江西省九江市九江实验学校2022-2023学年高二下学期5月学业水平测验数学试题（解析版）

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九江实验中学2022－2023（下）5月考
高二数学 试卷
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2.请将答案正确填写在答题卡上.
卷I（选择题）
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由，得：，，所以，故选D.
2. 设全集，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合中的不等式的解集，确定出集合，利用对数函数的图像与性质及对数的运算性质，求出集合中不等式的解集，确定出集合，找出两集合的公共部分，即可得到两集合的交集.
【详解】由集合中的不等式，解得，
集合，
由集合中的不等式，解得，
集合，
则.
故选：D.
3. 已知集合，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二次不等式与对数不等式化简，再利用集合交并补运算即可得解.
【详解】因为，
，
所以，则.
故选：A．
4. “”是“函数在 上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由函数在上单调递增有恒成立，进而转化为不等式恒成立问题，求 的范围，即可判断条件间的充分、必要性.
【详解】若在 上单调递增，则对任意的 恒成立，
∴有对任意的恒成立，即 ，而当且仅当 时等号成立，则.
∴“”是“函数在 上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A．
5. 在等比数列中，是函数的极值点，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】∵，
∴由可知，
∵ 等比数列中且
∴，故选B.
6. 已知数列中，，它的最小项是（ ）
A. 第四项 B. 第五项 C. 第六项 D. 第四项或第五项
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次函数的图象与性质即可得到答案.
【详解】因为，
所以设，其对称轴为，且开口向上，
又因为，所以的最小项为第四项或第五项.
故选：D.
7. 在等差数列中，为其前项的和，已知，且，若取得最大值，则为（ ）
A. 20 B. 21 C. 22 D. 23
【答案】A
【解析】
【分析】
转化条件得，进而可得，，即可得解.
【详解】设等差数列的公差为，
由可得即，
，，数列为递减数列，
，，
当时，取得最大值.
故选：A.
【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，考查了等差数列前项和最大值的问题，属于基础题.
8. 已知定义在上的奇函数满足时，成立，且则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设函数，其中，根据的奇偶性得出为偶函数和，根据时，得出在定义域内的单调性，由得出和的值，画出简图，分类讨论即可得出的解集．
【详解】设函数，其中，则，
因为是上的奇函数，
所以，且，
所以是上的偶函数，，
因为当时，，
所以，即在上单调递减，在上单调递增，
因为，
所以，
所以，，
画出的简图，如图所示，

当，时，，则，
当，时，，则，
当，，不合题意，
综上所述，时，，
故选：D
二、多选题（本题共计4小题，每题5分，共计20分）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若一元二次不等式的解集是，则的值是.
B. 若集合，则集合的子集个数为.
C. 函数的最小值为.
D. 若函数，则在区间上单调递增.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用不等式解集求出判断A；解指数对数不等式判断B；举例说明判断C；利用幂函数性质确定单调性判断D作答.
【详解】对于A：因为一元二次不等式的解集是，
则和为方程的两根且，于是，解得，有，A正确；
对于B：，，
则，因此的子集有个，B正确；
对于C：，当时，，，C错误；
对于D：函数的定义域为，函数是偶函数，在上单调递减，
因此函数在上单调递增，D正确.
故选：ABD
10. 下列判断正确的是（ ）
A.
B. 函数的最小值为
C. 幂函数的图象都通过点
D. 若，则“”是“”的充要条件
【答案】AC
【解析】
【分析】由全称量词命题真假判断A；求出函数最小值判断B；利用幂函数图象性质判断C；利用充要条件的意义判断D作答.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，令，函数在上单调递增，则当，即时，，B错误；
对于C，幂函数的图象都通过点，C正确；
对于D，当时，成立，而不成立，因此不能推出，D错误.
故选：AC
11. 已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列是
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定．
【详解】时，，数列不一定是等比数列，
时，，数列不一定是等比数列，
由等比数列的定义知和都是等比数列．
故选AD．
【点睛】本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列．
12. 下列说法中正确的有（ ）
A. 不等式恒成立
B. 存在实数,使得不等式成立
C. 若,,则
D. 若,且,则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据基本不等式“一正二定三相等”判断ABC的正误,用 “1”的代换判断D的正误.
【详解】解:不等式只有在a,b都为非负数的时候才恒成立,
故A错误;
当时,,
故B正确;
若,
则由基本不等式得,
当且仅当即时,等号成立,
故C正确;
因为,,且,
所以,
所以


当且仅当且时取等号,即时取等号;
故D正确.
故选:BCD.
卷II（非选择题）
三、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分）
13. 若，则过点的切线方程为_________________.
【答案】或
【解析】
【分析】先设切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程，结合题意得到关于的方程组，求得，即可得出结果.
【详解】设切点坐标为
因为，所以，所以，
所以切线方程为：,
因为该切线过点，所以有，解之得或，
所以切线斜率或，
故切线方程为：或.
故答案为：或.
14. 若，且，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】求出的取值范围，结合不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】，，则，
所以，，所以，.
故答案为：.
15. 已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为______．
【答案】256
【解析】
【分析】先求出等差数列的通项公式及前项和，再利用导数求的最大值即可.
【详解】因为是等差数列，且有，
所以，解得，
所以，，
则设，
令
，
令，解得，此时单调递增，
令，解得或，此时单调递减，
因为，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以，
故答案为：256.
16. 已知函数，若是从，，三个数中任取的一个数，是以，两个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为____________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】这是古典概型的题目，，的取法共有种.再根据函数有两个极值点，即导数有两个不同的根，求出的所有情况，根据古典概型的概率公式解出结果.
【详解】解：，取法共有种，
又，由题意有个不等实根，
则，因为、均大于零，所以，
而满足的有，，共种，
故所求的概率为.
故答案为：.
四、解答题（本题共计6小题，共计70分）
17. 求下列不等式的解.
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接解一元二次不等式即可
（2）将分式不等式转化为整式不等式求解
【小问1详解】
由，得，解得，
所以不等式的解集为
【小问2详解】
由，得，，
所以，且，解得
所以原不等式的解集为
18. 求下列函数的导数：
（1）；
（2）﹔
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】利用求导公式和法则直接求解即可
【详解】（1）由，得

，
（2）由，得
，
（3）由，得


19. 已知集合，．
（1）设命题：，命题：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
（2）若存在，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据一元二次不等式的解法求出集合，再根据必要不充分条件与集合间的包含关系的等价联系，即可解出；
（2）根据题意可知，所以，或，解出即得解．
小问1详解】
，，由题知，，，，所以实数的取值范围为．
【小问2详解】
∵存在，即，所以或，
，实数的取值范围为．
20. 已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列满足，，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用可得答案；
（2）求出，，然后分组，利用等差、等比数列的前项和公式计算可得结果.
【详解】（1）因为在数列中，，
所以，
两式相减得，即，
当时，，
所以．
（2）由（1）知，，，
因为数列是等比数列，设公比为，所以，
所以，
所以，
所以


．
【点睛】本题考查了由求，考查了等比数列的通项公式，考查了等差、等比数列的前项和公式，考查了分组求和，属于基础题.
21. 设，，且．
（1）求的最大值；
（2）求的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】(1)结合条件等式，利用基本不等式求的最值，(2)由条件，利用基本不等式求其最值.
【详解】（1）当且仅当时等号成立．
∴当时有最大值．
（2）
（取等号）
22 已知函数．
（1）求函数在的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值（其中为正实数）．
【答案】（1）的单调递增区间为、，单调递减区间为
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）化简函数在上的解析式，利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间；
（2）解方程，可得或，然后分、、、四种情况讨论，结合（1）中的结论分析函数在区间上的单调性，由此可得出函数在上的最大值.
【小问1详解】
解：，
①当时，，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减；
②当时，恒成立，所以在上单调递增.
综上，的单调递增区间为、，单调递减区间为.
【小问2详解】
解：令，即，解得或.
①当时，在上单调递增，，
②当时，在上单调递增，在上单调递减，此时；
③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则；
④当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则.
综上，当时，.
【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：
（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.