2022-2023学年湖南省邵阳市隆回县七年级（下）期末数学试卷（含解析）

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2022-2023学年湖南省邵阳市隆回县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 方程组4x+3y=114x−3y=5的解是(    )
A. x=4y=−2 B. x=3y=−1 C. x=−2y=−1 D. x=2y=1
2. 下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有(    )


A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 已知a+b=5，a−b=2，则a2−b2的值为(    )
A. 7 B. 8 C. 10 D. 12
4. 下列计算正确的是(    )
A. (4ab)2=4a2b2 B. a2⋅a3=a6
C. a2+a2=a4 D. (−3a3b)2=9a6b2
5. 下列等式从左到右的变形中，是因式分解的是(    )
A. (2x−3)2=4x2−12x+9 B. x2−5x+6=(x−2)(x−3)
C. a2−5=(a+2)(a−2)−1 D. (3+x)(3−x)=(3−x)(3+x)
6. 下列说法正确的是(    )
A. 同位角相等 B. 平行四边形是轴对称图形
C. 相等的角是对顶角 D. 同角的余角相等
7. 如图a//b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=(    )


A. 180° B. 270° C. 360° D. 540°
8. 下面多项式中，能因式分解的是(    )
A. m2−4n B. −a2−b2 C. a2−2ab+4b2 D. a2−a+14
9. 如图，已知AB//CD，直线l分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠EFG=40°，则∠EGF的度数是(    )
A. 60°
B. 70°
C. 80°
D. 90°
10. 有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前10位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的(    )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 因式分解：mx2−my2=______．
12. 已知a，b，c在同一平面内的三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a ______ c.
13. 计算：3x2y⋅(−2xy)2= ______ ．
14. 已知3x+2y=102x+3y=5，则x+y= ______ ．
15. 如图，直线l1//l2，l是l1，l2的截线，如果∠1=55°，那么∠2= ______ 度.


16. 如果x2−6x+m是一个完全平方式，那么m的值为______；
17. 数据2、3、3、3、6、6、4、5的中位数和方差分别是______ ．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，AD//BC，AD=8，AD与BC的距离6，则阴影部分的面积为______ ．


三、解答题（本大题共7小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
解方程组：
(1)2x+y=33x−5y=11；
(2)a+b+c=0a−b+c=−44a+2b+c=5．
20. (本小题6.0分)
因式分解：
(1)m(m−3)+3(3−m)；
(2)4x3−12x2+9x．
21. (本小题6.0分)
化简求值：(x−2)2−(2x+3)(2x−3)−4x(x−1)，其中x=−1．
22. (本小题6.0分)
推理填空，如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD//CE．
解：∵∠A=∠F(______)，
∴AC//DF(______)，
∴∠D=∠1(______)，
又∵∠C=∠D(______)，
∴∠1=∠C(______)，
∴BD//CE(______).

23. (本小题6.0分)
如图，已知AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠1.试说明：AD平分∠BAC．

24. (本小题8.0分)
为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：(水价计费=自来水销售费用+污水处理费用)
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价：元/吨
单价：元/吨
17吨及以下
a
0.80
超过17吨不超过30吨的部分
b
0.80
超过30吨的部分
6.00
0.80
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
(1)求a，b的值．
(2)小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？
25. (本小题8.0分)
如图，已知直线l1//l2，直线l和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，A是l1上的一点，B是l2上的一点．
(1)如果P点在C、D之间运动时，如图(1)问∠PAC，∠APB，∠PBD之间有何关系，并说明理由．
(2)若点P在C、D两点的外侧运动时(P点与点C、D不重合)，在图(2)，图(3)中画出图形并探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？并选择其中一种情况说明理由．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：4x+3y=11①4x−3y=5②，
①+②得：8x=16
解得：x=2，代入①中得，4×2+3y=11，
解得：y=1，
∴方程组的解为：x=2y=1．
故选：D．
方程组利用加减消元法求解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用加减消元法消去一个未知数．

2.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的概念结合4个汽车标志图案的形状求解．
【解答】
解：由轴对称图形的概念可知第1个，第2个，第3个都是轴对称图形．
第4个不是轴对称图形．
故是轴对称图形的有3个．
故选：C．  
3.【答案】C 
【解析】解：∵a+b=5，a−b=2，
∴a2−b2=(a+b)⋅(a−b)=5×2=10，
故选：C．
根据已知a+b=5，a−b=2，以及a2−b2=(a+b)⋅(a−b)，代入计算即可．
本题主要考查了平方差公式，正确应用平方差公式是解题的关键．

4.【答案】D 
【解析】解：A.(4ab)2=16a2b2，故A错误，不符合题意；
B.a2⋅a3=a5，故B错误，不符合题意；
C.a2+a2=2a2，故C错误，不符合题意；
D.(−3a3b)2=9a6b2，故D正确，符合题意．
故选：D．
根据同底数幂的乘法法则、积的乘方、合并同类项等知识点逐项判定即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项法则等知识点，熟练掌握相关运算法则是解答本题关键．

5.【答案】B 
【解析】解：一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫分解因式．
A和C选项没有化成几个整式的积的形式，故不是因式分解；
B选项把一个多项式正确化成两个整式的积的形式，故是因式分解；
D选项原式已经是两个整式的积的形式，故不是因式分解．
故选：B．
根据因式分解的定义判断进行选择即可．
本题考查了因式分解的定义理解，理解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解是解题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：A、两直线平行，同位角相等，故此选项不符合题意；
B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，相等的角不一定是对顶角，故此选项不符合题意；
D、同角的余角相等，故此选项符合题意；
故选：D．
根据平行线的性质，平行四边形的性质，对顶角的定义，余角的性质进行解答即可．
本题主要考查了平行线的性质，平行四边形的性质，对顶角的定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，余角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的定义和性质．

7.【答案】C 
【解析】解：过点P作PA//a，则a//b//PA，

∴∠1+∠MPA=180°，∠3+∠NPA=180°，
∵∠MPA+∠NPA=∠2，
∴∠1+∠2+∠3=360°．
故选：C．
首先过点P作PA//a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补进行做题．
本题主要考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．

8.【答案】D 
【解析】解：A.m2−4n，不能因式分解，不符合题意；
B.−a2−b2，不能因式分解，不符合题意；
C.a2−2ab+4b2，不能因式分解，不符合题意；
D.a2−a+14=(a−12)2，能因式分解，符合题意．
故选：D．
根据分解因式的方法求解即可．
此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．

9.【答案】B 
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠BEF+∠EFG=180°，又∠EFG=40°
∴∠BEF=140°；
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=12∠BEF=70°，
∴∠EGF=∠BEG=70°．
故选：B．
根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠FEB，然后根据角平分线的性质求出∠BEG，最后根据内错角相等即可解答．
本题考查了平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．

10.【答案】B 
【解析】解：19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得前10位同学进入决赛，中位数就是第10位，因而要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的中位数就可以．
故选：B．
因为第10名同学的成绩排在中间位置，即是中位数．所以需知道这19位同学成绩的中位数．
中位数是将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．学会运用中位数解决问题．

11.【答案】m(x+y)(x−y) 
【解析】解：原式=m(x2−y2)
=m(x+y)(x−y)．
故答案为：m(x+y)(x−y)．
原式提取m，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

12.【答案】// 
【解析】解：∵a⊥b，b⊥c，
∴a//c，
故答案为：//．
根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行即可得出结论．
本题考查了平行线的判定，熟知在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．

13.【答案】12x4y3 
【解析】解：3x2y⋅(−2xy)2=3x2y⋅⋅4x2y2=12x4y3，
故答案为：12x4y3．
先算乘方，再算单项式乘以单项式即可得．
本题考查了整式的乘法，积的乘方，单项式乘以单项式，解题的关键是掌握这些知识点，正确计算．

14.【答案】3 
【解析】解：3x+2y=10①2x+3y=5②
①+②得：5x+5y=15，
方程两边都除以5得：x+y=3，
故答案为：3．
①+②得出5x+5y=15，方程两边都除以5，即可得出答案．
本题考查了解二元一次方程组的应用，能选择适当的方法求出答案是解此题的关键，难度不是很大．

15.【答案】125 
【解析】解：如图，

∵l分别与l1，l2相交，∠1=55°，
∴∠3=∠1=55°，
∵直线l1//l2，
∴∠2=180°−∠3=180°−55°=125°．
故答案为：125．
由l分别与l1，l2相交，得∠3=∠1=55°，又由于直线l1//l2，得∠2=180°−∠3，即可求解．
本题考查平行线的性质，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质和对顶角的性质是解题的关键．

16.【答案】9 
【解析】解：∵x2−6x+m是一个完全平方式，
∴m=9．
故答案为：9．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

17.【答案】3.5和2 
【解析】解：数据2、3、3、3、6、6、4、5从小到大排列处于中间的数据为3和4，则中位数为3+42=3.5，
这组数据的平均数为：18(2+3+3+3+6+6+4+5)=4，
方差为：S2=18[(2−4)2+3(3−4)2+(4−4)2+(5−4)2+2(6−4)2]=2．
故答案为：3.5和2．
利用中位数，方差定义直接求解即可．
本题考查平中位数、方差的求法，掌握中位数、方差的定义是解答本题的关键．

18.【答案】24 
【解析】解：如图：∵四边形ABCD是平行四边形
根据对称性可知：△OEF≌△OHG，△OAM≌△OCN，
∴S阴=S△ABD=12S平行四边形ABCD=12×8×6=24．
故答案为：24．

将不规则图形转化为规则图形即可解答．
本题主要考查平行四边形的性质、三角形的面积等知识点，学会用转化的思想解决问题是解题的关键．

19.【答案】解：(1)2x+y=3①3x−5y=11②，
①×5+②得13x=26，解得：x=2，
把x=2代入①得y=−1，
所以原方程组的解为x=2y=−1．
(2)解：a+b+c=0①a−b+c=−4②4a+2b+c=5③，
①−②得2b=4，解得：b=2，
把b=2分别代入①、③得：
a+c=−2④4a+c=1⑤，
⑤−④得：3a=3，解得：a=1，
将a=1代入④解得：c=−3，
所以，原方程组的解为a=1b=2c=−3． 
【解析】(1)利用加减消元法解方程组即可；
(2)利用消元法解三元一次方程组即可解答．
本题主要考查了解二(三)元一次方程组，掌握加减消元法与代入消元法是解答本题的关键．

20.【答案】解：(1)m(m−3)+3(3−m)
=m(m−3)−3(m−3)
=(m−3)2；
(2)4x3−12x2+9x
=x(4x2−12x+9)
=x(2x−3)2． 
【解析】(1)先变形，再提公因式即可求解；
(2)先提公因式x，再运用完全平方公式分解因式即可．
本题考查用提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握综合运用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．

21.【答案】解：(x−2)2−(2x+3)(2x−3)−4x(x−1)，
=x2−4x+4−4x2+9−4x2+4x
=−7x2+13，
当x=−1时，−7x2+13=−7+13=6． 
【解析】根据完全平方公式、平方差公式和整式的乘法法则化简，然后再将x=−1代入计算即可解答．
本题主要考查了整式的混合运算和求值的应用，根据整式的运算法则进行化简是解答本题的关键．

22.【答案】已知；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行 
【解析】解：∵∠A=∠F(已知)，
∴AC//DF(内错角相等，两直线平行)，
∴∠D=∠1(两直线平行，内错角相等)，
又∵∠C=∠D(已知)，
∴∠1=∠C(等量代换)，
∴BD//CE(同位角相等，两直线平行)．
本题实际考查的是平行线的判定依据．根据图中线与角的关系，联系平行线的判定方法即可作出解答．
本题是考查平行线的判定的基础题，掌握好平行线的判定方法是解题的关键．

23.【答案】解：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，
∴∠ADC=∠EGC=90°，
∴AD//EG，
∴∠1=∠2，∠E=∠3．
又∵∠E=∠1，
∴∠2=∠3，
∴AD平分∠BAC． 
【解析】先依据垂线的定义可得到∠ADC=∠EGC=90°，从而可证明AD//EG，然后依据平行线的性质可得到∠1=∠2，∠E=∠3，通过等量代换可得到∠2=∠3，于是可得到问题的答案．
本题主要考查的是平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键．

24.【答案】解：(1)根据题意可得，
17a+3b+20×0.8=6617a+8b+25×0.8=91，
解得，a=2.2b=4.2，
即a的值是2.2，b的值是4.2；

(2)设小王家6月份用水x吨，
根据题意知，30吨的水费为：17×2.2+13×4.2+30×0.8=116，
∵184>116，
∴小王家6月份计划用水超过了30吨
∴6.0(x−30)+116+0.80×(x−30)=184，
解得，x=40
即小王家6月份用水量40吨． 
【解析】(1)根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值；
(2)根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得小王家本月用水量为多少吨．
本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组．

25.【答案】解：(1)如图1，当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．
理由如下：过点P作PE//l1，
∵l1//l2
∴PE//l2//l1，
∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；
(2)如图2，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB．
理由如下：∵l1//l2，
∴∠PED=∠PAC，
∵∠PED=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC=∠PBD+∠APB．
如图3，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．
理由如下：∵l1//l2，
∴∠PEC=∠PBD，
∵∠PEC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB． 
【解析】(1)当P点在C、D之间运动时，首先过点P作PE//l1，由l1//l2，可得PE//l2//l1，根据两直线平行，内错角相等，即可求得：∠APB=∠PAC+∠PBD．
(2)当点P在C、D两点的外侧运动时，由直线l1//l2，根据两直线平行，同位角相等与三角形外角的性质，即可求得：∠PBD=∠PAC+∠APB．
本题主要考查平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等与两直线平行，同位角相等，注意辅助线的作法．