2022-2023学年福建省漳州市七年级（下）期末数学试卷（华师大版A卷）（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省漳州市七年级（下）期末数学试卷（华师大版A卷）（含解析），共17页。

2022-2023学年福建省漳州市七年级（下）期末数学试卷（华师大版A卷）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中，是二元一次方程的是(    )
A. 4x−y=3 B. 2x=5 C. x−y+1 D. x2−1=0
2. 以下图形中，不是轴对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 若关于x的方程2x+k=3的解为x=1，则k的值为(    )
A. −2 B. 1 C. 2 D. 4
4. 一个不等式的解集如图所示，这个不等式可以是(    )


A. x−1≥0 B. x−1>0 C. x−1≤0 D. x−1<0
5. 已知−4ax−yb4与a2bx+y是同类项，那么x、y的值为(    )
A. x=1y=−1 B. x=2y=0 C. x=3y=1 D. x=4y=2
6. 解方程12−x−13=1时，去分母正确的是(    )
A. 1−(x−1)=1 B. 3−2(x−1)=1 C. 2−3(x−1)=6 D. 3−2(x−1)=6
7. 如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD交于点O，则△AOD绕点O经过以下哪种变换可以得到△DOC(    )
A. 顺时针旋转90°
B. 顺时针旋转45°
C. 逆时针旋转90°
D. 逆时针旋转45°
8. 若x=2y=−1是二元一次方程ax+by=−1的一个解，则1+2a−b的值是(    )
A. −2 B. 0 C. 2 D. 4
9. 今年哥哥的年龄是弟弟的2倍，弟弟说：“六年前，我们俩的年龄和为15岁.”若设弟弟今年的年龄为x岁，则可列方程为(    )
A. x+x2=15 B. (x−6)+(x2−6)=15
C. x+2x=15 D. (x−6)+(2x−6)=15
10. 如图，在△ABC中，∠ACB<∠A，BD是角平分线，BE是边AC上的高，延长BD与外角∠ACF的平分线交于点G.以下结论中错误的是(    )
A. ∠ABD=∠CBD
B. ∠ABE+∠A=90°
C. ∠G=45°
D. ∠A−∠ACB=2∠EBD
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 若关于x的方程xm+1−2=1是一元一次方程，则m的值是______ ．
12. 四边形的内角和等于______度．
13. 如图，△ABC≌△DEF，则此图中相等的线段有______对．

14. 如图，将△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△DEC，边AB、CD相交于点F，若∠BFC=61°，则∠D的度数是______ 度.

15. 若关于x，y的二元一次方程组x+y=5kx−2y=−k的解也是二元一次方程2x−y=8的解，则k的值为______ ．
16. 已知m，n都是正整数，2m+3=5n−2，且5n−2<15，则m，n的值是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解方程：2(x−1)=x+1．
18. (本小题8.0分)
解方程组：x+2y=2①x−2y=6②．
19. (本小题8.0分)
解不等式组：x+1<5①2x−13≥1②．
20. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B与∠C互余，将AB，DC分别平移到EF和EG的位置．

(1)请判断△EFG的形状，并说明理由；
(2)若AD=4，BC=10，求FG的长．
21. (本小题8.0分)
我国明代数学家程大位的名著《直接算法统亲》里有一道著名算题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？“意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完：如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？
22. (本小题10.0分)
如图，在正方形网格中，点A，B，C，M，N都在格点上．

(1)以直线MN为对称轴，画出△ABC的对称图形△A′B′C′；
(2)在直线MN上找到一点P，使得△PAC周长最小．
23. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F．
(1)求∠ABE的度数；
(2)若AD平分∠BAC，DG平分∠ADC，试说明DG//BE．

24. (本小题12.0分)
某校组织七年级学生外出研学活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用45座客车，则可以少租一辆，且余25个座位．
(1)求该校七年级学生外出研学活动的人数；
(2)已知35座客车的租金为每辆320元，45座客车的租金为每辆380元.若学校决定同时租用这两种客车共6辆(可以坐不满)，请你帮助该校设计最省钱的租车方案．
25. (本小题14.0分)
将一把直角尺放置在钝角△ABC(∠BAC>90°)上，使得点B、C分别在该直角尺的两条直角边DE、DF上，且直角顶点D与点A在BC边的同侧．

(1)如图，点A在直角尺内部．
①若∠A=120°，∠ABD=10°，求∠ACD的度数；
②若∠A=α，∠ABD=β，求∠ACD的度数(用含α、β的式子表示)．
(2)改变直角尺的位置，使点A在直角尺外部，其它条件不变，探索∠ABD、∠ACD、∠A三者之间的数量关系，并说明理由．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：A、方程4x−y=3是二元一次方程，选项A符合题意；
B、方程2x=5含有一个未知数，选项不符合题意；
C、x−y+1是多项式，不是方程，故选项C不合题意；
D、方程x2−1=0含有一个未知数且含有未知数的项的次数是2，选项D不符合题意．
故选：A．
根据二元一次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程的定义，牢记“含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程”是解题的关键．

2.【答案】D 
【解析】解：选项A、B、C能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项D不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3.【答案】B 
【解析】解：将x=1代入原方程得：2×1+k=3，
解得：k=1，
∴k的值为1．
故选：B．
将x=1代入原方程，可得出关于k的一元一次方程，解之即可求出k的值．
本题考查了一元一次方程的解，牢记“使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解”是解题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解：A、不等式x−1≥0的解集为x≥1，故A符合题意；
B、不等式x−1>0的解集为x>1，故B不符合题意；
C、不等式x−1≤0的解集为x≤1，故C不符合题意；
D、不等式x−1<0的解集为x<1，故D不符合题意；
故选：A．
分别解出各个不等式的解集即可判断出答案．
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．

5.【答案】C 
【解析】解：∵−4ax−yb4与a2bx+y是同类项，
∴x−y=2x+y=4，
解得：x=3y=1．
故选：C．
由同类项的定义可得到关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可．
本题主要考查解二元一次方程组，同类项，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．

6.【答案】D 
【解析】解：12−x−13=1，
去分母，得3−2(x−1)=6，
故选：D．
根据等式的性质方程两边都乘6即可．
本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．

7.【答案】A 
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA，
∴△AOD绕点O顺时针旋转得到△DOC，旋转角为∠COD=90°，
故选：A．
因为四边形ABCD为正方形，所以∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA，则△AOD绕点O顺时针旋转得到△DOC，旋转角为∠COD，据此可得答案．
本题考查了旋转的性质，旋转要找出旋转中心、旋转方向、旋转角．

8.【答案】B 
【解析】解：∵若x=2y=−1是二元一次方程ax+by=−1的一个解，
∴2a−b=−1，
∴1+2a−b=1−1=0，
故选：B．
根据二元一次方程，解的定义代入得出2a−b=−1，再代入计算即可．
本题考查二元一次方程的解，理解二元一次方程的解的定义是正确解答的关键．

9.【答案】D 
【解析】解：设弟弟今年的年龄为x岁，则哥哥今年的年龄为2x岁，六年前，弟弟的年龄为(x−6)岁，哥哥的年龄为(2x−6)岁，
根据题意，得(x−6)+(2x−6)=15．
故选：D．
若设弟弟今年的年龄为x岁，则哥哥今年的年龄为2x岁，根据“六年前，我们俩的年龄和为15岁”列出方程，此题得解．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是利用x表示弟弟今年的年龄，同时也应该知道六年前哥哥和弟弟的年龄都要减去6．

10.【答案】C 
【解析】解：A，BD是角平分线，∠ABD=∠CBD正确，不符合题意；
B，BE是边AC上的高，∠ABE+∠A=90°正确，不符合题意；
C，BE是边AC上的高，∠A<90°，∠G=12∠A<45°，错误，符合题意；
D，2∠EBD=2(90°−∠EBD)
=2(90°−∠ACB−12∠ABC)
=180−2∠ACB−∠ABC
=180−2∠ACB−(180−∠A−∠ACB)
=∠A−∠ACB，正确，不符合题意．
故选：C．
根据角平分线可判断A，有高可判断B，有高可知∠A<90°，∠G=12∠A<45°可判断C，2∠EBD=2(90°−∠EDB)=2(90°−∠ACB−12∠ABC)=180−2∠ACB−∠ABC=180−2∠ACB−(180−∠A−∠ACB)=∠A−∠ACB可判断D．
本题考查了三角形外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的内角和．

11.【答案】0 
【解析】解：由一元一次方程的特点得m+1=1，
解得：m=0．
故答案为：0．
只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0(a,b是常数且a≠0).据此可得出关于m的方程，继而可求出m的值．
本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1．

12.【答案】360 
【解析】解：(4−2)⋅180°=360°．
n边形的内角和是(n−2)⋅180°，代入公式就可以求出内角和．
本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容．

13.【答案】4 
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，AC=DF，BC=EF，
又∵BE=BC−EC，CF=EF−EC，
∴CF=BE，
∴相等的线段有：AB=DE，AC=DF，BC=EF，CF=BE，共4对．
故答案为：4．
根据全等三角形对应边相等解答即可．
本题考查了全等三角形对应边相等的性质，结合图形准确找出对应边是解题的关键．

14.【答案】31 
【解析】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△DEC，
∴∠DCA=30°，∠D=∠A，
∵∠BFC是△ACF的外角，
∴∠BFC=∠A+∠DCA，
∴∠A=∠BFC−∠DCA，
∵∠BFC=61°，
∴∠A=61°−30°=31°，
∴∠D=31°，
故答案为：31．
将△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△DEC，即∠DCA=30°，而∠BFC是△ACF的外角，根据三角形外角定理可求∠A=∠BFC−∠DCA=61°−30°=31°，根据旋转的性质，∠D=∠A，即可得解．
本题主要考查了旋转的性质，三角形外角定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

15.【答案】2 
【解析】解：将x+y=5kx−2y=−k中两个方程相加得
x+y+x−2y=5k−k即2x−y=4k，
∵2x−y=8，
∴4k=8，
解得k=2，
故答案为：2．
将方程组中两个方程相加，得2x−y=4k，由于2x−y=8，代入得解即可．
本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，注意观察方程组中两个方程的特征，采用了转化和整体代入是解题的关键．

16.【答案】m=5，n=3 
【解析】解：∵5n−2<15，
∴5n<15+2，
∴n<175，
∵2m+3=5n−2，
∴2m+3<15，
解得m<6，
∵2m+3=5n−2，
∴m=5n−52，
∵m，n都是正整数，
∴m=5，n=3．
故答案为：m=5，n=3．
根据题意得到2m+3<15，5n−2<15，解不等式求得m、n的取值范围，由2m+3=5n−2得到m=5n−52，由m，n都是正整数可求解．
本题考查了一元一次不等式的解，根据题意得到2m+3<15，m=5n−52是解题的关键．

17.【答案】解：去括号得：2x−2=x+1，
移项得：2x−x=1+2，
合并同类项得：x=3． 
【解析】方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．

18.【答案】解：x+2y=2①x−2y=6②，
①+②，得2x=8，
解得：x=4，
把x=4代入①，得4+2y=2，
解得：y=−1，
所以方程组的解是x=4y=−1． 
【解析】①+②得出2x=8，求出x=4，再把x=4代入①求出y即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种．

19.【答案】解：由①，得x<4．
由②，得x≥2．
∴这个不等式组的解集为2≤x<4． 
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

20.【答案】解：(1)△EFG是直角三角形．理由如下：

∵AB、DC分别平移到EF和EG的位置，
∴四边形AEFB、四边形DEGC均是平行四边形，
∴AB//EF，DC//EG，
∴∠EFG=∠B，∠EGF=∠C．
∵∠B与∠C互余，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠EFG+∠EGF=90°．
∵∠FEG+∠EFG+∠EGF=180°，
∴∠FEG=90°，
∴△EFG是直角三角形．
(2)AB、DC分别平移到EF和EG的位置，
∴BF=AE，CG=DE，
∵AD=AE+ED=4，
∴BF+CG=4，
∵BC=BF+FG+CG=10，
∴FG=10−4=6． 
【解析】(1)根据∠B=∠EFG，∠C=∠EGF，结合∠B与∠C互余，可判断△EFG的形状；
(2)在Rt△EFG中利用勾股定理即可得出答案．
本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是根据题意得出四边形AEFB、四边形DEGC均是平行四边形．

21.【答案】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，
依题意得：3x+13y=100x+y=100，
解得x=25y=75．
答：大和尚有25人，小和尚有75人． 
【解析】设大和尚有x人，小和尚有y人，根据“有100个和尚”、“100个馒头大和尚一人分3个，小和尚3人分一个”列出方程组并解答．
本题考查了二元一次方程组的应用和数学常识，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程组，再求解．

22.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；

(2)如图，点P即为所求． 
【解析】(1)利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
(2)连接CA′交NM与点P，连接AP，点P即为所求．
本题考查作图−轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．

23.【答案】解：(1)∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−60°−40°=80°．
∵AC⊥BE，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°−∠BAC=90°−80°=10°．

(2)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC=12×80°=40°，
∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=60°+40°=100°．
∵DG平分∠ADC，
∴∠GDC=12∠ADC=12×100°=50°．
∵∠EBC=∠ABC−∠ABE=60°−10°=50°，
∴∠EBC=∠GDC．
∴DG//BE． 
【解析】(1)根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，再由垂直的定义及作角性质可得答案；
(2)由角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠GDC=∠EBC.再根据平行线的判定方法可得结论．
此题考查的是平行线的判定和三角形内角和定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．

24.【答案】解：(1)设单独租用35座客车x辆，
由题意可得：35x=45(x−1)−25，
解得x=7，
∴35x=35×7=245，
答：该校七年级学生外出研学活动的人数是245人；
(2)设租用35座客车a辆，则租用45座客车(6−a)辆，
由题意可得：35a+45(6−a)≥245．
解式，得a≤212，
∵a取正整数，
∴a=1或2，
当a=1时，6−a=5，租金为320×1+380×5=2220(元)；
当a=2时，6−a=4，租金为320×2+380×4=2160(元)；
∵2160<2220，
∴最省钱的租车方案是租用35座客车2辆，45座客车4辆．
答：最省钱的租车方案是租用35座客车2辆，45座客车4辆． 
【解析】(1)根据若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用45座客车，则可以少租一辆，且余25个座位，可以列出相应的方程，然后求解即可；
(2)根据(1)中的结果和学校决定同时租用这两种客车共6辆(可以坐不满)，可以列出相应的不等式，然后求解，再根据车的辆数为正整数，分别求出所需的租金，然后比较大小，即可得到最省钱的租车方案．
本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式．

25.【答案】解：(1)①∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−120°=60°．
∴∠ABD+∠ABC+∠ACB+∠ACD=90°，
∴∠ACD=90°−(∠ABD+∠ABC+∠ACB)=90°−(10°+60°)=20°．

②∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−α．
∵∠D=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠ABD+∠ABC+∠ACB+∠ACD=90°，
∴∠ACD=90°−(∠ABD+∠ABC+∠ACB)=90°−(β+180°−α)=α−β−90°．
(2)①如图，当点D在AB的左侧时，

设AB与CD交于点M．
∵∠D+∠ABD+∠DMB=∠A+∠ACD+∠AMC=180°，
又∠DMB=∠AMC，
∴∠D+∠ABD=∠A+∠ACD，
∴∠A+∠ACD−∠ABD=90°．
②如图，当点D在AB的右侧时，

∵∠D+∠ABD+∠DMB=∠A+∠ACD+∠AMC=180°，
又∠DMB=∠AMC，
∴∠D+∠ABD=∠A+∠ACD，
∴∠A+∠ABD−∠ACD=90°．
综上所述，当点D在AB的左侧时，∠A+∠ACD−∠ABD=90°；
当点D在AB的右侧时，∠A+∠ABD−∠ACD=90°． 
【解析】(1)①根据∠A+∠ABC+∠ACB=180°，利用三角内角和定理求得即可；
②根据∠A+∠ABC+∠ACB=180°，得∠ACD=90°−(∠ABD+∠ABC+∠ACB)=90°−(β+180°−α)=α−β−90°．
(2)分两种情况解答即可．
本题考查三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理．