湘教版1.2 二次函数的图像与性质第2课时教案

第2课时 二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质

【知识与技能】

1.会用描点法画函数y=ax2(a＜0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.

2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＜0)的图象与性质解决简单的实际问题.

【过程与方法】

经历探索二次函数y=ax2(a＜0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.

【情感态度】

通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2(a≠0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性.

【教学重点】

①会画y=ax2(a<0)的图象；②理解、掌握图象的性质.

【教学难点】

二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.

一、情境导入，初步认识

1.在坐标系中画出y= x2的图象，结合y= x2的图象，谈谈二次函数y=ax2(a＞0)的图象具有哪些性质？

2.你能画出y=- x2的图象吗？

二、思考探究，获取新知

探究1 画y=ax2(a＜0)的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出y=- x2的图象.

【教学说明】教师要求学生独立完成，强调画图过程中应注意的问题，同学们完成后相互交流，表扬图象画得“美观”的同学.

问:从所画出的图象进行观察,y= x2与y=- x2有何关系？

归纳：y= x2与y=- x2二者图象形状完全相同，只是开口方向不同，两图象关于y轴对称.(教师引导学生从理论上进行证明这一结论)

探究2  二次函数y=ax2(a＜0)性质问：你能结合y=- x2的图象，归纳出y=ax2(a＜0)图象的性质吗？

【教学说明】教师提示应从开口方向，对称轴，顶点坐标，y随x增大时的变化情况几个方面归纳，教师整理，强调y=ax2(a<0)图象的性质.

1.开口向下.

2.对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最高点.

3.当x＞0时，y随x的增大而减小，简称右降，当x＜0时，y随x的增大而增大，简称左升.

探究3 二次函数y=ax2(a≠0)的图象及性质

学生回答：

【教学点评】一般地，抛物线y=ax2的对称轴是         ，顶点是         ，当a＞0时抛物线的开口向           ，顶点是抛物线的最           点，a越大，抛物线开口越           ；当a＜0时，抛物线的开口向           ，顶点是抛物线的最           点，a越大，抛物线开口越           ，总之，|a|越大，抛物线开口越           .

答案:y轴，（0，0），上，低，小；下，高，大，小

三、典例精析，掌握新知

例1 填空：①函数y=(-x)2的图象是          ，顶点坐标是         ，对称轴是           ，开口方向是           .

②函数y=x2,y=x2和y=-2x2的图象如图所示，

请指出三条抛物线的解析式.

解:①抛物线，（0，0），y轴，向上；

②根据抛物线y=ax2中,a的值来判断，上面最外面的抛物线为y=x2,中间为y=x2,在x轴下方的为y=-2x2.

【教学说明】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.抛物线y=ax2中，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下，|a|越大，开口越小.

例2  已知抛物线y=ax2经过点（1，-1），求y=-4时x的值.

【分析】把点(1,-1)的坐标代入y=ax2,求得a的值，得到二次函数的表达式，再把y=-4代入已求得的表达式中，即可求得x的值.

解:∵点（1，-1）在抛物线y=ax2上，-1=a·12，∴a=-1,∴抛物线为y=-x2.当y=-4时，有-4=-x2，∴x=±2.

【教学说明】在求y=ax2的解析式时，往往只须一个条件代入即可求出a值.

四、运用新知，深化理解

1.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的说法，错误的是（      ）

A.抛物线y=x2和y=-x2有共同的顶点和对称轴

B.抛物线y=x2和y=-x2关于x轴对称

C.抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反

D.点（-2，4）在抛物线y=x2上，也在抛物线y=-x2上

2.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是（     ）

3.二次函数,当x＜0时，y随x的增大而减小，则m=      .

4.已知点A（-1，y1),B(1,y2),C(a,y3)都在函数y=x2的图象上，且a＞1,则y1,y2,y3中最大的是      .

5.已知函数y=ax2经过点(1,2).①求a的值；②当x＜0时，y的值随x值的增大而变化的情况.

【教学说明】学生自主完成,加深对新知的理解和掌握,当学生疑惑时，教师及时指导.

【答案】1.D  2.B  3.2  4.y3 

5.①a=2  ②当x＜0时，y随x的增大而减小

五、师生互动，课堂小结

这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？在学生回答的基础上，教师点评：（1）y=ax2(a<0)图象的性质；（2）y=ax2(a≠0)关系式的确定方法.

1.教材P10第1~2题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课仍然是从学生画图象,结合上节课y=ax2(a＞0)的图象和性质，从而得出y=ax2(a＜0)的图象和性质，进而得出y=ax2（a≠0)的图象和性质，培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯.