还剩18页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
【单元测试】高中数学人教A版(2019)必修第二册--《第八章 立体几何初步》单元测试3（含解析）
展开
这是一份【单元测试】高中数学人教A版(2019)必修第二册--《第八章 立体几何初步》单元测试3（含解析），共21页。
人教A版（2019）必修第二册《第八章 立体几何初步》单元测试3
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则异面直线A1E与AC所成角的余弦值为( )
A. 24 B. 22 C. 223 D. 33
2.（5分）如图， 直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=BC， 则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为( )
A. -12 B. 12 C. -14 D. 14
3.（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β B. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
C. 若a⊥α，a⊥β，则α//β D. 若m⊂α，m//n，则n//α
4.（5分）如图，四面体A-BCD中，AB=1,AC=CD=DA=2，当BC与面ACD所成角最大值时，四面体A-BCD的体积为( )
A. 12 B. 1 C. 3 D. 33
5.（5分）在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E是AA'的中点，P是三角形BDC'内的动点，EP⊥BC'，则P的轨迹长为( )
A. 22 B. 32 C. 324 D. 64
6.（5分）如图所示，在ΔABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值为( )
A. 13 B. 12 C. 23 D. 1
7.（5分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2AD=4，M为PA的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为( )
A. -55 B. 255 C. 35 D. 45
8.（5分）下图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型．祖暅提出“祖氏原理”，他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于23d3(d为球的直径)，并得到球的体积为V=16πd3，这种算法比其他国家早了一千多年，人们还用过一些类似的公式，根据π=3.1415926…，判断下列公式中最精确的一个是( )
A. d≈3169V B. d≈32V
C. d≈3300157V D. d≈3158V
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）若a，b表示空间中两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的为( )
A. a//α，b//α⇒a//b B. a⊥α，b⊥α⇒a//b
C. a//b，b⊂α⇒a//α D. a⊥α，a//b⇒b⊥α
10.（5分）在空间中，已知a,b是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列选项中正确的是( )
A. 若a//b，且a⊥α，b⊥β，则α//β.
B. 若α⊥β，且a//α，b//β，则a⊥b.
C. 若a与b相交，且a⊥α，b⊥β，则α与β相交．
D. 若a⊥b，且a//α，b//β，则α⊥β.
11.（5分）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为2πR2
B. 圆锥的侧面积为2πR2
C. 圆柱的侧面积与球面面积相等
D. 圆锥的表面积最小
12.（5分）已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是( )
A. 若m⊥α，n⊥α，则m//n B. 若m//α，m //β，则α//β
C. 若α⊥β,m//β，则m⊥α D. 若α//β,m⊥α，则m⊥β
13.（5分）以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，其中错误的是( )
A. 若a//b，b⊂α，则a//α
B. 若a//α，b//α，则a//b
C. 若a//b，b//α，则a//α
D. 若a//α，a⊂β，α∩β=b，则a//b
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）正ΔABC的三个顶点都在球O的球面上，AB=AC=2，若三棱锥O-ABC的体积为2，则该球的表面积为______.
15.（5分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D-ABC1的体积为______ .
16.（5分）如图，ABCD是棱长为6的正四面体，E，F为线段AB的三等分点，G，H为线段CD的三等分点，过点E，F，G，H分别作平行于平面BCD，平面ACD，平面ABD，平面ABC的截面，则正四面体ABCD被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为 ______.
17.（5分）如图所示，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD // BC，BC=2CD=2AD=2，若将该直角梯形绕AD边旋转一周，则所得的几何体的体积为________.
18.（5分）已知圆锥的表面积是3m2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积是______平方米．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135∘，侧面PAB⊥底面ABCD，PA⊥AB，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，过EF的平面与面PCD交于M，N两点．
(1)求证：EF //MN；
(2)求证：平面EFMN⊥平面PAC；
(3)设DMDP=λ，当λ为何值时四棱锥M-EFDC的体积等于1，求λ的值．
20.（12分）如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，点D是A'C'的中点，欲过点B作一截面与平面AB'D平行．
(1)问应当怎样画线，并说明理由；
(2)若三棱柱ABC-A'B'C'的体积为30，求该棱柱在所作截面与平面AB'D之间部分的体积．
21.（12分）一个圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱．
(1)求圆锥的侧面积；
(2)当x为何值时，圆柱侧面积最大？并求出最大值．
22.（12分）如图，菱形ABCD的棱长为2，∠BAD=60°，CP⊥底面ABCD，E为边AD的中点．
(1)求证：平面PBE⊥平面BCP；
(2)当直线AP与底面ABCD所成的角为30°时，求二面角A-PB-C的余弦值．
23.（12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，∠A1AC=∠ACB=60°，AA1=AC=2BC，D是BC的中点，N为线段AC上的动点．
(1)证明：平面A1B1D⊥平面BB1C1C；
(2)若A1N+BN的最小值为27，求过A1，B1，D三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：连接A1C1，D1E，C1E，
设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，E为棱CD的中点，
由D1E=C1E=12+22=5，A1C1//AC，A1C1=22+22=22，
A1E=A1D12+D1E2=4+5=3，
∴∠EA1C1是异面直线A1E与AC所成角(或所成角的补角)，
则异面直线A1E与AC所成角的余弦值为：
cos∠EA1C1=A1C12+A1E2-C1E22×A1C1×A1E=8+9-52×22×3=22.
故选：B.
连接A1C1，D1E，C1E，由A1C1//AC，得到∠EA1C1是异面直线A1E与AC所成角(或所成角的补角)，利用余弦定理能求出异面直线A1E与AC所成角的余弦值．
此题主要考查异面直线所成角的求法，考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
2.【答案】D;
【解析】解：如图所示建立空间直角坐标系，
不妨设AA1=AB=AC=BC=2.
则A(0,-1,2)，B1(3,0,0)，B(3,0,2)，C1(0,1,0)，
∴A→B1=(3,1,-2)，B→C1=(-3,1,-2)，
∴cos=A→B1.B→C1|A→B1|\cdot|B→C1|
=-3+1+48.8=14.
故选：D.
如图所示建立空间直角坐标系，不妨设AA1=AB=AC=BC=2.利用cos=A→B1.B→C1|A→B1|\cdot|B→C1|即可得出．
此题主要考查了异面直线的夹角、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】C;
【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
在A中，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α与β平行或相交，故A错误；
在B中，若α//β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故B错误；
在C中，若a⊥α，a⊥β，则由面面平行的判定定理得α//β，故C正确；
在D中，若m⊂α，m//n，则n//α或n⊂α，故D错误．
故选：C．
在A中，α与β平行或相交；在B中，m与n平行或异面；在C中，由面面平行的判定定理得α//β；在D中，n//α或n⊂α．
该题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
4.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了直线与平面所成的角，以及三棱锥的体积的求法.
根据三棱锥的性质确定当BC与面ACD所成角最大时点B的位置是解答该题的关键.
解：以点A为球心，AB长为半径作球，则由图易得当直线BC与平面ACD所成角最大时，直线BC与球O相
切，且平面ABC与平面ACD垂直，过点B作AC的垂线，设垂足为点E，则在RtΔABC中，由AC=2，AB=1，易得BE=32
VA-BCD=VB-ACD=13SΔ.BE=13×34×22×32=12.
故选A.
5.【答案】D;
【解析】
此题主要考查空间直线与平面的位置关系，直线与平面垂直的判断，考查空间想象能力以及计算能力．
先找到一个平面总是保持与BC'垂直，取棱BB'、BC、AD的中点F、H、G，连接EF，FH，EG，GH，判断P的位置，然后求解即可．
解：先找到一个平面总是保持与BC'垂直，
取棱BB'、BC、AD的中点F、H、G，连接EF，FH，EG，GH，如图，
易知在正方体ABCD-A'B'C'D'中，有BC'⊥平面EFHG，
又P是ΔBDC'内的动点，
根据平面的基本性质，
得点P的轨迹为平面EFHG与平面BDC'的交线段MN，
在RtΔMNH中，NH=12，MH=24，
∴MN=14=64.
故选D.
6.【答案】B;
【解析】解：由题意可知，ΔABD≌ΔPBD，∴ΔPBD可以看成是ΔABD绕BD轴旋转形成的．
点D在边AC上每选定一个位置，则底面BCD的面积就为定值，
此时，当平面PBD垂直于底面BCD时，四面体P-BCD的体积就取得最大值．
此时过点P作BD的垂线，则该垂线即为三棱锥P-BCD的高，且高等于ΔABD中BD边上的高线AE，
如图所示．在ΔABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，则AC=23．
设AD=x(0
在ΔABD中，由余弦定理，可得BD=22+x2-2×2xcos30°=(x-3)2+1．
∵SΔABD=12×2xsin30°=12BD.AE，∴AE=x(x-3)2+1，
所以四面体PBCD的体积V=13SΔBCD.AE=13(3-x2).x(x-3)2+1=x(23-x)6(x-3)2+1
=-(x-3)2-36(x-3)2+1，
设m=(x-3)2+1(1⩽m<2)，
则V=-m2-46m=-m6+23m(1⩽m<2)，因为函数V=-m6+23m在[1,2)上单调递减，
所以当m=1，即x=3，即点D为边AC的中点时，V=-m6+23m取得最大值，
最大值为Vmax=-16+23=12．
故选：B．
说明当平面PBD垂直于底面BCD时，四面体P-BCD的体积就取得最大值．过点P作BD的垂线，则该垂线即为三棱锥P-BCD的高，且高等于ΔABD中BD边上的高线AE，设AD=x(0
7.【答案】D;
【解析】解：以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
∵PA=AB=2AD=4，M为PA的中点，
∴A(0,0,0)，C(-2,4,0)，B(0,4,0)，M(0,0,2)，
∴AC→=(-2,4,0)，BM→=(0,-4,2)，
∴cos=-1625×25=-45，
∴异面直线BM与AC所成角的余弦值为45．
故选：D．
以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得AC→与BM→的坐标，再由数量积求夹角公式求解．
此题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
8.【答案】C;
【解析】
本题主要涉及到数学史与立体几何，属于中档题.
分别求出π，然后比较即可.解：由V=16πd3得π=6Vd3.
A中，化简得Vd3≈916,∴π≈6×916=3.375；
B中，化简得Vd3≈12,∴π≈62=3；
C中，化简得Vd3≈157300,∴π≈6×157300=3.14；
D中，化简得Vd3≈815,∴π≈6×815=3.2.
所以C中公式最精确.
故选C.
9.【答案】BD;
【解析】解：对于A，若a//α，b//α，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故A错误；
对于B，若a⊥α，b⊥α，则a//b，故B正确；
对于C，若a//b，b⊂α，则a//α或a⊂α，故错误；
对于D，若a⊥α，a//b，则b⊥α，故D正确．
故选：BD．
根据空间线面位置关系的定义、性质判断各选项即可．
该题考查空间线面位置关系的判断，属于基础题．
10.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查空间中线线、线面、面面之间的位置关系，属于基础题.
利用空间中线线、线面、面面之间的位置关系的判定方法进行判断即可.
解：若a//b，且a⊥α,b⊥β，即两平面的法向量平行，则α//β成立，故A正确；
若α⊥β，且a//α,b//β，则a与b互相平行或相交或异面，故B错误；
若a,b相交，且a⊥α,b⊥β，即两平面的法向量相交，则α,β相交成立，故C正确；
若a⊥b，且a//α,b//β，则α与β平行或相交，故D错误；
故选AC.
11.【答案】CD;
【解析】
此题主要考查圆柱、圆锥的侧面积和表面积，球的表面积的计算公式，属于简单题.
根据圆柱、圆锥的侧面积计算公式，球的表面积计算公式，对选项逐一判断，即得答案.
解：由题意可得，圆柱、圆锥的底面半径均为R，高均为2R，球的半径为R.
则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2，故A错误.
由勾股定理得圆锥的母线长为5R，
圆锥的侧面积为12×2πR×5R=5πR2，故B错误.
球的表面积为4πR2,∴圆柱的侧面积与球面面积相等，故C正确.
圆锥的表面积为S侧+S底=5πR2+πR2=5+1πR2，
圆柱的表面积为S侧+2S底=4πR2+2πR2=6πR2，
球的表面积为4πR2,∴圆锥的表面积最小，故D正确.
故选：CD.
12.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及相关的判定，属于中档题.
逐个分析判断解题.
解：由线面垂直的性质知，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，A正确；
一条直线平行于两个平面的交线满足条件，但结论不成立，B错误；
缺少条件m⊥n，α∩β=n，不能由面面垂直得到线面垂直，或者说m可能在平面α内，C错误；
因为一条直线垂直于两个平行平面中的一个也一定垂直于另一个，D正确.
故选AD.
13.【答案】ABC;
【解析】解：由a，b表示直线，α表示平面，知：
对于A，若a//b，b⊂α，则a//α或a⊂α，故A错误；
对于B，若a//α，b//α，则a与b相交、平行或异面，故B错误；
对于C，若a//b，b//α，则a//α或a⊂α，故C错误；
对于D，若a//α，a⊂β，α∩β=b，则由线面平行的性质得a//b，故D正确．
故选：ABC.
对于A，a//α或a⊂α；对于B，a与b相交、平行或异面；对于C，a//α或a⊂α；对于D，由线面平行的性质得a//b.
此题主要考查命题真假的判断，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14.【答案】160π3;
【解析】
此题主要考查了球的表面积求法问题，也考查了空间想象能力，是中档题．
根据题意求出正ΔABC的面积以及点O到底面的距离，再求出球的半径，即可求出球的表面积．
解：正ΔABC的三个顶点都在以O为球心的球面上，
且AB=AC=BC=2，
取BC中点D，连接AD，OD，
过O作OE⊥平面ABC，则OE∩AD=E，如图所示：
∴AD=22-12=3，AE=23AD=233，
SΔABC=12BC⋅AD=12×2×3=3，
∵三棱锥O-ABC的体积为2，
∴13×3×OE=2，解得OE=23，
∴球的半径为OA=OE2+AE2
=(23)2+(233)2=403，
∴球的表面积为S=4π×OA2=160π3.
故答案为：160π3.
15.【答案】13;
【解析】
此题主要考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，是中档题．
将直三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开成矩形ACC1A1，可以确定D点位置，然后利用体积公式求解即可.
解：将直三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开成矩形ACC1A1，如图，
连结AC1，交BB1于D，此时AD+DC1最小，
∵AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，
∴当AD+DC1最小时，BD=1，
此时三棱锥D-ABC1的体积：
VD-ABC1=VC1-ABD=13×SΔABD×B1C1
=13×12×AB×BD×B1C1=13.
故答案为13.
16.【答案】4623;
【解析】解：如图，取△BCD中心O，连接OA，
因为ABCD是棱长为6的正四面体，所以OA⊥平面BCD，
根据几何关系：BO=23,AB=6,AO=26，
所以正四面体ABCD的体积为：VA-BCD=13S△BCD⋅OA=13×12×6×6×32×26=182，
因为平面EMN//平面BCD，E为线段AB的三等分点，
所以S△EMN=19S△BCD，三棱锥A-EMN的高h=13OA，
所以VA-EMN=13S△EMN⋅h=127VA-BCD=18227=223，
所以正四面体ABCD被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为VA-BCD-4VA-EMN=182-823=4623.
故答案为：4623.
根据题意，取△BCD中心O，连接OA，进而得OA⊥平面BCD，再根据几何体关系计算得VA-BCD=182,VA-EMN=223，进而得正四面体ABCD被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为VA=VABCD-4VA-EMN=4623.
此题主要考查了几何体的体积计算，属于中档题．
17.【答案】5π3;
【解析】
此题主要考查旋转体的体积的求法，考查运算求解能力，是中档题．
将该直角梯形绕AD边旋转一周，所得的几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱去掉一个底面半径为1高为1的圆锥，由此能求出所得的几何体的体积．
解：∵在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD//BC，BC=2CD=2AD=2，
∴将该直角梯形绕AD边旋转一周，所得的几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱去掉一个底面半径为1高为1的圆锥，
则所得的几何体的体积为：
V=V圆柱-V圆锥=π×12×2-13×π×12=5π3.
故答案为：5π3.
18.【答案】2;
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线为l，
则由 πl=2πr，得l=2r，
∵圆锥的表面积是3m2，
∴S表=πr2+πr⋅2r=3，
∴3πr2=3，解得r=1π，
∴这个圆锥的侧面积S侧=πr×2r=2πr2=2π×1π=2(m2).
故答案为：2．
设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线为l，则由πl=2πr，得l=2r，由圆锥的表面积是3m2，求出r=1π，由此能求出这个圆锥的侧面积．
该题考查圆锥的侧面积的求法，考查圆锥及侧面展开图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】证明：(1)在平行四边形ABCD中，
∵E，F分别为BC，AD的中点，∴EF//CD，
又∵EF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴EF//平面PCD，
∵过EF的平面与面PCD交于M，N两点，
∴EF⊂平面EFMN，
又∵平面EFMN∩平面PCD=MN，
∴EF//MN;
(2)∵在平行四边形ABCD中，∠BCD=135°，
∴∠ABC=45°，
又∵AB=AC，∴AB⊥AC.
由E，F分别为BC，AD的中点，∴EF//AB，
∴EF⊥AC.
∵侧面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊂平面PAB，PA⊥AB，
∴PA⊥底面ABCD，
又∵EF⊂底面ABCD，
所以PA⊥EF.
又因为PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
所以EF⊥平面PAC，
又∵EF⊂平面EFMN，
∴平面EFMN⊥平面PAC；
(3)在三角形PAD中，过M做AD的垂线，垂足为G，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，∴MG//PA，
∴MGPA=DMDP，
又∵DMDP=λ，且PA=2，∴MG=2λ，
∵PA⊥平面ABCD，∴MG⊥平面ABCD，即MG⊥平面ECDF，
∴四棱锥M-EFDC的高为MG=2λ，
S四边形EFMN=12S四边形ABCD=SΔABC=12AB.AC=2，
四棱锥M-EFDC的体积：VM-ECDF=13×2×2λ=43λ=1，
∴λ=34.
;
【解析】此题主要考查线面、面面平行、垂直的判定定理和性质定理，考查棱锥的体积计算，属中档题，
(1)利用线面平行的判定定理证得EF//平面PCD，进而利用线面平行的性质定理证得EF//平面MN;
(2)在平行四边形ABCD中根据已知条件分析可得AB⊥AC.进而EF//AB，得到EF⊥AC.根据面面垂直的性质定理得到PA⊥底面ABCD，从而PA⊥EF.进一步利用线面垂直判定定理得到EF⊥平面PAC，再利用面面垂直的判定定理得到平面EFMN⊥平面PAC.
(3)在三角形PAD中，过M做AD的垂线，垂足为G，根据DMDP=λ，可得四棱锥M-EFDC的高为MG=2λ，S四边形EFMN=12S四边形ABCD=SΔABC=12AB.AC=2，代入四棱锥的体积公式，根据体积等于1求得λ.
20.【答案】解：(1)取线段AC的中点E，连接BE，C'B，C'E，
则平面BEC'//平面AB'D(BE,C'B,C'E即为应画的线)，如图所示．
∵点D为A'C'的中点，点E为AC的中点，
∴AE=DC'，且AE//DC'，
∴四边形AEC'D为平行四边形，∴DA//C'E，
又∵DA⊂平面AB'D，C'E⊄平面AB'D，∴C'E//平面AB'D，
连接DE，则DE//AA'，DE=AA'，
又∴BB'//AA'，BB'=AA'，∴DE//BB'，DE=BB'，
∴四边形DEBB'是平行四边形，∴BE//B'D.
又∵B'D⊂平面AB'D，BE⊄平面AB'D，∴BE//平面AB'D，
又∵C'E∩BE=E，C'E、BE⊂平面BEC'，
∴平面BEC'//平面AB'D；
(2)设棱柱ABC-A'B'C'的底面积为S，高为h，则V三棱柱=Sh=30，
V三棱锥A-A'BD=V三棱锥C'-BCE=13×(12S)×h=16Sh=5，
故三棱柱在所作截面与平面AB'D之间部分的体积：
V=V三棱柱ABC-A'B'C'-V三棱锥A-A'B'D-V三棱锥C'-BCE=30-5-5=20.;
【解析】此题主要考查面面平行的判定、线面平行的判定、简单组合体的体积、棱柱的体积，属于中档题．
(1)取线段AC的中点E，连接BE，C'B，C'E，先利用线面平行的判定定理证明C'E//平面AB'D和BE//平面AB'D，再由面面平行的判定定理即可得证平面BEC'//平面AB'D；
(2)由已知三棱柱的体积可求得三棱锥A-A'B'D与三棱锥C'-CBE的体积，作差即可求得棱柱在所作截面与平面AB'D之间部分的体积．
21.【答案】解：(1)∵圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，
∴圆锥的母线长l=R2+h2=22+42=25cm，
∴圆锥侧面积S1=πRl=45π cm2；
(2)设内接圆柱的底面半径为r，由图形特征知，x4=2-r2，∴x=4-2r，
圆柱侧面积S=2πrx=2r(4-2r)π=(-4r2+8r)π=-4(r-1)2π+4π(cm2)，
∴r=1，即x=2时，圆柱的侧面积最大，最大为4π cm2．;
【解析】本题的考点是圆锥，圆柱的侧面积，关键是利用轴截面，求出长度之间的关系式，表示出面积后利用函数的思想求出最值，考查了数形结合思想和函数思想，属于中档题．
(1)由题意，求出圆锥的母线长，即可求圆锥的侧面积；
(2)根据轴截面和比例关系列出方程，求出圆柱的底面半径，表示出圆柱的侧面积，根据二次函数的性质求出侧面面积的最大值．
22.【答案】解：（1）连接BD，因为四边形ABCD 为棱长为2的菱形，∠BAD=60°，
所以△ABD 为等边三角形，又E 为边AD 的中点，所以BE⊥AD，
而AD∥BC，故 BE⊥BC； …2分
因为 CP⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，
所以BE⊥PC，BC∩CP=C，故 BE⊥平面BCP，…4分
又BC⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面BCP．…5分
（2）连接AC，因为CP⊥平面ABCD，所以∠PAC 就是直线AP 与底面ABCD
所成的角，故∠PAC=30°，在 Rt△ACP中，
tan∠PAC=tan30°=CPAC=CP23，可得CP=2，
建立空间直角坐标系C-xyz如图，
此时∠BCy=30°，…6分
可得C（0，0，0），P（0，0，2），B（1，3，0），
A（3，3，0），
CB→=（1，3，0），CP→=（0，0，2），BA→=（2，0，0），
BP→=（-1，-3，2），…8分
，设n→=（x，y，z） 为平面PBC 的一个法向量，
则有n→•CB→=0，n→•CP→=0，
即 x+3y=02z=0，可得n→=（-3，3，0），
同理可得平面PAB的一个法向量m→=（0，23，3），…10分
cos＜m→，n→＞=m→.n→|m→||n→|=3×2312.21=77，
∵二面角A-PB-C是钝二面角，
所以二面角A-PB-C的余弦值为-77．…12分;
【解析】
(1)根据面面垂直的判定定理进行证明即可．
(2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量利用向量法即可求二面角A-PC-B的余弦值．
此题主要考查空间面面垂直的判断以及空间二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决二面角常用的方法．
23.【答案】解：（1）证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，取AC的中点H，连接A1H，HD，A1C．
因为H，D分别为AC，BC的中点，所以HD//AB，所以HD//A1B1，所以平面A1HDB1即为平面A1B1D．
因为∠A1AC=60°，AA1=AC，所以△A1AC为正三角形，即A1H⊥AC．
又平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，A1H⊂平面ACC1A1，
所以A1H⊥平面ABC，所以A1H⊥BC．
在△ABC中，AC=2BC，∠ACB=60°，
由余弦定理可得AB=3BC，所以AC2=AB2+BC2，
即AB⊥BC，因为HD//AB，所以BC⊥HD，
因为A1H∩HD=H，A1H⊂平面A1HDB1，HD⊂平面A1HDB1，所以BC⊥平面A1HDB1，
又BC⊂平面BB1C1C，所以平面A1HDB1⊥平面BB1C1C，
即平面A1B1D⊥平面BB1C1C．
（2）将平面ACC1A1与平面ABC展平，由（1）得展平后∠A1AB=90°．．
所以A1N+BN的最小值为AA12+AB2=4BC2+3BC2=7BC=27，
得BC=2，AA1=4，
因为H，D分别为AC，BC的中点，且HD//A1B1，HD=12A1B1．
所以HDC-A1B1C1是三棱台．
因为△ABC中，AB⊥BC，AB=23，BC=2，
所以S△ABC=12AB⋅BC=12×23×2=23，
所以S△A1B1C1=23，S△HDC=14S△ABC=32．
又A1H⊥平面ABC，且A1H=23，所以
三棱台HDC-A1B1C1是的体积V=13A1H（S△HDC+S_△A1B1C1+S△HDC.S△A1B1C1）= 1 3 × 2 3 × ( 3 2 + 2 3 + 3 2 × 2 3 )=13×23×723=7．
所以剩余几何体的体积V=V三棱柱ABC-A1B1C1-V三棱台HDC-A1B1C1=12×23×2×23-7=5．
所以过A，B1，D三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积分别为5和7．;
【解析】
(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中，取AC的中点H，连接A1H，HD，A1C.只需证明以A1H⊥BC，BC⊥HD，即可证明BC⊥平面A1HDB1，即平面A1B1D⊥平面BB1C1C.
(2)将平面ACC1A1与平面ABC展平，由(1)得展平后∠A1AB=90°.求得BC=2，AA1=4，
易得HDC-A1B1C1是三棱台．三棱台HDC-A1B1C1是的体积V=13A1H(SΔHDC+SΔA1B1C1+SΔHDC.SΔA1B1C1,从而过A，B1，D三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积．
此题主要考查了空间线面、面面位置关系、几何体体积计算，考查了转化思想、运算能力，属于难题．
人教A版（2019）必修第二册《第八章 立体几何初步》单元测试3
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则异面直线A1E与AC所成角的余弦值为( )
A. 24 B. 22 C. 223 D. 33
2.（5分）如图， 直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=BC， 则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为( )
A. -12 B. 12 C. -14 D. 14
3.（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β B. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
C. 若a⊥α，a⊥β，则α//β D. 若m⊂α，m//n，则n//α
4.（5分）如图，四面体A-BCD中，AB=1,AC=CD=DA=2，当BC与面ACD所成角最大值时，四面体A-BCD的体积为( )
A. 12 B. 1 C. 3 D. 33
5.（5分）在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E是AA'的中点，P是三角形BDC'内的动点，EP⊥BC'，则P的轨迹长为( )
A. 22 B. 32 C. 324 D. 64
6.（5分）如图所示，在ΔABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值为( )
A. 13 B. 12 C. 23 D. 1
7.（5分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2AD=4，M为PA的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为( )
A. -55 B. 255 C. 35 D. 45
8.（5分）下图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型．祖暅提出“祖氏原理”，他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于23d3(d为球的直径)，并得到球的体积为V=16πd3，这种算法比其他国家早了一千多年，人们还用过一些类似的公式，根据π=3.1415926…，判断下列公式中最精确的一个是( )
A. d≈3169V B. d≈32V
C. d≈3300157V D. d≈3158V
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）若a，b表示空间中两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的为( )
A. a//α，b//α⇒a//b B. a⊥α，b⊥α⇒a//b
C. a//b，b⊂α⇒a//α D. a⊥α，a//b⇒b⊥α
10.（5分）在空间中，已知a,b是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列选项中正确的是( )
A. 若a//b，且a⊥α，b⊥β，则α//β.
B. 若α⊥β，且a//α，b//β，则a⊥b.
C. 若a与b相交，且a⊥α，b⊥β，则α与β相交．
D. 若a⊥b，且a//α，b//β，则α⊥β.
11.（5分）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为2πR2
B. 圆锥的侧面积为2πR2
C. 圆柱的侧面积与球面面积相等
D. 圆锥的表面积最小
12.（5分）已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是( )
A. 若m⊥α，n⊥α，则m//n B. 若m//α，m //β，则α//β
C. 若α⊥β,m//β，则m⊥α D. 若α//β,m⊥α，则m⊥β
13.（5分）以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，其中错误的是( )
A. 若a//b，b⊂α，则a//α
B. 若a//α，b//α，则a//b
C. 若a//b，b//α，则a//α
D. 若a//α，a⊂β，α∩β=b，则a//b
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）正ΔABC的三个顶点都在球O的球面上，AB=AC=2，若三棱锥O-ABC的体积为2，则该球的表面积为______.
15.（5分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D-ABC1的体积为______ .
16.（5分）如图，ABCD是棱长为6的正四面体，E，F为线段AB的三等分点，G，H为线段CD的三等分点，过点E，F，G，H分别作平行于平面BCD，平面ACD，平面ABD，平面ABC的截面，则正四面体ABCD被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为 ______.
17.（5分）如图所示，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD // BC，BC=2CD=2AD=2，若将该直角梯形绕AD边旋转一周，则所得的几何体的体积为________.
18.（5分）已知圆锥的表面积是3m2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积是______平方米．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135∘，侧面PAB⊥底面ABCD，PA⊥AB，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，过EF的平面与面PCD交于M，N两点．
(1)求证：EF //MN；
(2)求证：平面EFMN⊥平面PAC；
(3)设DMDP=λ，当λ为何值时四棱锥M-EFDC的体积等于1，求λ的值．
20.（12分）如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，点D是A'C'的中点，欲过点B作一截面与平面AB'D平行．
(1)问应当怎样画线，并说明理由；
(2)若三棱柱ABC-A'B'C'的体积为30，求该棱柱在所作截面与平面AB'D之间部分的体积．
21.（12分）一个圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱．
(1)求圆锥的侧面积；
(2)当x为何值时，圆柱侧面积最大？并求出最大值．
22.（12分）如图，菱形ABCD的棱长为2，∠BAD=60°，CP⊥底面ABCD，E为边AD的中点．
(1)求证：平面PBE⊥平面BCP；
(2)当直线AP与底面ABCD所成的角为30°时，求二面角A-PB-C的余弦值．
23.（12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，∠A1AC=∠ACB=60°，AA1=AC=2BC，D是BC的中点，N为线段AC上的动点．
(1)证明：平面A1B1D⊥平面BB1C1C；
(2)若A1N+BN的最小值为27，求过A1，B1，D三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：连接A1C1，D1E，C1E，
设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，E为棱CD的中点，
由D1E=C1E=12+22=5，A1C1//AC，A1C1=22+22=22，
A1E=A1D12+D1E2=4+5=3，
∴∠EA1C1是异面直线A1E与AC所成角(或所成角的补角)，
则异面直线A1E与AC所成角的余弦值为：
cos∠EA1C1=A1C12+A1E2-C1E22×A1C1×A1E=8+9-52×22×3=22.
故选：B.
连接A1C1，D1E，C1E，由A1C1//AC，得到∠EA1C1是异面直线A1E与AC所成角(或所成角的补角)，利用余弦定理能求出异面直线A1E与AC所成角的余弦值．
此题主要考查异面直线所成角的求法，考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
2.【答案】D;
【解析】解：如图所示建立空间直角坐标系，
不妨设AA1=AB=AC=BC=2.
则A(0,-1,2)，B1(3,0,0)，B(3,0,2)，C1(0,1,0)，
∴A→B1=(3,1,-2)，B→C1=(-3,1,-2)，
∴cos
=-3+1+48.8=14.
故选：D.
如图所示建立空间直角坐标系，不妨设AA1=AB=AC=BC=2.利用cos
此题主要考查了异面直线的夹角、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】C;
【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
在A中，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α与β平行或相交，故A错误；
在B中，若α//β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故B错误；
在C中，若a⊥α，a⊥β，则由面面平行的判定定理得α//β，故C正确；
在D中，若m⊂α，m//n，则n//α或n⊂α，故D错误．
故选：C．
在A中，α与β平行或相交；在B中，m与n平行或异面；在C中，由面面平行的判定定理得α//β；在D中，n//α或n⊂α．
该题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
4.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了直线与平面所成的角，以及三棱锥的体积的求法.
根据三棱锥的性质确定当BC与面ACD所成角最大时点B的位置是解答该题的关键.
解：以点A为球心，AB长为半径作球，则由图易得当直线BC与平面ACD所成角最大时，直线BC与球O相
切，且平面ABC与平面ACD垂直，过点B作AC的垂线，设垂足为点E，则在RtΔABC中，由AC=2，AB=1，易得BE=32
VA-BCD=VB-ACD=13SΔ.BE=13×34×22×32=12.
故选A.
5.【答案】D;
【解析】
此题主要考查空间直线与平面的位置关系，直线与平面垂直的判断，考查空间想象能力以及计算能力．
先找到一个平面总是保持与BC'垂直，取棱BB'、BC、AD的中点F、H、G，连接EF，FH，EG，GH，判断P的位置，然后求解即可．
解：先找到一个平面总是保持与BC'垂直，
取棱BB'、BC、AD的中点F、H、G，连接EF，FH，EG，GH，如图，
易知在正方体ABCD-A'B'C'D'中，有BC'⊥平面EFHG，
又P是ΔBDC'内的动点，
根据平面的基本性质，
得点P的轨迹为平面EFHG与平面BDC'的交线段MN，
在RtΔMNH中，NH=12，MH=24，
∴MN=14=64.
故选D.
6.【答案】B;
【解析】解：由题意可知，ΔABD≌ΔPBD，∴ΔPBD可以看成是ΔABD绕BD轴旋转形成的．
点D在边AC上每选定一个位置，则底面BCD的面积就为定值，
此时，当平面PBD垂直于底面BCD时，四面体P-BCD的体积就取得最大值．
此时过点P作BD的垂线，则该垂线即为三棱锥P-BCD的高，且高等于ΔABD中BD边上的高线AE，
如图所示．在ΔABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，则AC=23．
设AD=x(0
在ΔABD中，由余弦定理，可得BD=22+x2-2×2xcos30°=(x-3)2+1．
∵SΔABD=12×2xsin30°=12BD.AE，∴AE=x(x-3)2+1，
所以四面体PBCD的体积V=13SΔBCD.AE=13(3-x2).x(x-3)2+1=x(23-x)6(x-3)2+1
=-(x-3)2-36(x-3)2+1，
设m=(x-3)2+1(1⩽m<2)，
则V=-m2-46m=-m6+23m(1⩽m<2)，因为函数V=-m6+23m在[1,2)上单调递减，
所以当m=1，即x=3，即点D为边AC的中点时，V=-m6+23m取得最大值，
最大值为Vmax=-16+23=12．
故选：B．
说明当平面PBD垂直于底面BCD时，四面体P-BCD的体积就取得最大值．过点P作BD的垂线，则该垂线即为三棱锥P-BCD的高，且高等于ΔABD中BD边上的高线AE，设AD=x(0
7.【答案】D;
【解析】解：以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
∵PA=AB=2AD=4，M为PA的中点，
∴A(0,0,0)，C(-2,4,0)，B(0,4,0)，M(0,0,2)，
∴AC→=(-2,4,0)，BM→=(0,-4,2)，
∴cos
∴异面直线BM与AC所成角的余弦值为45．
故选：D．
以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得AC→与BM→的坐标，再由数量积求夹角公式求解．
此题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
8.【答案】C;
【解析】
本题主要涉及到数学史与立体几何，属于中档题.
分别求出π，然后比较即可.解：由V=16πd3得π=6Vd3.
A中，化简得Vd3≈916,∴π≈6×916=3.375；
B中，化简得Vd3≈12,∴π≈62=3；
C中，化简得Vd3≈157300,∴π≈6×157300=3.14；
D中，化简得Vd3≈815,∴π≈6×815=3.2.
所以C中公式最精确.
故选C.
9.【答案】BD;
【解析】解：对于A，若a//α，b//α，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故A错误；
对于B，若a⊥α，b⊥α，则a//b，故B正确；
对于C，若a//b，b⊂α，则a//α或a⊂α，故错误；
对于D，若a⊥α，a//b，则b⊥α，故D正确．
故选：BD．
根据空间线面位置关系的定义、性质判断各选项即可．
该题考查空间线面位置关系的判断，属于基础题．
10.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查空间中线线、线面、面面之间的位置关系，属于基础题.
利用空间中线线、线面、面面之间的位置关系的判定方法进行判断即可.
解：若a//b，且a⊥α,b⊥β，即两平面的法向量平行，则α//β成立，故A正确；
若α⊥β，且a//α,b//β，则a与b互相平行或相交或异面，故B错误；
若a,b相交，且a⊥α,b⊥β，即两平面的法向量相交，则α,β相交成立，故C正确；
若a⊥b，且a//α,b//β，则α与β平行或相交，故D错误；
故选AC.
11.【答案】CD;
【解析】
此题主要考查圆柱、圆锥的侧面积和表面积，球的表面积的计算公式，属于简单题.
根据圆柱、圆锥的侧面积计算公式，球的表面积计算公式，对选项逐一判断，即得答案.
解：由题意可得，圆柱、圆锥的底面半径均为R，高均为2R，球的半径为R.
则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2，故A错误.
由勾股定理得圆锥的母线长为5R，
圆锥的侧面积为12×2πR×5R=5πR2，故B错误.
球的表面积为4πR2,∴圆柱的侧面积与球面面积相等，故C正确.
圆锥的表面积为S侧+S底=5πR2+πR2=5+1πR2，
圆柱的表面积为S侧+2S底=4πR2+2πR2=6πR2，
球的表面积为4πR2,∴圆锥的表面积最小，故D正确.
故选：CD.
12.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及相关的判定，属于中档题.
逐个分析判断解题.
解：由线面垂直的性质知，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，A正确；
一条直线平行于两个平面的交线满足条件，但结论不成立，B错误；
缺少条件m⊥n，α∩β=n，不能由面面垂直得到线面垂直，或者说m可能在平面α内，C错误；
因为一条直线垂直于两个平行平面中的一个也一定垂直于另一个，D正确.
故选AD.
13.【答案】ABC;
【解析】解：由a，b表示直线，α表示平面，知：
对于A，若a//b，b⊂α，则a//α或a⊂α，故A错误；
对于B，若a//α，b//α，则a与b相交、平行或异面，故B错误；
对于C，若a//b，b//α，则a//α或a⊂α，故C错误；
对于D，若a//α，a⊂β，α∩β=b，则由线面平行的性质得a//b，故D正确．
故选：ABC.
对于A，a//α或a⊂α；对于B，a与b相交、平行或异面；对于C，a//α或a⊂α；对于D，由线面平行的性质得a//b.
此题主要考查命题真假的判断，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14.【答案】160π3;
【解析】
此题主要考查了球的表面积求法问题，也考查了空间想象能力，是中档题．
根据题意求出正ΔABC的面积以及点O到底面的距离，再求出球的半径，即可求出球的表面积．
解：正ΔABC的三个顶点都在以O为球心的球面上，
且AB=AC=BC=2，
取BC中点D，连接AD，OD，
过O作OE⊥平面ABC，则OE∩AD=E，如图所示：
∴AD=22-12=3，AE=23AD=233，
SΔABC=12BC⋅AD=12×2×3=3，
∵三棱锥O-ABC的体积为2，
∴13×3×OE=2，解得OE=23，
∴球的半径为OA=OE2+AE2
=(23)2+(233)2=403，
∴球的表面积为S=4π×OA2=160π3.
故答案为：160π3.
15.【答案】13;
【解析】
此题主要考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，是中档题．
将直三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开成矩形ACC1A1，可以确定D点位置，然后利用体积公式求解即可.
解：将直三棱柱ABC-A1B1C1侧面展开成矩形ACC1A1，如图，
连结AC1，交BB1于D，此时AD+DC1最小，
∵AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，
∴当AD+DC1最小时，BD=1，
此时三棱锥D-ABC1的体积：
VD-ABC1=VC1-ABD=13×SΔABD×B1C1
=13×12×AB×BD×B1C1=13.
故答案为13.
16.【答案】4623;
【解析】解：如图，取△BCD中心O，连接OA，
因为ABCD是棱长为6的正四面体，所以OA⊥平面BCD，
根据几何关系：BO=23,AB=6,AO=26，
所以正四面体ABCD的体积为：VA-BCD=13S△BCD⋅OA=13×12×6×6×32×26=182，
因为平面EMN//平面BCD，E为线段AB的三等分点，
所以S△EMN=19S△BCD，三棱锥A-EMN的高h=13OA，
所以VA-EMN=13S△EMN⋅h=127VA-BCD=18227=223，
所以正四面体ABCD被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为VA-BCD-4VA-EMN=182-823=4623.
故答案为：4623.
根据题意，取△BCD中心O，连接OA，进而得OA⊥平面BCD，再根据几何体关系计算得VA-BCD=182,VA-EMN=223，进而得正四面体ABCD被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为VA=VABCD-4VA-EMN=4623.
此题主要考查了几何体的体积计算，属于中档题．
17.【答案】5π3;
【解析】
此题主要考查旋转体的体积的求法，考查运算求解能力，是中档题．
将该直角梯形绕AD边旋转一周，所得的几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱去掉一个底面半径为1高为1的圆锥，由此能求出所得的几何体的体积．
解：∵在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD//BC，BC=2CD=2AD=2，
∴将该直角梯形绕AD边旋转一周，所得的几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱去掉一个底面半径为1高为1的圆锥，
则所得的几何体的体积为：
V=V圆柱-V圆锥=π×12×2-13×π×12=5π3.
故答案为：5π3.
18.【答案】2;
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线为l，
则由 πl=2πr，得l=2r，
∵圆锥的表面积是3m2，
∴S表=πr2+πr⋅2r=3，
∴3πr2=3，解得r=1π，
∴这个圆锥的侧面积S侧=πr×2r=2πr2=2π×1π=2(m2).
故答案为：2．
设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线为l，则由πl=2πr，得l=2r，由圆锥的表面积是3m2，求出r=1π，由此能求出这个圆锥的侧面积．
该题考查圆锥的侧面积的求法，考查圆锥及侧面展开图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】证明：(1)在平行四边形ABCD中，
∵E，F分别为BC，AD的中点，∴EF//CD，
又∵EF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴EF//平面PCD，
∵过EF的平面与面PCD交于M，N两点，
∴EF⊂平面EFMN，
又∵平面EFMN∩平面PCD=MN，
∴EF//MN;
(2)∵在平行四边形ABCD中，∠BCD=135°，
∴∠ABC=45°，
又∵AB=AC，∴AB⊥AC.
由E，F分别为BC，AD的中点，∴EF//AB，
∴EF⊥AC.
∵侧面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊂平面PAB，PA⊥AB，
∴PA⊥底面ABCD，
又∵EF⊂底面ABCD，
所以PA⊥EF.
又因为PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
所以EF⊥平面PAC，
又∵EF⊂平面EFMN，
∴平面EFMN⊥平面PAC；
(3)在三角形PAD中，过M做AD的垂线，垂足为G，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，∴MG//PA，
∴MGPA=DMDP，
又∵DMDP=λ，且PA=2，∴MG=2λ，
∵PA⊥平面ABCD，∴MG⊥平面ABCD，即MG⊥平面ECDF，
∴四棱锥M-EFDC的高为MG=2λ，
S四边形EFMN=12S四边形ABCD=SΔABC=12AB.AC=2，
四棱锥M-EFDC的体积：VM-ECDF=13×2×2λ=43λ=1，
∴λ=34.
;
【解析】此题主要考查线面、面面平行、垂直的判定定理和性质定理，考查棱锥的体积计算，属中档题，
(1)利用线面平行的判定定理证得EF//平面PCD，进而利用线面平行的性质定理证得EF//平面MN;
(2)在平行四边形ABCD中根据已知条件分析可得AB⊥AC.进而EF//AB，得到EF⊥AC.根据面面垂直的性质定理得到PA⊥底面ABCD，从而PA⊥EF.进一步利用线面垂直判定定理得到EF⊥平面PAC，再利用面面垂直的判定定理得到平面EFMN⊥平面PAC.
(3)在三角形PAD中，过M做AD的垂线，垂足为G，根据DMDP=λ，可得四棱锥M-EFDC的高为MG=2λ，S四边形EFMN=12S四边形ABCD=SΔABC=12AB.AC=2，代入四棱锥的体积公式，根据体积等于1求得λ.
20.【答案】解：(1)取线段AC的中点E，连接BE，C'B，C'E，
则平面BEC'//平面AB'D(BE,C'B,C'E即为应画的线)，如图所示．
∵点D为A'C'的中点，点E为AC的中点，
∴AE=DC'，且AE//DC'，
∴四边形AEC'D为平行四边形，∴DA//C'E，
又∵DA⊂平面AB'D，C'E⊄平面AB'D，∴C'E//平面AB'D，
连接DE，则DE//AA'，DE=AA'，
又∴BB'//AA'，BB'=AA'，∴DE//BB'，DE=BB'，
∴四边形DEBB'是平行四边形，∴BE//B'D.
又∵B'D⊂平面AB'D，BE⊄平面AB'D，∴BE//平面AB'D，
又∵C'E∩BE=E，C'E、BE⊂平面BEC'，
∴平面BEC'//平面AB'D；
(2)设棱柱ABC-A'B'C'的底面积为S，高为h，则V三棱柱=Sh=30，
V三棱锥A-A'BD=V三棱锥C'-BCE=13×(12S)×h=16Sh=5，
故三棱柱在所作截面与平面AB'D之间部分的体积：
V=V三棱柱ABC-A'B'C'-V三棱锥A-A'B'D-V三棱锥C'-BCE=30-5-5=20.;
【解析】此题主要考查面面平行的判定、线面平行的判定、简单组合体的体积、棱柱的体积，属于中档题．
(1)取线段AC的中点E，连接BE，C'B，C'E，先利用线面平行的判定定理证明C'E//平面AB'D和BE//平面AB'D，再由面面平行的判定定理即可得证平面BEC'//平面AB'D；
(2)由已知三棱柱的体积可求得三棱锥A-A'B'D与三棱锥C'-CBE的体积，作差即可求得棱柱在所作截面与平面AB'D之间部分的体积．
21.【答案】解：(1)∵圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，
∴圆锥的母线长l=R2+h2=22+42=25cm，
∴圆锥侧面积S1=πRl=45π cm2；
(2)设内接圆柱的底面半径为r，由图形特征知，x4=2-r2，∴x=4-2r，
圆柱侧面积S=2πrx=2r(4-2r)π=(-4r2+8r)π=-4(r-1)2π+4π(cm2)，
∴r=1，即x=2时，圆柱的侧面积最大，最大为4π cm2．;
【解析】本题的考点是圆锥，圆柱的侧面积，关键是利用轴截面，求出长度之间的关系式，表示出面积后利用函数的思想求出最值，考查了数形结合思想和函数思想，属于中档题．
(1)由题意，求出圆锥的母线长，即可求圆锥的侧面积；
(2)根据轴截面和比例关系列出方程，求出圆柱的底面半径，表示出圆柱的侧面积，根据二次函数的性质求出侧面面积的最大值．
22.【答案】解：（1）连接BD，因为四边形ABCD 为棱长为2的菱形，∠BAD=60°，
所以△ABD 为等边三角形，又E 为边AD 的中点，所以BE⊥AD，
而AD∥BC，故 BE⊥BC； …2分
因为 CP⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，
所以BE⊥PC，BC∩CP=C，故 BE⊥平面BCP，…4分
又BC⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面BCP．…5分
（2）连接AC，因为CP⊥平面ABCD，所以∠PAC 就是直线AP 与底面ABCD
所成的角，故∠PAC=30°，在 Rt△ACP中，
tan∠PAC=tan30°=CPAC=CP23，可得CP=2，
建立空间直角坐标系C-xyz如图，
此时∠BCy=30°，…6分
可得C（0，0，0），P（0，0，2），B（1，3，0），
A（3，3，0），
CB→=（1，3，0），CP→=（0，0，2），BA→=（2，0，0），
BP→=（-1，-3，2），…8分
，设n→=（x，y，z） 为平面PBC 的一个法向量，
则有n→•CB→=0，n→•CP→=0，
即 x+3y=02z=0，可得n→=（-3，3，0），
同理可得平面PAB的一个法向量m→=（0，23，3），…10分
cos＜m→，n→＞=m→.n→|m→||n→|=3×2312.21=77，
∵二面角A-PB-C是钝二面角，
所以二面角A-PB-C的余弦值为-77．…12分;
【解析】
(1)根据面面垂直的判定定理进行证明即可．
(2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量利用向量法即可求二面角A-PC-B的余弦值．
此题主要考查空间面面垂直的判断以及空间二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决二面角常用的方法．
23.【答案】解：（1）证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，取AC的中点H，连接A1H，HD，A1C．
因为H，D分别为AC，BC的中点，所以HD//AB，所以HD//A1B1，所以平面A1HDB1即为平面A1B1D．
因为∠A1AC=60°，AA1=AC，所以△A1AC为正三角形，即A1H⊥AC．
又平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，A1H⊂平面ACC1A1，
所以A1H⊥平面ABC，所以A1H⊥BC．
在△ABC中，AC=2BC，∠ACB=60°，
由余弦定理可得AB=3BC，所以AC2=AB2+BC2，
即AB⊥BC，因为HD//AB，所以BC⊥HD，
因为A1H∩HD=H，A1H⊂平面A1HDB1，HD⊂平面A1HDB1，所以BC⊥平面A1HDB1，
又BC⊂平面BB1C1C，所以平面A1HDB1⊥平面BB1C1C，
即平面A1B1D⊥平面BB1C1C．
（2）将平面ACC1A1与平面ABC展平，由（1）得展平后∠A1AB=90°．．
所以A1N+BN的最小值为AA12+AB2=4BC2+3BC2=7BC=27，
得BC=2，AA1=4，
因为H，D分别为AC，BC的中点，且HD//A1B1，HD=12A1B1．
所以HDC-A1B1C1是三棱台．
因为△ABC中，AB⊥BC，AB=23，BC=2，
所以S△ABC=12AB⋅BC=12×23×2=23，
所以S△A1B1C1=23，S△HDC=14S△ABC=32．
又A1H⊥平面ABC，且A1H=23，所以
三棱台HDC-A1B1C1是的体积V=13A1H（S△HDC+S_△A1B1C1+S△HDC.S△A1B1C1）= 1 3 × 2 3 × ( 3 2 + 2 3 + 3 2 × 2 3 )=13×23×723=7．
所以剩余几何体的体积V=V三棱柱ABC-A1B1C1-V三棱台HDC-A1B1C1=12×23×2×23-7=5．
所以过A，B1，D三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积分别为5和7．;
【解析】
(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中，取AC的中点H，连接A1H，HD，A1C.只需证明以A1H⊥BC，BC⊥HD，即可证明BC⊥平面A1HDB1，即平面A1B1D⊥平面BB1C1C.
(2)将平面ACC1A1与平面ABC展平，由(1)得展平后∠A1AB=90°.求得BC=2，AA1=4，
易得HDC-A1B1C1是三棱台．三棱台HDC-A1B1C1是的体积V=13A1H(SΔHDC+SΔA1B1C1+SΔHDC.SΔA1B1C1,从而过A，B1，D三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积．
此题主要考查了空间线面、面面位置关系、几何体体积计算，考查了转化思想、运算能力，属于难题．
相关资料
更多
