垂直平分线,
∴AE=CE.(4分)

(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∠ABO=12∠ABC=30°,AB=BC=10,
∴∠AOB=∠AOD=90°,
∴OA=12AB=5,
∴OB=AB2-OA2=102-52=53,
∴OE=AE2-OA2=132-52=12,
∴BE=OB+OE=53+12.(9分)
19.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D,∠BAC=∠DAC.(2分)
∵BE=DF,
∴△ABE≌△ADF,
∴AE=AF,∠BAE=∠DAF,
∴∠EAG=∠FAG.
∵FG∥AE,
∴∠EAG=∠FGA,
∴∠FAG=∠FGA,
∴FG=AF=AE,
∴四边形AEGF是平行四边形.
∵AF=AE,
∴四边形AEGF是菱形.(6分)
(2)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴BC∥AD,
∴∠B+∠BAD=180°.
∵∠B=∠BAE=30°,△ABE≌△ADF,
∴∠DAF=∠BAE=30°,
∴∠BAD=180°-∠B=150°,
∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=150°-30°-30°=90°.
由(1)得,四边形AEGF是菱形,
∴四边形AEGF是正方形.(9分)
20.(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠ADP=∠CDP=45°.
又PD=PD,
∴△ADP≌△CDP,
∴∠DAP=∠DCP.
∵PA=PE,
∴∠DAP=∠E,
∴∠DCP=∠E.
∵∠CFP=∠EFD,
∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E,
即∠CPE=∠EDF=90°.(4分)
(2)AP=CE.(5分)
理由:∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,
∴AB=BC,∠ABP=∠CBP=60°.
又PB=PB,
∴△ABP≌△CBP,
∴PA=PC,∠BAP=∠BCP,
∴∠DAP=∠DCP.
∵PA=PE,
∴PC=PE,∠DAP=∠AEP,
∴∠DCP=∠AEP.
∵∠CFP=∠EFD,
∴180°-∠CFP-∠PCF=180°-∠EFD-∠AEP,
即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°,
∴△EPC是等边三角形,
∴PC=CE,
∴AP=CE.(10分)
21.(1)14(2分)
(2)在题图(2)中,过点O分别作ON⊥AD于点N,OM⊥AB于点M,
则OM=12AD=12b,ON=12AB=12a.
∵S△AOB=14S矩形ABCD,S四边形AEOG=14S矩形ABCD,
∴S△AOB=S四边形AEOG,
∴S△AOB-S△AOE=S四边形AEOG-S△AOE,
即S△BOE=S△AOG.
∵S△BOE=12BE·OM=12m·12b=14mb,
S△AOG=12AG·ON=12AG·12a=14AG·a,
∴14mb=14AG·a,
∴AG=mba.(7分)
(3)在题图(3)中,过点O分别作OK⊥AB于点K,OQ⊥AD于点Q,并分别延长KO,QO交CD,BC于点L,P.
易得KL=2OK,PQ=2OQ.
∵S平行四边形ABCD=AB·KL=AD·PQ,
∴3×2OK=5×2OQ,
∴OKOQ=53.
∵S△AOB=14S平行四边形ABCD,
S四边形AEOG=14S平行四边形ABCD,
∴S△AOB=S四边形AEOG,
∴S△AOB-S△AOE=S四边形AEOG-S△AOE,
∴S△BOE=S△AOG.
∵S△BOE=12BE·OK=12×1×OK,S△AOG=12AG·OQ,
∴12×1×OK=12AG·OQ,
∴AG=OKOQ=53.
易证△AOG≌△COH,△BOE≌△DOF,
∴CH=AG=53,DF=BE=1.
∴当点G到点A的距离、点H到点C的距离均为53,点F到点D的距离为1时,直线EF,GH把平行四边形ABCD的面积四等分.(11分)