人教版七年级下册5.1.2 垂线优秀同步训练题

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第01课 相交线，垂线

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课程标准
1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；
2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；
3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；
4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.

知识精讲

知识点01 邻补角与对顶角
1．邻补角：
如果两个角有一条 ，并且它们的另一边互为 ，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．
注意：
(1)邻补角的定义既包含了 关系，又包含了 关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为 ．
(2)邻补角是 出现的，而且是“互为”邻补角．
(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角 互为邻补角．
(4)邻补角满足的条件：①有 ；②有 ；另一边互为 .

2. 对顶角及性质：
（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有 没有 (相对)的两个角，互为对顶角．
（2）性质：对顶角 ．
注意：
(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．
(2)对顶角满足的条件：① 的两个角；②有 且一角的两边是另一角两边的 .

3. 邻补角与对顶角的关系
角的名称
特 征
性 质
相 同 点
不 同 点
对顶角

①两条直线相交形成的角；
②有一个 ；
③没有 .

对顶角 .
①都是两条直线相交而成的角；
②都有一个公共顶点；
③都是成对出现的.
①有无公共边；
②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对.
邻补角

①两条直线相交而成；
②有一个 ；
③有一条 .
邻补角 .
注意：两直线相交，一个角的对顶角有 个，但一个角与它相等的角有 个，邻补角最多有
个，而补角则可以有 个；即对顶角和邻补角，不仅包含数量关系，而且包含位置关系。
知识点02 垂线
1．垂线的定义：
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫 ．

注意：
(1)记法：直线a与b垂直，记作： ；
直线AB和CD垂直于点O，记作： .
(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：
CD⊥AB．
2．垂线的画法：
过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是：
①使直角三角板的一条直角边和已知直线重合；
②沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点；
③沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．

注意：
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在 的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．
(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为 ．
3．垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点 一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短．简称： ．
注意：
（1）性质（1）成立的前提是在“ ”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．
（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有 ，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．

4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离．
注意：
（1） 点到直线的距离是 ，是一个 ，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的 ．
能力拓展


考法01 概念辨析
【典例1】判断正误：
（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角（ ）
（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（ ）
（3）有一条公共边的两个角是邻补角（ ）
（4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互补（ ）
（5）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角（ ）
【即学即练】下列说法中正确的有_________________．
①如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
②如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角．③有一条公共边的两个角是邻补角．
④如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角．
⑤有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角．
【典例2】点到直线的距离是指（ ）
A．从直线外一点到这条直线的垂线段 B．从直线外一点到这条直线的垂线，
C．从直线外一点到这条直线的垂线段的长 D．从直线外一点到这条直线的垂线的长
【即学即练】有下列说法：
①两条直线相交成四个角，如果两个角相等，那么这两条直线垂直；
②两条直线相交成四个角，如果三个角相等，那么这两条直线垂直；
③在同一平面内，过直线上一点可以作无数条直线与已知直线垂直；
④直线外一点到这条的垂线段，叫做点到直线的距离．
其中正确的说法有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

考法02 邻补角与对顶角的应用
【典例3】如图所示，直线和相交于点是一条射线．

（1）写出的邻补角：__________________；
（2）写出的邻补角：__________________；
（3）写出的邻补角：__________________；
（4）写出的对顶角：___________________．
【典例4】如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量的角是____度，你的根据是____________．

【即学即练】如图，A、B、C为直线l上的点，D为直线l外一点，若，则的度数为______．

【即学即练】如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＋∠BOC＝240°，则∠BOC的度数为__________°．

【即学即练】如图，过直线AB上一点O作射线OC、OD ，并且OD是∠ AOC的平分线，∠BOC=29°18′， 则∠BOD的度数为___________．



考法03 垂线的应用
【典例5】过点B画线段AC所在直线的垂线段，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【典例6】如图，计划把河水引到水池A中，可以先引AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，则能使所开的渠最短，这样设计的依据是（　　）

A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间，直线最短
【即学即练】如图所示，点P到直线l的距离是（　　）

A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
【即学即练】点是直线外一点，、、为直线上的三点，，，，则点到直线的距离（ ）
A．小于 B．等于 C．不大于 D．等于
【典例7】如图，下列说法不正确的是（ ）

A．点B到AC的垂线段是线段AB B．点C到AB的垂线段是线段AC
C．线段AD是点D到BC的垂线段 D．线段BD是点B到AD的垂线段
【即学即练】如图，，，表示点到直线距离的是线段（ ）的长度

A． B． C． D．

考法04 综合应用
【典例8】如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝36°，则∠BOD的大小为 _____．

【即学即练】如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝27°，则∠BOD的大小为_____．

【典例9】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠2=2∠1，求∠AOC的度数．

解：∵OE⊥AB（已知）
∴∠BOE（ ）
即∠1+∠2
又∵∠2=2∠1（已知）
∴∠1=______度
∴∠2=______度（等式性质）
∵∠2与∠AOC是对顶角（已知）
∴∠2=∠AOC（ ）
∵∠2=_______度（已证）
∴∠AOC=_________度（ ）
【即学即练】给下面命题的说理过程填写依据．
已知：如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O，OF平分∠BOD，对∠EOF＝∠BOC说明理由．

理由：因为∠AOC＝∠BOD( )，
∠BOF＝∠BOD( )，
所以∠BOF＝∠AOC( )．
因为∠AOC＝180°－∠BOC( )，
所以∠BOF＝90°－∠BOC．
因为EO⊥CD( )，
所以∠COE＝90°( )
因为∠BOE＋∠COE＝∠BOC( )，
所以∠BOE＝∠BOC－∠COE.
所以∠BOE＝∠BOC－90°( )
因为∠EOF＝∠BOE＋∠BOF( )
所以∠EOF＝(∠BOC－90°)＋(90°∠BOC)（ ）
所以∠EOF＝∠BOC．
【典例10】如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．
(1)若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；
(2)若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．

【即学即练】如图：已知直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°
（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度数．

【即学即练】如图，已知直线AB，CD相交于点O，射线OE把∠AOC分成两部分．
（1）写出图中∠AOC的对顶角　 　，∠COE的补角是　 　；
（2）已知∠AOC＝60°，且∠COE：∠AOE＝1：2，求∠DOE的度数．


分层提分


题组A 基础过关练
1．图中的∠1、∠2可以是对顶角的是( )
A． B．
C． D．
2．下列说法正确的有(　　)．
①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在线段、、、中，长度最小的是（　　）

A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
4．如图，经过直线l外一点A作l的垂线，能画出（　　）

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
5．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＋∠2＝100°，则∠BOC等于（ ）

A．130° B．140° C．150° D．160°
6．如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1=56°，则∠2等于( )

A．30° B．34° C．45° D．56°
7．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于( ).

A．35° B．70°
C．110° D．145°
8．如图所示，已知直线AB、CD相较于O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是（ ）

A．20 B．25° C．30° D．70°

题组B 能力提升练
1．如图，与是对顶角，，，则______．

2．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(2x－10)°和(110－x)°，则x＝_____．
3．如图，直线AD与BE相交于点O，∠COD=90°，∠COE=70°，则∠AOB= _______．

4．如图，直线相交于点O，，且，则______．

5．如图，计划在河边建一水厂，可过C点作CD⊥AB于D点．在D点建水厂，可使水厂到村庄C的路程最短，这样设计的依据是________．

6．如图，直线AB，AB相交于点O，OA平分∠EOC.若∠EOA∶∠EOD＝1∶3，则∠BOD＝______°.

7．如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，，则的大小为__________．

题组C 培优拔尖练
1．如图，两直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，如果∠AOC：∠AOD＝7：11，

（1）求∠COE；（2）若OF⊥OE，求∠COF．
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE
（1）判断OF与OD的位置关系，并进行证明．
（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．

3．如图，与交于点，，，若，求的度数．
解：，
　　，
　 　　 　，
又，
　 　，　 　，
，
　 　，
　 　　 　　 　．

4．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
（1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；
（2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；
（3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含的代数式表示）

5．已知点A，B，O在一条直线上，以点O为端点在直线AB的同一侧作射线，，使．

（1）如图①，若平分，求的度数；
（2）如图②，将绕点O按逆时针方向转动到某个位置时，使得所在射线把分成两个角．
①若，求的度数；
②若（n为正整数），直接用含n的代数式表示．