备战2024年新高考五省新高考数学复习之大题精编 专题5 圆锥曲线 解答题30题专项提分计划（安徽、吉林、黑龙江、云南、山西备战2024年新高考五省通用）

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【大题精编】备战2024五省新高考数学复习
专题5 圆锥曲线 解答题30题专项提分计划
（安徽、吉林、黑龙江、云南、山西五省通用）

1．（黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高三下学期开学测试数学试卷）已知椭圆E：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点，直线l过点且与直线m平行.设直线l与椭圆E交于A，B两点，求AB的长度.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由待定系数法求椭圆方程.
（2）运用韦达定理及弦长公式可求得结果.
【详解】（1）由题意知，，所以，，设椭圆E的方程为.
将点的坐标代入得：，，所以椭圆E的方程为.
（2）由（1）知，椭圆E的右焦点为，上顶点为，所以直线m斜率为，
由因为直线l与直线m平行，所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即，
联立，可得，
，，，
所以.
2．（黑龙江省哈尔滨市第六中学校2023届高三上学期线上考试（2）数学试题）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点到一条渐近线的距离为1，点，且.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线 与双曲线交于两点（异于点），且直线的斜率之和为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）写出渐近线方程，利用点到直线的距离公式求出，结合，以及中利用余弦定理求出的值即可；
（2）设点联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，利用求出参数的范围，再写出相加之和为，联立方程求出即可.
【详解】（1）由双曲线的方程得渐近线方程为：，取其中一条，
则由点到一条渐近线的距离为1及有：
，
又，所以，
又，
在中，，由余弦定理得：
，
即
解得，所以，
所以双曲线的方程为：.
（2）设，
联立消去整理得：
，

则或，
则，
又
所以


，
整理得：，
解得（舍去）或，
所以直线的方程为：.
3．（山西省太原市2023届高=上学期1月第一次联考数学试题）已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是，2

【分析】（1）根据题意列式求解，即可得方程；（2）设直线，联立方程由可得，根据题意求的坐标，即可求的面积，化简整理即可.
【详解】（1）设双曲线的焦距为，
由题意可得：，则，
则双曲线的方程为.
（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，
设直线的方程为，
则，消得：，
则，可得：①
设与轴交点为，
则，
∵双曲线两条渐近线方程为：，
联立，解得，即，
同理可得：，
则（定值）.
4．（安徽省亳州市蒙城第一中学2023届高三下学期开学考试数学试题）已知双曲线：的焦距为8．过左焦点的直线与的左半支交于，两点，过，作直线：的垂线，垂足分别为，，且当垂直于轴时，．
(1)的标准方程；
(2)设点，判断是否存在，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，

【分析】（1）根据焦距得，利用及通经长度即可求得的值，从而得的标准方程；
（2）讨论直线斜率不存在与存在两种情况，存在时，直线方程为，，联立直线与双曲线，得交点坐标关系，利用直线方程与双曲线方程转化，通过系数成比例解方程确定定值是否存在即可.
【详解】（1）由题可知，焦距，所以，当AB垂直于x轴时，，
又，联立，解得或（舍），所以
则的标准方程为；
（2）如图，

①当直线斜率不存在时，此时，则，所以，要使得为定值，则；
②当直线斜率存在时，设直线方程为，，则，由于均在左半支，所以，且，
所以，消去得，则
所以，同理，
则
，
要使得为定值，则满足，解得，
此时，经检验，此结果也符合斜率不存在的情况
综上，存在使得为定值.
5．（云南省楚雄州2023届高三上学期期末教育学业质量监测数学试题）已知抛物线C：的焦点为F，点P在C上，，且点P在圆上.
(1)求C的方程；
(2)过F且不与x轴垂直的直线l与C交于A，B两点，点A与点M关于x轴对称，直线BM与x轴交于点N，若△ABN的面积为，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）与圆的方程联立，表示点坐标，再根据抛物线定义求C的方程；
（2）设直线AB的方程，与抛物线C的方程联立得出韦达定理，表示直线MB的方程，求出点N的坐标，由△ABN的面积，得出直线l的方程.
【详解】（1）联立，解得，即，
由，得，则，
故C的方程为.
（2）设，，则，
由（1）知点F的坐标为，可设直线AB的方程为，
联立，得，
则，，
直线MB的斜率为，
直线MB的方程为，
可得，
令，得，可得点N的坐标为，
△ABN的面积，
解得，故直线l的方程为或.
6．（云南师范大学附属中学2023届高三第七次月考数学试题）在①；②；③面积的最小值为8，这三个条件中任选一个，补充在横线上，并解答下列问题．（若选择多个条件作答，则按第一个解答计分）
已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，_____________．
(1)求抛物线的方程；
(2)点C在抛物线上，的重心G在y轴上，直线交y轴于点Q（点Q在点F上方）．记的面积分别为，求T的取值范围．
【答案】(1)选择条件见解析，
(2)

【分析】（1）设直线的方程为，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理列方程，解方程得到即可得到抛物线方程；
（2）方法一：根据的中心在轴上得到，根据点在点上方得到，根据得到，然后利用换元法和基本不等式求的范围即可；
方法二：设，，根据为重心得到，根据点在点上方得到，根据得到，然后利用换元法和基本不等式求的范围即可.
【详解】（1）由题得，且直线的斜率存在，设直线．
联立方程得，
可知恒成立，设，
则，，
若选条件①，，
，
∴，
故抛物线的方程为．
若选条件②，，
由抛物线定义得，
∴，故抛物线的方程为．
若选条件③，，当且仅当“”时，面积有最小值为，
∴，，故抛物线的方程为．
（2）
解法一：由（1）得抛物线的方程为，，，故，
如图，∵G为重心，∴，且，
∴．
又，
直线．
令，得，
则，即．
令，则，
则，
∵，∴，当且仅当“”，即“”时取等．
∴，
∴，故．
法二：由（1）得抛物线的方程为，，
故，，
∵A在抛物线上，不妨设，则，
∵G为重心，∴，则，
又，
所以，
，
，
又，
直线，
令，得，又点Q在点F上方，可知，即．
令，则，
，
∵，∴，当且仅当“”，即“”时取等．
∴
∴，故．
【点睛】思路点睛：直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
7．（云南省曲靖市第一中学2023届高三上学期第三次月考数学试题）已知椭圆，过点且与轴平行的直线与椭圆恰有一个公共点，过点且与轴平行的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点为椭圆的右顶点，过点作直线与椭圆相交于两点，直线与直线分别交于不同两点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由题知点在椭圆上，进而待定系数法求解即可；
（2）由（1）知，设，进而求得直线，方程，得到，再根据向量数量积的坐标表示得，再设直线的方程为，进而与椭圆联立方程，并结合韦达定理整理化简得，再求范围即可.
【详解】（1）解：因为过点且与轴平行的直线与椭圆恰有一个公共点
所以，直线与轴的交点在椭圆上，
所以，，即
因为过点且与轴平行的直线被椭圆截得的线段长为，
所以，点在椭圆，即令得，解得，
所以，椭圆的标准方程为
（2）解：由（1）知，设
所以，直线方程为，直线方程为，
所以，，
所以，，
所以，
，
由题知，直线的斜率不为，设其方程为，
所以，联立方程得，
所以，，
所以，，
，
所以，
，
因为，
所以，，当且仅当时，有最小值，
所以，的取值范围为.
8．（吉林省辽源市友好学校2022-2023学年高三上学期期末联考数学试题）已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求的取值范围
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)根据离心率为，短轴长为2，可求得，代入椭圆方程即可.(2)当斜率存在时，设过点的直线，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理写出两根之和与两根之积，在求出，根据椭圆的有界性求范围即可.当斜率存在时，直线方程为，则.
【详解】（1）∵，，∴，
又，解得：，，\
椭圆的标准方程为；
（2）当直线AB的斜率不存在时，AB：，
不妨设，，则，
当直线AB的斜率存在时，设，设，，
由，整理得，，
恒成立，
∴，
∴


综上：
9．（2023届安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省高三下学期2月适应性测试数学试题）已知双曲线过点，且焦距为10．
(1)求C的方程；
(2)已知点，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意列方程组求出，即可得出C的方程；
（2）根据四点共线，要证即证，设出直线，，，联立直线方程与椭圆方程得出，将其代入，计算结果为零，即证出．
【详解】（1）由题意可得，故，所以C的方程为．
（2）设，，
当时，即，解得，则，
双曲线的渐近线方程为，
故当直线与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点，
此时直线方程为，
令，则，故．
则直线．
由得，
所以，．




．
所以，所以
即．

【点睛】关键点睛：本题第二问不能直接计算长度，否则计算量过大，而是转化为证明向量数量积之间的关系，采取设，从而得到直线方程，再使用经典的联立法，得到韦达定理式，然后证明即可.
10．（吉林省长春市第二中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知平面上一动点到的距离与到直线的距离之比为．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)曲线上的两点，，平面上点，连结，并延长，分别交曲线于点A，B，若，，问，是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)是定值，.

【分析】（1）设，根据已知可得，整理即可得到动点的轨迹方程；
（2）当点在轴上时，以右端点为例，写出点的坐标，由已知求出，的值，即可得出；当点不在轴上时，设直线方程为，联立直线与椭圆方程得到，由韦达定理得到，同理可得到.根据向量关系，表示出，，根据斜率公式推得，结合点满足椭圆方程，化简即可得出结果.
【详解】（1）解：设，则，点到直线的距离.
由已知可得，
整理可得.
所以，动点的轨迹是椭圆，方程为.
（2）解：是定值，.
当点在轴上时，不妨设点为椭圆右端点，由已知可得，，所以，，，，所以，，即，，所以.
同理可得，当点为椭圆左端点时，，，所以；
当点不在轴上时，设，直线方程为，直线方程为.
联立直线方程与椭圆方程，整理可得，
根据韦达定理有.
联立直线方程与椭圆方程，整理可得，
根据韦达定理有.
又，，，，
因为，，所以，
所以.
又，，所以，
所以，
又，所以，所以.
综上所述，.
所以，是定值，.
11．（吉林省（东北师大附中,长春十一高中,吉林一中,四平一中,松原实验中学）五校2023届高三上学期联合模拟考试数学试题）已知抛物线C：，过焦点F的直线l交抛物线于M、N两点，交y轴于E点，当点M的横坐标为1时，．
(1)若直线l的斜率为1，求弦长；
(2)，，试问：是否为定值．若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)为定值，理由见解析

【分析】（1）点M的横坐标为1时且可得，求出抛物线方程，直线l的方程于抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得答案；
（2）设，求出、的坐标，根据，，
求出、的坐标代入抛物线方程，可得，化简得可得答案．
【详解】（1）当点M的横坐标为1时且，可得，所以，
抛物线方程为，，
则直线l的方程为，
由得，
设，所以，
；
（2）由（1）知，，设，
则，，
因为，，
所以，，
可得，，分别代入抛物线方程可得
，，
，可得，
，
当在第一象限在第四象限时，
因为与反向，所以，
与同向，所以，
当在第一象限在第四象限时，
因为与同向，所以，
与反向，所以，
所以，所以，
所以为定值．

12．（吉林省实验繁荣高级中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题）设、分别为椭圆的左､右两个焦点，椭圆的离心率为，且椭圆上任意一点到、的距离之和等于.
(1)求椭圆的方程；
(2)试确定实数的范围，使得椭圆上存在不同两点关于直线对称.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）结合椭圆的定义及离心率列出方程组，即可求解；
（2）设椭圆上关于直线对称的点，，根据对称性可知线段被直线垂直平分，可设直线的方程为，与椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，以及判别式大于0，求得的中点坐标，代入直线即可求得，进而求得的取值范围.
【详解】（1）由题意，可得，解得，，，
所以椭圆的方程为.
（2）设椭圆上关于直线对称的点，，
则根据对称性可知线段被直线垂直平分，
可知直线的斜率为，且的中点在直线上，
故可设直线的方程为，
联立，整理得，
所以，，
由，可得，
所以的中点的坐标为，代入直线，
可得，即.
所以的取值范围是.
13．（吉林省长春市长春外国语学校2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线C的标准方程与离心率；
(2)已知斜率为的直线与双曲线C交于x轴下方的A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求的面积．
【答案】(1)；
(2)

【分析】（1）依题意用点到直线的距离公式列方程可得c，然后由渐近线斜率和几何量关系列方程组可解；
（2）设直线方程联立双曲线方程消元，利用韦达定理表示出直线，的斜率可得直线的方程，数形结合可解.
【详解】（1）由题意知焦点到渐近线的距离为，
则
因为一条渐近线方程为，所以，
又，解得，，
所以双曲线的标准方程为，
离心率为．
（2）设直线：，，，
联立
则，
所以，
由

解得（舍）或，
所以，
：，令，得，

所以的面积为，

14．（吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县第五中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题）已知椭圆C的右焦点与抛物线E：的焦点F重合，且椭圆C的离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过点F的直线l交椭圆C于M，N两点，交抛物线E于P，Q两点，是否存在实数，使得为定值？若存在，求出这个定值和λ的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在.使 为定值.

【分析】（1）由焦点坐标和椭圆离心率，待定系数法可求椭圆C的标准方程．
（2）联立方程组，运用韦达定理表示，再找为定值时的实数.
【详解】（1）抛物线E：的焦点，设椭圆标准方程为，由右焦点得椭圆C的半焦距，
又椭圆C的离心率 ，所以，，
所以椭圆C的标准方程.
（2）如图所示：

当过点F的直线l的斜率为0时，其与抛物线E只有一个交点，不符合题意，∴直线l的斜率不为0，
设直线，，联立方程组，
消去x，得，
所以 ， ，
所以
.
联立方程组，消去x，得，
设，则，，
所以，
所以 ，
令 ，得 .
当时， ，
即存在.使 为定值.
15．（黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆E上，，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆E相交于A，B两点，与圆相交于C，D两点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用椭圆的定义和已知条件，列方程求解、，得椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和韦达定理表示出，利用圆心到直线的距离和勾股定理表示出，再利用函数思想求的取值范围．
【详解】（1）因为点在椭圆上．所以，又因为|，所以 ， ，
因为，所以，又，
解得，，所以椭圆的标准方程为
（2）设，，
联立直线与椭圆的方程： ，整理可得．
，有， ，
所以弦长 ，
圆的圆心到直线的距离为 ， 所以 ，
所以 ，
由，得，则 ，
所以以的取值范围为.
16．（黑龙江省哈尔滨市第六中学校2023届高三上学期线上考试（2）数学试题）已知长度为3的线段的两个端点分别在x轴和y轴上运动，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线与椭圆C交于E，F两点，O为坐标原点，若，求最大值，及取最大值时直线l的方程.
【答案】(1)
(2)最大值为，直线方程为

【分析】（1）设出点坐标，用点坐标表示，然后代入圆方程，从而求出P点的轨迹；
（2）直线和椭圆联立，化简得出关系,弦长公式写出,

减元后再利用函数单调性求出最值，并确定取等条件时直线的方程..
【详解】（1）设，
由题意得：，则，
由， 则，可得，即
所以,即，则.
故动点的轨迹方程为.
（2）设,
联立，可得，则，
又因为，所以

即得，
化简，即，


设,则，
又因为,则，
当时, 取得最大值，此时 ,所以,
又因为,所以
所以.
17．（黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高三上学期第三次月考数学试题）已知椭圆：，长轴是短轴的2倍，点在椭圆上，且P在轴上的投影为点Q.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点Q且不与y轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在点，使得直线TM，TN斜率之积为定值?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，

【分析】（1）由题意列方程组求解，
（2）设直线方程后与椭圆方程联立，由韦达定理与斜率公式化简求解，
【详解】（1）由题意得，，
解得，故椭圆的方程为，
（2）由题意得，设直线方程为，
代入得，
设，则，
而
化简得
当为定值时，，，故，
存在使得直线TM，TN斜率之积为定值
18．（山西省忻州市2023届高三下学期百日冲刺数学试题）已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l交椭圆C于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据离心率的公式，结合的基本关系，代入求解即可；
（2）直线的方程为，，，，直线与曲线联立，的面积，根据韦达定理，弦长公式将三角形面积表示，
再根据基本不等式求解最大值即可.
【详解】（1）由题意可得，
解得，
故椭圆C的标准方程为．
（2）设直线l的方程为，，，
联立，
整理得，
则，即，
解得，，．
故△OPQ的面积．
设，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
则，即△OPQ面积的最大值为．
19．（山西省部分学校2023届高三上学期第五次联考数学试题）已知椭圆：的离心率为，且点在上.
(1)求的方程；
(2)设，为的左、右焦点，过的直线交于A，B两点，若内切圆的半径为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）根据题设条件列方程求解即可；
（2）先根据椭圆的定义确定的周长，进而可求的面积，再根据，利用韦达定理代入求解.
【详解】（1）因为的离心率为，故可设，，.
故的方程为，
代入得，解得.
所以的方程为.
（2）的周长为，
故.
设，，由题意可得直线与轴不重合，，
故可设直线的方程为，
则.
由得，
此时，
所以，，
故.
解得，故直线的方程为或.

20．（山西省太原市2023届高三上学期期末数学试题）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆C经过点，且直线，与圆相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线与椭圆C交于P，Q两点，点M在x轴上，且满足，求点M横坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)根据椭圆过点可得，然后再利用直线与圆相切得到，进而求解方程；
(2)由已知条件可得：，进而得到，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式得到点横坐标的表达式，根据直线的方程和基本不等式即可求出点横坐标的取值范围.
【详解】（1）∵椭圆C经过点，∴，
由题意得直线的方程为，即，
∵直线与圆相切，∴，∴，
∴，∴椭圆C的方程为；
（2）设，点是的中点，
由得，∴，∴，
∵，
∴，∴，
∴直线的方程为，
∴点M的横坐标为，
∵，∴，∴．
∴“点M的横坐标的取值范围为．
21．（山西省阳泉市2023届高三上学期期末数学试题）已知过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点．
(1)证明：；
(2)设为抛物线的焦点，直线与直线交于点，直线交抛物线与两点（在轴的同侧），求直线与直线交点的轨迹方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）设，，利用三点共线，解得，再利用向量数量积的坐标表示即可求解；
（2）设， ，，根据题意可得，由此解出与，与的关系，进而得到直线与直线的方程，联立即可求解.
【详解】（1）设，，
因为三点共线，所以,
所以，整理可得，
所以，所以．
（2）设， ，，
由题意，，

因为，，所以，
又因为，，
所以，整理得．
因为在轴同侧，所以，同理可得，
所以直线的方程为，同理的方程为，
两式联立代入，可得，
由题意可知交点不能在x轴上，
所以交点的轨迹方程为．
22．（安徽省宿州市2023届高三下学期第一次教学质量检测数学试题）已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆上异于左右顶点的动点，的周长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M作圆的两条切线，切点分别为，直线AB交椭圆C于P，Q两点，求的面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据椭圆离心率和焦点三角形周长可求得，即可得出椭圆C的标准方程；
（2）易知的轨迹是以OM为直径的圆与圆的交点，求出AB所在的直线方程，并于椭圆方程联立根据弦长公式求得的面积的表达式，再化简变形构造函数即可求得其取值范围.
【详解】（1）设椭圆焦距为2c，根据椭圆定义可知，
的周长为，离心率
联立，解得，，
所以，
即椭圆C的标准方程.
（2）设点，又为切点，可知，
所以四点共圆，即在以OM为直径的圆上，
则以OM为直径的圆的方程为，
又在圆上，
两式相减得直线AB的方程为，如下图所示：

设，，由，
消去y整理后得，
，，
所以
，
又点O到直线PQ的距离，
设的面积为S，则


，
其中，令，则，
设，，则，
所以在区间上单调递增，从而得，
于是可得，
即的面积的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据过点M的两条切线求出切点所在的直线方程，并与椭圆联立利用韦达定理和弦长公式求出面积的表达式，再通过构造函数利用导数研究单调性求面积取值范围即可.
23．（云南省马关县第一中学2023届高三第七次月考数学试题）已知双曲线的右焦点为F，点 分别为双曲线C的左、右顶点，过点F的直线l交双曲线的右支于 两点，设直线的斜率分别为，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)当点P在第一象限，且时，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2) .

【分析】（1）设点，根据，结合点P是双曲线上的点，化简求得，即得答案.
（2）设，利用两角和的正切公式化简可得，设直线，并联立双曲线方程，可得根与系数的关系，化简求得m的值，即得答案.
【详解】（1）由题意得 ，设点.
则.
因为点P是双曲线上的点，则，∴.，∴，
则双曲线C的方程为
（2）设，点P在第一象限，

则，
又，
故，
同理可得，即，
则直线l的斜率大于0，
由（1）可知 ，设直线，联立 ，
化简得 ，
则，
故,
，代入韦达定理得 ，
所以 ，解得或（舍去），
所以直线l的方程为 .
【点睛】关键点点睛：解决此类直线和圆锥曲线的位置关系的问题时，一般设出直线方程，并联立圆锥曲线，得到根与系数的关系式，化简求解，解答此题的关键在于要能利用两角和的正切公式结合进行化简得到，从而再结合根与系数的关系化简求解即可.
24．（云南省三校2023届高三下学期高考备考实用性联考卷（五）（开学考）数学试题）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点．

(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，动直线交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，的半径为．设D为的中点，与分别相切于点E，F，求的最小值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由离心率，可得，再根据椭圆过点，代入椭圆方程，进而可求出；
（2）设，，联立，可得到关于的一元二次方程，结合韦达定理，可求得点的坐标，进而得出的表达式，整理得，令，可得，进而可求得，设，可知，即可得到的最小值，及的最小值.
【详解】（1）∵椭圆的离心率为，
∴，则，又椭圆C过点，
∴，
∴，
则椭圆C的方程为．
（2）设，，
联立，得．
由，得，
且，
因此，
所以．
又，
所以，
整理得．
因为，
所以．
令，，故．
所以．
因为，
所以，
当时
所以在上单调递增，所以，当时等号成立，此时，
所以，即，
由，可得，即且.
设，则，
所以的最小值为，
从而的最小值为，此时直线的斜率是0．
综上所述：当，时，取到最小值．
【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数关系之间的关系、弦长、斜率、面积等问题.
25．（云南省昆明市第一中学2023届高三第六次考前基础强化数学试题）已知一动点C与定点的距离与C到定直线l：的距离之比为常数.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)过点F作一条不垂直于y轴的直线，与动点C的轨迹交于M，N两点，在直线l上有一点，记直线PM，PF，PN的斜率分别为，，，证明：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意，设动点，利用动点C与定点的距离与C到定直线l：的距离之比为常数即可求出轨迹方程；
（2）讨论直线斜率是否存在两种情况，当直线斜率存在时，设直线方程为：，联立方程组，设而不求，利用韦达定理即可证明为定值.
【详解】（1）设动点，由题意知，，
所以动点C的轨迹方程为C：.
（2）当直线斜率不存在时，M，N的坐标分别为，，
则.
当直线斜率存在时，设直线方程为：.
联立直线和椭圆的方程，
化简得，
则，，
，
，
所以





.
即为定值，定值为2
【点睛】关键点睛：本题第二问考察圆锥曲线中的定值问题，在设而不求化简代入时，过程比较繁琐，尤其是韦达定理无法直接代入时，需要通过点在直线上的条件进行转化，从而整理成韦达定理能够直接代入的情况，最后可以通过特殊值去检验算计算的定值是否正确.
26．（云南省德宏州2023届高三上学期期末教学质量统一监测数学试题）已知双曲线：的焦点到渐近线的距离为．如果双曲线的顶点和焦点分别是椭圆的焦点和顶点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左右焦点分别是、，点P为椭圆上一点，过点作轴的垂线（不过点）交椭圆于点，连接延长交椭圆于点，连接．试判断直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线恒过定点．

【分析】(1)设出椭圆方程，根据题意得到，然后根据渐近线方程得到，进而求解即可；
(2)根据题意，设直线 方程为，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，然后求出直线：，将韦达定理代入整理即可求解.
【详解】（1）设椭圆方程为，
由焦点为到渐近线的距离为，得：，
又双曲线的渐近线方程为：，解得：，
在椭圆中，，，，
所以，椭圆的方程为：．
（2）直线过定点．理由如下：
设，，．因为直线经过点，
所以可设直线 方程为．
联立方程组：，  得：，
∴ ，，，
．
∵ ，  ∴ 直线：，
∵ ，，  ∴  直线：，
可得：，
整理得：，
将①②③代入上式得：，
∵ ，∴ 整理得：，
令，得，故直线恒过定点．
【点睛】求定点问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．
27．（黑龙江省实验中学2022-2023学年度高三下学期第一次模拟考试数学试题）已知椭圆经过点，且椭圆的长轴长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过点的直线与椭圆相交于、两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求的面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据已知条件可得出的值，将点的坐标代入椭圆的方程，可得出，即可得出椭圆的方程；
（2）分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，写出直线的方程，可求得点的坐标，利用三角形的面积公式以及对勾函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】（1）解：因为椭圆的长轴长为，则，
将点的坐标代入椭圆的方程可得，可得，
所以，椭圆的标准方程为.
（2）解：若与轴重合，则不存在，
设直线的方程为，设点、，
若，则点与点重合，不合乎题意，所以，，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
易知点，，
直线的方程为，
将代入直线的方程可得，即点，
，
所以，，
令，则函数在上为增函数，
所以，，所以，.
故的面积的取值范围是.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
28．（黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，M为双曲线E上异于A、B的任意一点，直线MA、MB斜率乘积为，焦距为．
(1)求双曲线E的方程；
(2)P为直线上的动点，若直线PA与E的另一交点为C，直线PB与E的另一交点为D．证明：直线CD过定点．
【答案】(1)；
(2)见解析.

【分析】（1）根据斜率乘积得，结合焦距，即可求出标准方程；
（2）设直线，结合椭圆方程得，得到韦达定理式，写出直线方程，代入横坐标，求出纵坐标，写出直线方程，代入横坐标，求出纵坐标，得到，即，将韦达定理式代入得，即可得到定点坐标.
【详解】（1）设，，
，

又因为焦距为,可得,则
结合，
所以双曲线的标准方程为:.
（2）设直线，
，
则，
，
直线，因为其过点，
直线，因为其过点，
,所以
所以
将代入上式，得

化简为
若
当时，代入化简得
，显然不成立，舍去，
当时，代入化简得
，即，即，
当时，此时直线为，
经过定点与点重合，显然不成立，舍去；
当时，此时直线为，
经过定点与点重合，显然不成立，舍去；
所以，即，所以直线，
即为，直线过定点.
【点睛】关键点睛：本题需设直线，联立椭圆方程得到韦达定理式，然后求出直线与直线方程，分别令，得出，化简得，将韦达定理代入得，即得到，则得到定点坐标.
29．（山西省吕梁市2023届高三上学期期末数学试题）已知抛物线的焦点为．

(1)如图所示，线段为过点且与轴垂直的弦，动点在线段上，过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点，请问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
(2)过焦点作直线与交于两点，分别过作抛物线的切线，已知两切线交于点，求证：直线､、的斜率成等差数列．
【答案】(1)是定值;定值为4.
(2)证明见解析.

【分析】（1）求得的坐标，设，可得直线l的方程，联立抛物线方程，由根与系数关系可得结论；
（2）设直线的方程为；，设点，联立直线和抛物线方程，由根与系数关系可得，利用直线斜率公式表示直线､、的斜率，化简可证明结论.
【详解】（1）依题意知 ，将 代入可得，
设，所以直线l的方程为 ，
联立方程 ，得： ,当不满足题意舍去，则是定值.
（2）证明：依题意设直线的方程为； ，设点 ,
联立方程 得： ，，
，
又,点F坐标为,∴ ,
，，
，
所以直线､、的斜率成等差数列．
【点睛】方法点睛：证明直线､、的斜率成等差数列时，要利用斜率公式表示出直线､、的斜率，说明他们的斜率满足，因此解答时需要设直线方程以及交点坐标，联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，然后化简整理，证明即可.
30．（山西省运城市稷山县稷山中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线准线与轴交于点.
(1)请写出满足的点的一组坐标；
(2)证明：；
(3)若将过焦点改为过点的直线与抛物线交于两点，在轴上是否存在点，使得，不需要说明理由，若存在写出点坐标.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)存在，

【分析】（1）由题意可得当直线AB的方程为时满足，此时，；
（2）由题意可得直线斜率存在且不为0，设直线，，，联立方程理由韦达定理得出，，则计算得出，即可证明；
（3）存在，使得成立，理由如小问2.
【详解】（1）由题意可知：，，
若
当直线AB的方程为时满足，此时，；
（2）由题意可得直线斜率存在且不为0，
设直线，，，
联立，得，
所以，，，
，，
则，
，

，
，
；
（3）存在，使得成立，
理由如下：
设直线的方程为，设，，，
联立，得，
则，，，
，
，
，
，
即，
故存在，使得成立.