辽宁省大连市第十二中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题（解析版）

这是一份辽宁省大连市第十二中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题（解析版），共16页。
大连市第十二中学2022-2023学年度下学期6月份学情反馈
高一年级数学科试卷
命题人：高一备课组 时间：90分钟 分值：100分
一、单选题（每题4分共28分）
1. 在空间中，下列命题不正确的是（ ）
A. 若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点．且在一条直线上
B. 若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C. 梯形可确定一个平面
D. 任意三点能确定一个平面
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面的相关公理和推论逐项进行判断即可求解.
【详解】对于选项A，若两个平面有一个公共点，则它们有经过该公共点的一条直线，即两平面有无数个公共点，故选项A正确；
对于选项B，若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线，否则，若存在三点共线，则问题转化为一条直线与直线外一点，则四点共面，故选项B正确；
对于选项C，因为两条平行直线确定一个平面，所以梯形可确定一个平面，故选项C正确；
对于选项D，共线的三点不能确定一个平面，故选项D错误；
故选：D.
2. 平面α，β，γ不能将空间分成（　　）
A. 5部分 B. 6部分
C. 7部分 D. 8部分
【答案】A
【解析】
【分析】根据三个平面的不同位置关系得出三个平面把空间分成4,6,7,8部分，判断选项得出结果.
【详解】三个平面平行时，将空间分成4个部分；
三个平面相交于同一条直线时，将空间分成6个部分；
当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成6个部分；
当三个平面两两相交且有三条交线时，将空间分成7个部分；
当有两个平面相交，第三个平面截两个相交平面时，可将空间分成8个部分．
所以平面α，β，γ不能将空间分成5部分．
故选：A．
3. 正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三视图得原图形的形状，结构，得边长后可得周长．
【详解】作出原图形如下图所示：
由三视图知原图形是平行四边形，如图，，，
，，
所以平行四边形的周长是．
故选：A．

4. 已知复数，，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解.
【详解】若，可得复数，都为实数，当时，，充分性不成立；
反之，若取复数，，满足，但此时复数，均为虚数，不能比较大小，必要性不成立，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件；
故选：D.
5. a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，现给出下面六个命题：
①，，则；②若，，则；
③，，则；④若，，则；
⑤若，，则；⑥若，，则.
其中真命题的个数是（　　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间中线线平行、线面平行、面面平行的判定定理和性质定理判断即可.
【详解】，，为三条不重合直线，，，为三个不重合的平面，
①，，则，满足直线与直线平行的传递性，所以①正确；
②，，则，可能平行，可能相交，也可能异面，所以②不正确；
③，，则，可能平行，也可能相交，所以③不正确；
④，，则，满足平面与平面平行的性质，所以④正确；
⑤，，则或，所以⑤不正确；
⑥，，则或，所以⑥不正确；
故选：C.
6. 在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing比赛半决赛中，来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了（ ）

A. 54 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用截面图，得出魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，再利用几何关系求出多出的一个小三角形的面积，进而可求出结果.
【详解】如图，

转动了后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，显然小三角形为等腰直角三角形，
设直角边，则斜边为，则有，得到，由几何关系得：阴影部分的面积为，
所以增加的面积为.
故选：C.
7. 某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：

等级
24h降雨量（精确到01）
……
……
小雨
0.1~9.9
中雨
10.0~24.9
大雨
25.0~49.9
暴雨
50.0~99.9
……
……
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨
【答案】B
【解析】
【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.
【详解】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥，
所以积水厚度，属于中雨.
故选：B.


二多选题（每题4分，漏答2分，错答0分，共12分）
8. 下列说法正确的是（    ）
A. 棱柱的侧面一定是矩形
B. 三个平面至多将空间分为3个部分
C. 圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成
D. 任意五棱锥都可以分成3个三棱锥
【答案】CD
【解析】
【分析】利用斜棱柱的侧面判断A；取三个相互平行的平面判断B；利用旋转体的定义判断C；利用五棱锥的结构特征判断D作答.
【详解】对于A，斜棱柱的侧面不一定是矩形，A错误；
对于B，若三个平面互相平行，则这三个平面将空间分为4个部分，B错误；
对于C，圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成，C正确；
对于D，五边形被一个顶点出发的两条对角线分为三个三角形，所以任意五棱锥都可以分成个三棱锥，D正确.
故选：CD
9. 关于复数、，下列说法正确的是（ ）
A. B. 若，
C. 若，则 D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用特殊值法可判断BC选项；利用复数的运算法则结合共轭复数的定义可判断D选项.
【详解】设，.
对于A选项，，
所以，
，A对；
对于B选项，取，，则，
但，，则，B错；
对于C选项，取，，则，，
此时，，但，C错；
对于D选项，
，D对.
故选：AD.
10. 如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是（ ）

A. 四点共面
B. 与异面
C. 与的交点可能在直线上，也可能不在直线上
D. 与的交点一定在直线上
【答案】AD
【解析】
【分析】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例的性质可得，即可判断A，B；由平面基本事实推理可判断C，D.
【详解】在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，则，且，
点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则，且，
因此，点E，F，G，H四点共面，故A正确，B错误；

，，即四边形是梯形，则EF与GH必相交，交点为M，
点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上，
则点M是平面ACB与平面ACD的公共点，而AC是平面ACB与平面ACD的交线，
所以点M一定直线AC上，故C错误，D正确.
故选：AD.
三．填空题（每题4分，共16分）
11. 已知正四棱台中，，，则其体积为________.
【答案】
【解析】
【分析】作出正四棱台的直观图，过点作交于点，过点作交于点，利用勾股定理求出棱台的高，最后根据棱台的体积公式计算可得.
【详解】如图正四棱台中，
则，，过点作交于点，
过点作交于点，
则，又，所以，
即正四棱台的高，

所以棱台的体积.
故答案为：
12. 已知是方程（为实数）的一个根 则b=______，c=_______.
【答案】 ①. ②. 2
【解析】
【分析】利用方程根的意义，结合复数运算及复数相等求解作答.
【详解】因为是方程的一个根，则，
整理得，而，因此，所以.
故答案为：；2
13. 一个正三棱锥的侧棱长为1，底面边长为，它的四个顶点在同一个球面上，则球的表面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设为正三角形的中心，则⊥平面，正三棱锥的外接球的球心在上，在中利用勾股定理求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的值，从而得到球的表面积．
【详解】如图所示：

设为正三角形ABC的中心，连接，则⊥平面，正三棱锥的外接球的球心在上，
设球的半径为，连接，，
∵的边长为，
∴，
又∵，
∴中，，
在中，，，，
∴，解得，
此时说明球心在点的下方，即如下图所示：

∴球的表面积为．
故答案为：．
14. 如图，已知四棱锥外接球O的体积为，，侧棱与底面垂直，四边形为矩形，点M在球O的表面上运动.当四棱锥体积的最大时，点A到面的距离为_________.

【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出球的半径并确定球心的位置，再求出四棱锥体积取最大时，矩形的特征，然后用等体积法求解作答.
【详解】设球的半径为R，则，解得，连接，
由平面，平面，得，由矩形，得，
而平面，则平面，又平面，于是，同理，
取中点，连接，则，因此点是四棱锥的外接球球心，

显然，而，于是，
令，连接，则平面，，
要使四棱锥的体积最大，点必为射线与球的表面的交点，，
此时四棱锥的体积，当且仅当时取等号，
，底边上的高，
设点到平面的距离为，由，得，
即，有，解得，
所以点A到面的距离为.
故答案为：
三．解答题（共44分）
15. （1）计算．.
（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用复数的乘方运算、除法运算计算作答.
（2）利用复数除法运算化简复数，再列出不等式组求解作答.
【详解】（1）原式
.
（2）复数，
因此复数在复平面内对应的点，则，解得，
所以实数的取值范围是.
16. 现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，如图所示，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱，正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．

（1）若，，则仓库的容积（含上下两部分）是多少？
（2）若上部分正四棱锥的侧棱长为6m，当为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？
【答案】（1）
（2）当时，正四棱柱侧面积最大，最大为
【解析】
【分析】（1）利用柱体和锥体的体积公式计算；
（2）设，正四棱柱侧面积用x表示，利用基本不等式求最大值.
【小问1详解】
∵，正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍，∴．
所以仓库的容积
【小问2详解】
若正四棱锥的侧棱长为6m，设，
则，，．
∴正四棱柱侧面积，
∴，
当且仅当，即时，．
所以当时，正四棱柱侧面积最大，最大为．
17. 如图所示，在三棱柱中， 分别是，，的中点，求证：

（1）平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）先证明平面，再证明平面,根据面面平行的判定定理即可证明结论.
【小问1详解】
证明：∵分别是的中点，
∴,
又三棱柱中，，
所以．
又平面， 平面，
所以平面.
【小问2详解】
证明：由（1）知，平面，平面，
∴平面，
又∵分别为中点，
故，,
又∵，∴,
∴四边形为平行四边形，
∴,
又∵平面，平面，
∴平面,
又∵平面,
∴平面平面．
18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 .
（1）求角的大小；
（2）若，且，求a和c.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，再由余弦定理得，从而可得角的大小；
（2）由正弦定理结合面积公式可得关系，解方程即可得a和c的值.
【小问1详解】
中，，
由正弦定理得：，
，即，
由余弦定理得，，
在三角形中，∵，.
【小问2详解】
，由正弦定理得：，
又，，
，.