【单元测试】高中数学人教A版(2019)必修第二册--《第六章 平面向量及应用》单元测试1（含解析）

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人教A版（2019）必修第二册《第六章 平面向量及应用》单元测试

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）(理) 已知向量a→=(2cosϕ,2sinϕ)，ϕ∈(π2,π)，向量b→=(0,-1)，则向量a→与b→的夹角为(    )
A. ϕ B. π2+φ C. φ-π2 D. 3π2-φ
2.（5分）在ΔABC中，点D为边AB上一点，若BC⊥CD，AC=32，AD=3，sin∠ABC=33，则ΔABC的面积是( )
A. 922 B. 1522 C. 62 D. 122
3.（5分）ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=6，c=2，∠A的平分线AD交BC于点D，且AD=3.设P为ΔABC内一点，且PA→.PB→=0，∠APC=150°，则tan∠PAB=
A. 39 B. 36 C. 239 D. 233
4.（5分）在ΔABC中，c=3，B=45°，C=60°，则b=( )

A. 22 B. 32 C. 322 D. 2
5.（5分）△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，满足2ccosB+bcosA=acos(A+C)，c=2，a=4，D为边AC上一点满足CD→=2DA→，则|BD→|=()
A. 433 B. 169 C. 43 D. 23
6.（5分）已知向量a→=(k,2k-1)，b→=(1,3)，若a→//b→，则a→.b→=(    )
A. 15 B. 65 C. -10 D. -6
7.（5分）在ΔABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若b=3，B=60°，若ΔABC仅有一个解，则a的取值范围是(    )
A. (0,3]∪{ 2} B. (0,32)
C. (0,32]∪{ 2} D. { 2}
8.（5分）已知向量a→=(1,2)，b→=(-1,m)，若a→⊥b→，则m的值为( )
A. -2 B. 2 C. 12 D. -12
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）若a→，b→，c→是任意的非零向量，则下列叙述正确的是()
A. 若a→=b→，则|a→|=|b→|
B. 若a→⋅c→=b→⋅c→，则a→=b→
C. 若a→//b→，b→//c→，则a→//c→
D. 若|a→+b→|=|a→-b→|，则a→⊥b→
10.（5分）已知A(2,4)，B(4,1)，C(9,5)，D(7,8)，如下四个结论正确的是( )
 

A. AB→⊥AC→   
B. 四边形ABCD为平行四边形    
C. AC→与BD→夹角的余弦值为729145   
D. |AB→+AC→|=85
11.（5分）在ΔABC中，角A，B，C所对边长为a，b，c，A=π3，角A的平分线AD交BC于D，且AD=2，则下列说法正确的是( )
A. 若c=2，则BD=6-2 B. 若c=2，则ΔABC的外接圆半径是2
C. 3bc=b+c D. bc⩾163
12.（5分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π3，b+c=10，a=210，则三角形的面积不可能是( )
A. 53 B. 63 C. 143 D. 163
13.（5分）已知数列{an}，a1=1，a2=5，在平面四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，且AE→=2EC→，当n⩾2时，恒有BD→=(an-2an-1)BA→+(an+1-3an)BC→，则()
A. 数列{an}为等差数列 B. BE→=13BA→+23BC→
C. 数列{an}为等比数列 D. an+1-an=4n
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知在ΔABC和点M满足 MA→+MB→+MC→=0→，若存在实数m使得AB→+AC→=mAM→成立，则m=______．
15.（5分）在锐角ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b=2，B=π3且c⋅sinA=3a⋅cosC，则ΔABC的面积为 ______ ．
16.（5分）已知向量a→，b→满足|a→|=1，|b→|=2，且|2a→+b→|=10，则a→⋅b→=________.
17.（5分）△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是△ABC所在平面内的动点，满足OP→=OB→+λ(BC→|BC→|+BA→|BA→|)(λ>0).射线BP与边AC交于点D.若B=π3，BD=2，则△ABC面积的最小值为 ______.
18.（5分）在四边形，ABCD中，若AB→=DC→，且|AB→+AD→|=|AB→-AD→|，则四边形ABCD的形状是 ______ .
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设3sin Bsin C+3sin Csin B=3sin2Asin Bsin C+42.
(1)求tanA的值；
(2)若2sin B=3sin C，且SΔABC=22，求a的值．
20.（12分）在①3c2=16S+3(b2-a2)；②5bcosC+4c=5a，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 
在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设ΔABC的面积为S，已知______． 
(1)求tanB的值； 
(2)若S=42，a=10，求b的值．
21.（12分）在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=1，面积S=a28sinA.再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长． 
(1)B=π6；  
(2)B=C．
22.（12分）已知|a→|=4，|b→|=3，(2a→-3b→)⋅(2a→+b→)=61.求： 
(1)a→与b→的夹角 
(2)|a→+b→|.
23.（12分）已知ΔABC中，tanB=2tanA，tanC=3tanA，且A为锐角． 
(1)求cosA的值； 
(2)若SΔABC=30，求BC的值．

答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：∵a→=(2cosϕ,2sinϕ)，b→=(0,-1)  
∴|a→|=2，|b→|=1，a→⋅b→=-2sinϕ  
设向量a→与b→的夹角为θ  
则cosθ=a→.b→|a→|.|b→|=-sinϕ  
又∵0°⩽θ⩽180°，ϕ∈(π2,π)  
θ=3π2-φ  
故选D． 
由向量a→=(2cosϕ,2sinϕ)，b→=(0,-1)，根据向量模与数量积运算公式，我们易计算出|a→|，|b→|，a→⋅b→，代入cosθ=a→.b→|a→|.|b→|我们易求出向量a→与b→的夹角．  
该题考查的知识点是平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，其中利用cosθ=a→.b→|a→|.|b→|计算两个向量的夹角是解答本题的关键，属中档题．

2.【答案】C;
【解析】 
此题主要考查的是解三角形的应用和余弦定理，属于中等题. 
先根据余弦定理求出CD的长，即可得BD，BC的长，后求ΔABC的面积即可. 
 
解：∵BC⊥CD， 
∴∠BCD=π2，则cos∠ADC=cos(∠CBA+π2)=-sin∠CBA=-33. 
在ΔACD中，AC=32，AD=3， 
由余弦定理得(32)2=3+CD2-23×CD×(-33)， 
解得CD=3. 
在RtΔBCD中，CD=3，sin∠ABC=33， 
则BD=33，BC=32. 
故SΔABC=12AB.BC.sin∠ABC=12×43×32×33=62. 
故选C.

3.【答案】B;
【解析】 
此题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于较难题. 
利用角平分线性质以及余弦定理，得出BC的值，从而得出ΔABC为等腰三角形，设∠PAB=α，在ΔPAC运用正弦定理建立关于α的三角函数方程即可求解. 
 
解：由题意，根据角平分线的性质，得ACAB=CDBD=3，设BD=x，则CD=3x， 
由cos∠ADB=-cos∠ADC，得x2+3-223x=-3x2+3-623.3x，解得x=6-22， 
所以BC=BD+CD=2，则AB=BC，所以ΔABC为等腰三角形， 
在ΔABC中，由余弦定理得cos∠ABC=2+2-62×2×2=-12， 
所以∠ABC=120°，所以∠BAC=∠ACB=30°， 
设∠PAB=α，因为PA→⋅PB→=0，所以∠APB=90°，得PA=2cosα， 
因为∠PAB+∠PAC=∠PAC+∠PCA=30°，所以∠PCA=∠PAB=α， 
在ΔPAC中，由正弦定理得6sin150°=2cosαsinα，化简得tanα=36，即tan∠PAB=36. 
故选B. 


4.【答案】D;
【解析】 
此题主要考查正弦定理的应用，属于基础题，直接利用正弦定理化简求解即可. 
 
解：在ΔABC中，c=，B=45°，C=60°， 
则b===. 
故选D.

5.【答案】C;
【解析】解：∵由2ccosB+bcosA=acos(A+C)， 
可得：2sinCcosB+sinBcosA=-sinAcosB，即2sinCcosB=-sin(A+B)=-sinC， 
∵sinC≠0， 
∴cosB=-12. 
又∵CD→=2DA→， 
∴BD→-BC→=2(BA→-BD→)，即BD→=23BA→+13BC→， 
两边平方可得：BD→2=(23BA→+13BC→)2=49BA→2+19BC→2+49BA→⋅BC→=169+169-169=169， 
解得|BD→|=43. 
故选：C. 
利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosB=-12，由已知可得BD→=23BA→+13BC→，两边平方，利用平面向量数量积的运算即可求解． 
本题主要考查了三角函数恒等变换以及平面向量数量积的运算，考查了转化思想，属于基础题．

6.【答案】C;
【解析】 
这道题主要考查了向量平行及垂直的坐标表示，属于基础试题． 
由a→//b→，结合向量平行的坐标表示可求k，然后结合向量垂直的坐标表示可求． 
 
解：∵a→=(k,2k-1)，b→=(1,3)，且a→//b→， 
∴3k-(2k-1)=0， 
∴k=-1， 
则a→.b→=k+3(2k-1)=-10 
故选C． 
 
 


7.【答案】A;
【解析】 
由题意可知，有两种情形满足题意①b=asinB；②b⩾a，代入数据解之即可． 
该题考查正弦定理的应用，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于中档题． 
 
解：因为B为锐角，所以ΔABC仅有一个解，有两种情形： 
①b=asinB，即3=a×32，所以a=2； 
②b⩾a，即00).∴BP→=λ(AB→|AB→|+AC→|AC→|)(λ>0)， 
∴点P在∠ABC的平分线上，即BD为∠ABC的平分线， 
在△ABD中，∠ABD=π6，BD=2，利用正弦定理得ADsinπ6=BDsinA，∴AD=1sinA， 
在△ACD中，∠DBC=π6，BD=2，利用正弦定理得CD=1sinC， 
设∠ADB=θ，则θ=5π6-A， 
S△ABC=S△ABD+S△CBD=12AD⋅BDsinθ+12CD⋅BDsin(π-θ) 
=12×2sinθ(1sinA+1sinC)=sin(5π6-A)[1sinA+1sin(2π3-A)]=sin(5π6-A)⋅sinA+sin(2π3-A)sinA·sin(2π3-A) 
=sin(π6+A)(32sinA+32cosA)sinAsin(A+π3)=3sin2(A+π6)sinAsin(A+π3)， 
设A+π6=α，则π6