2022-2023学年陕西省西安市新城区爱知中学七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年陕西省西安市新城区爱知中学七年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。

2022-2023学年陕西省西安市新城区爱知中学七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图所示的4个图案中是轴对称图形的是(    )
A. 阿基米德螺旋线 B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图 D. 太极图
2. 下列运算中，正确的是(    )
A. x2+x2=x4 B. 1÷x−2=x2 C. 2ab−ab=2 D. (x3)3=x6
3. 如图，点B在△CDE的边EC的延长线上，AB//CD，若∠B=50°，∠D=20°，则∠E的度数为(    )
A. 15°
B. 20°
C. 30°
D. 50°
4. 一个不透明的口袋里有四个完全相同的小球，分别写有数字3，4，5，6，口袋外有两个小球，分别写有数字3，6，现随机从口袋里取出一个小球，以这个小球与口袋外的两个小球上的数为边能构成等腰三角形的概率是(    )
A. 14 B. 12 C. 34 D. 1
5. 等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为(    )
A. 12 B. 43 C. 43或2 D. 43或12
6. 如图，点D在△ABC的BC边上，DE与AC交于点F，若∠1=∠2=∠3，AE=AC，则(    )
A. △ABD≌△AFE
B. △AFE≌△ADC
C. △AFE≌△DFC
D. △ABC≌△ADE
7. 如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为16，则△PBC的面积为(    )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
8. 如图，△BDC为等腰直角三角形，延长BD至A，连接AC，作∠ABC的角平分线BE交DC于F，且BE⊥AC于E.若AE=12，△ABC的面积为360，则EF的长度为(    )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. 6xy3⋅(−12x3y2)= ______ ．
10. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是角平分线，DE⊥AB于E，AB=8cm，则△BDE周长为______ cm．


11. 如图，在一张纸片上将△BED翻折得到三角形AED，并以AB为边作等腰△ABC，其中AB=AC，且E，A，C三点共线，∠EBC=42°，则∠BAC的度数是______ ．

12. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则等腰三角形的顶角度数为______．
13. 在扇形OAB中，∠AOB=30°，扇形所在圆的半径为12，点P，N，M分别是弧AB，线段OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. (本小题5.0分)
计算：(5−π)0−|−18|+(−2)−3．
15. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(2x+y)(2x−y)−(8x3y−2xy3−x2y2)÷2xy，其中x=−1，y=2．
16. (本小题5.0分)
如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)．
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△AB1C1；
(2)求△AB1C1的面积．

17. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，请用尺规作图法，在BC边上求作一点P，使得S△ABP=S△BCD(保留作图痕迹，不写作法)．

18. (本小题6.0分)
如图，△ABC中，∠C=40°，∠B=70°，AE平分∠CAB，AD⊥BC于D，DF⊥AE于F．
(1)求∠CAE的度数；
(2)求∠ADF的度数．

19. (本小题8.0分)
如图，点A，C，F，D在同一条直线上，BC⊥AD，EF⊥AD，ED//AB，且ED=AB．
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若AD=10，CF=3，求DF的长．

20. (本小题8.0分)
在一个不透明的袋子中装有5个红球和10个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．
(1)求出摸出的球是红球的概率；
(2)为了使摸出两种球的概率相同，再放进去9个同样的红球或黄球，那么这9个球中红球和黄球的数量分别应是多少？
21. (本小题8.0分)
为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC=21°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB=69°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度都等于12米，量得旗杆与楼之间距离为DB=30米，求每层楼的高度大约多少米？

22. (本小题8.0分)
某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，于2023年C月开始采用以用户为单位按月分段收费办法收取水费，2023年3月底以前按原收费标准收费.两种收费标准见下表：
原收费标准
新按月分段收费标准
每吨2元
(1)每月用水不超过10吨(包括10吨)的用户，每吨收费1.8元；每吨2元；
(2)每月用水超过10吨的用户，其中的10吨按每吨1.8元收费，超过10吨的部分，按每吨a元收费(a>1.8)．
(1)居民甲三月份、四月份各用水20吨，但四月份比三月份多交水费8元，求上表中a的值；
(2)若居民甲五月份用水x(吨)，应交水费y(元)，求y与x之间的关系式．
23. (本小题10.0分)
如图，△ABC中，AD平分∠BAE，AD⊥BE，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E．
(1)若∠BAE=48°，求∠C的度数；
(2)若△ABC周长26，AF=6，求DC的长度．

24. (本小题12.0分)
问题提出：(1)小李和小王在一次学习中遇到了以下问题，如图1，AD是△ABC的中线，若AB=7，AC=5，求BC和AD的取值范围.他们利用所学知识很快计算出了BC的取值范围，请你也算一算BC的取值范围______ ．
探究方法：但是他们怎么也算不出AD的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE.可证出△ACD≌△EBD，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到△ABE中，进而求出AD的取值范围．
问题解决：(2)如图2，在△ABC中，点E在BC上，且DE=DC，过E作EF//AB，且EF=AC.求证：AD平分∠BAC．
问题拓展：(3)思考：已知，如图3，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠FAC=90°，试探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明．
∖ 

答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.【答案】B 
【解析】解：A、x2+x2=2x2，故A不符合题意；
B、1÷x−2=x2，故B符合题意；
C、2ab−ab=ab，故C不符合题意；
D、(x3)3=x9，故D不符合题意；
故选：B．
利用合并同类项的法则，负整数指数幂，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

3.【答案】C 
【解析】解：∵AB//CD，∠B=50°，
∴∠B=∠BCD=50°，
∵∠BCD=∠D+∠E，∠D=20°，
∴∠E=30°，
故选：C．
根据平行线的性质和三角形外角的性质即可得出答案．
本题主要考查了平行线的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解：∵一个不透明的口袋里有四个完全相同的小球，分别写有数字3，4，5，6，
∴共有4种等可能的结果，
∵以这个小球与口袋外的两个小球上的数为边能构成等腰三角形的有：3，6，6，共1种情况，
∴能构成等腰三角形的概率是14，
故选：A．
由题意可知共有4种等可能的结果，再由三角形的三边关系和等腰三角形的判定得出能构成等腰三角形的有1种情况，然后由概率公式求解即可．
此题考查了概率公式、等腰三角形的判定以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

5.【答案】D 
【解析】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为8时，
∵等腰△ABC的周长为20，
∴它的底边长=20−8−8=4，
∴它的“优美比”=48=12；
当等腰三角形的底边长为8时，
∵等腰△ABC的周长为20，
∴它的腰长=12×(20−8)=6，
∴它的“优美比”=86=43；
综上所述：它的“优美比”为43或12，
故选：D．
分两种情况：当等腰三角形的腰长为8时；当等腰三角形的底边长为8时；然后分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：∵∠1=∠2=∠3，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠ADC=∠B+∠1，
∴∠ADE+∠3=∠B+∠1，
∴∠B=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
∠B=∠ADE∠BAC=∠DAEAC=AE，
∴△ABC≌△ADE(AAS)．
故选：D．
证出∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，由“AAS”可证△ABC≌△ADE，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：延长AP交BC于D点，如图，
∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP=∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB，
∴∠BAP=∠BDP，
∴BA=BD，
∴AP=DP，
∴S△BPD=12S△ABD，S△CPD=12S△CAD，
∴S△BPD+S△CPD=12S△ABC=12×16=8，
即△PBC的面积为8．
故选：B．
延长AP交BC于D点，如图，先利用等角的余角相等得到∠BAP=∠BDP，所以BA=BD，则根据等腰三角形的性质得到AP=DP，然后根据三角形面积公式得到S△BPD+S△CPD=12S△ABC=8．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰三角形的判定与性质．

8.【答案】A 
【解析】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵BE⊥AC，
∴∠BEA=∠BEC=90°，
∵BE=BE，
∴△AEB≌△CEB(ASA)，
∴AE=CE=12，
∴AC=2AE=24，
∵△ABC的面积为360，
∴12AC⋅BE=360，
∴12×24⋅BE=360，
解得：BE=30，
∵△BDC为等腰直角三角形，∠BDC=90°，
∴BD=DC，∠ABE+∠BFD=90°，
∵∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，
∴∠A=∠BFD，
∵∠BDF=∠AEB=90°，
∴△BDF≌△CDA(AAS)，
∴BF=AC=24，
∴EF=BE−BF=6，
故选：A．
根据角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，再根据垂直定义可得∠BEA=∠BEC=90°，从而利用ASA可证△AEB≌△CEB，再利用全等三角形的性质可得AE=CE=12，从而可得AC=24，进而利用三角形的面积公式可求出BE=30，然后利用等腰直角三角形的性质可得BD=DC，∠ABE+∠BFD=90°，再根据直角三角形的两个锐角互余可得∠A+∠ABE=90°，从而可得∠A=∠BFD，最后利用AAS证明△BDF≌△CDA，从而利用全等三角形的性质可得BF=AC=24，进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

9.【答案】−3x4y5 
【解析】解：原式=6×(−12)⋅(x⋅x3)⋅(y3⋅y2)
=−3x4y5，
故答案为：−3x4y5．
根据单项式乘单项式的法则进行计算即可．
本题考查单项式乘单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

10.【答案】8 
【解析】解：∵△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8cm，
∴2AC2=AB2，即2AC2=64，解得AC=4 2．
∵AD是角平分线，DE⊥AB于E，
∴∠DAC=∠DAE，CD=DE，
在Rt△CAD与Rt△EAD中，
CD=DEAD=AD，
∴Rt△CAD≌Rt△EAD(HL)，
∴AE=AC=4 2，
∴BE=AB−AE=(8−4 2)cm，
∴△BDE的周长=(BD+DE)+BE=BC+BE=4 2+8−4 2=8cm．
故答案为：8
先根据△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8cm得出AC的长，再根据全等三角形的判定定理得出△CAD≌△EAD，故可得出AE的长，进而得出BE的长，由此可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．

11.【答案】152° 
【解析】解：由折叠可知：EA=EB，
∴∠EBA=∠EAB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠EAB=∠ABC+∠C，
∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠EAB+∠ABC=3∠ABC=42°，
∴∠ABC=14°，
∴∠BAC=180°−2×14°=152°，
故答案为：152°．
根据翻折的性质得EA=EB，利用等腰三角形的性质和三角形外角定义证明∠ABC=14°，再利用三角形内角和定理即可解决问题．
本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角定义，解决本题的关键是掌握翻折的性质．

12.【答案】40°或140° 
【解析】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，

∵∠ABD=50°，BD⊥AC，
∴∠A=90°−50°=40°，
∴三角形的顶角为40°；
②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，

∵∠ABD=50°，BD⊥AC，
∴∠BAD=90°−50°=40°，
∵∠BAD+∠BAC=180°，
∴∠BAC=140°
∴三角形的顶角为140°，
故答案为40°或140°．
本题要分情况讨论：等腰三角形的顶角是钝角或者是锐角两种情况．
本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．

13.【答案】12 
【解析】解：如图，作点P关于OA的对称点C，作点P关于OB的对称点D，连接CD交OA于点N，交OB于点M，连接OD、OP、OC，

∵点P、D关于OB对称，
∴MD=MP，∠DOB=∠POB，OD=OP，
∵点P、C关于OA对称，
∴NC=NP，∠COA=∠POA，OP=OC，
∴MP+NP+MN=MD+NC+MN=CD，
此时MP+NP+MN的值最小，即△PMN周长的最小，最小值是线段CD的长，
∵OD=OP，OP=OC，
∴OD=OC=OP=12，
∵∠COD=∠DOB+∠POB+∠COA+∠POA=2(∠POB+∠POA)=2∠AOB=2×30°=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OD=OC=OP=12，
即△PMN周长的最小值是12，
故答案为：12．
作点P关于OA的对称点C，作点P关于OB的对称点D，连接CD交OA于点N，交OB于点M，连接OD、OP、OC，根据对称性可以对称MD=MP，∠DOB=∠POB，OD=OP，NC=NP，∠COA=∠POA，OP=OC，再利用两点之间，线段最短得出△PMN周长的最小值是线段CD的长，再证△COD是等边三角形，即可得出CD的长，于是得出△PMN周长的最小值．
本题考查了轴对称−最短路径问题，等边三角形的判定与性质，利用对称的性质把△PMN的周长转化为线段CD的长是本题的关键．

14.【答案】解：原式=1−18−18
=34． 
【解析】根据零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的运算方法进行计算即可．
本题考查零指数幂，绝对值以及负整数指数幂，掌握零指数幂，负整数指数幂的运算性质以及绝对值的定义是正确解答的前提．

15.【答案】解：(2x+y)(2x−y)−(8x3y−2xy3−x2y2)÷2xy
=4x2−y2−(4x2−y2−12xy)
=4x2−y2−4x2+y2+12xy
=12xy，
当x=−1，y=2时，原式=12×(−1)×2=−1． 
【解析】先利用平方差公式，多项式除以单项式的法则进行计算，然后再把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．

16.【答案】解：(1)如图，△AB1C1为所作；

(2)△AB1C1的面积=4×3−12×3×1−12×3×1−12×4×2=5． 
【解析】(1)利用网格特点和轴对称的性质画出点B、C关于直线l的对称点即可；
(2)用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△AB1C1的面积．
本题考查了作图−轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键(先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点)．

17.【答案】解：点P即为所求． 
【解析】根据三角形中线的意义作图．
本题考查了复杂作图，掌握三角形中线的意义是解题的关键．

18.【答案】解：(1)∵∠C=40°，∠B=70°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−70°−40°=70°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=12∠BAC=12×70°=35°；
(2)∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°−∠C=90°−40°=50°，
由(1)得∠CAE=35°，
∴∠DAE=∠DAC−∠CAE=50°−35°=15°，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°，
∴∠ADF=90°−∠DAE=90°−15°=75°． 
【解析】(1)根据三角形内角和定理求出∠BAC=180°−∠B−∠C=70°，根据角平分线定义得出∠CAE=12∠BAC，即可求解；
(2)根据垂直定义得出∠ADC=90°，∠AFD=90°，根据直角三角形的两锐角互余得出∠DAC=90°−∠C=50°，求出∠DAE，再根据直角三角形的两锐角互余求出答案即可．
本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义和直角三角形的性质，能熟记三角形内角和是180°和直角三角形的两锐角互余是解题的关键．

19.【答案】(1)证明：∵ED//AB，
∴∠A=∠D，
∵BC⊥AD，EF⊥AD，
∴∠ACB=∠DFE=90°，
在△ABC和△DEF中，
∠ACB=∠DFE∠A=∠DAB=DE，
∴△ABC≌△DEF(AAS)；
(2)∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF，
∵AD=AC+CF+DF=10，CF=3，
∴DF=72． 
【解析】(1)根据平行线的性质及垂直定义推出∠A=∠D，∠ACB=∠DFE=90°，利用AAS即可证明△ABC≌△DEF；
(2)根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△ABC≌△DEF是解题的关键．

20.【答案】解：(1)∵袋子中装有5个红球和10个黄球，这些球除颜色外都相同，
∴摸出每一球的可能性相同，
∴摸出红球的概率是55+10=13；
(2)设放入红球x个，则黄球为(9−x)个，
由题意得：5+x15+9=10+9−x15+9，
解得：x=7，
则9−x=2，
∴放进去的这9个球中红球7个，黄球2个． 
【解析】(1)直接由概率公式求解即可；
(2)设放入红球x个，则黄球为(7−x)个，由题意：摸出两种球的概率相同，列出方程，解方程即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21.【答案】解：由题意得：CD⊥DB，AB⊥DB，
∴∠CDP=∠ABP=90°，
∵∠APB=69°，
∴∠PAB=90°−∠APB=21°，
∵∠CPD=21°，
∴∠PAB=∠CPD=21°，
∵DB=30米，PB=12米，
∴DP=BD−BP=18(米)，
在△BAP和△DPC中，
∠CDP=∠ABP∠PAB=∠CPDCD=PB，
∴△BAP≌△DPC(AAS)，
∴DP=AB=18米，
∴每层楼的高度=AB6=3(米)，
∴每层楼的高度大约为3米． 
【解析】根据题意可得：CD⊥DB，AB⊥DB，从而可得∠CDP=∠ABP=90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠PAB=21°，从而可得∠PAB=∠CPD=21°，然后根据AAS证明△BAP≌△DPC，从而利用全等三角形的性质可得DP=AB=18米，最后进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

22.【答案】解：(1)由题意得，
(20−10)a+10×1.8=20×2+8，
解之得：a=3．
(2)由题意得，
当0≤x≤10时，y=1.8x．
当x>10时，y=1.8×10+3(x−10)=3x−12． 
【解析】(1)首先观察表格，理解题意，然后根据题意列方程：(20−10)a+10×1.8=20×2+8，解此方程即可求得a的值；
(2)由于2023年C月开始采用以用户为单位按月份段收费办法收取水费，所以分别从当0≤x≤10时与当x>10时去分析，根据题意即可求得函数解析式．
本题主要考查了一次函数、一元一次方程的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，读懂表格，求得一次函数，一元一次方程，注意分类讨论思想的应用．

23.【答案】解：(1)∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADE=90°，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD=∠EAD，
在△ABD和△AED中，
∠BAD=∠EAD AD=AD ∠ADB=∠ADE ，
∴△ABD≌△AED(ASA)，
∴BD=DE，AB=AE，
∵EF垂直平分AC，
∴AB=AE=EC，
∴∠C=∠CAE，
∵∠BAE=48°，
∴∠AED=12×(180°−48°)=66°，
∴∠C=12∠AED=33°；
(2)由(1)知：AE=EC=AB，BD=DE，
∴AB+BD=EC+DE=DC，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BD+DC+AC=2DC+AC=26，
∵AE=EC，EF⊥AC，AF=6，
∴AC=2AF=12，
∴DC=7． 
【解析】(1)利用ASA证明△ABD≌△AED，根据全等三角形的性质得出BD=DE，AB=AE，根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，求出∠AEB和∠C=∠EAC，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质即可得出答案；
(2)根据已知能推出△ABC的周长=2DC+AC，即可得出答案．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．

24.【答案】2 【解析】(1)解：如图1，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，
则AE=2AD，
∵AB−AC ∴7−5 即2 故答案为：2 ∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴△BDE≌△CDA(SAS)，
∴BE=AC=5，
∵AB−BE ∴7−5<2AD<7+5，
即1 (2)证明：如图，延长AD到M，使DM=DF，连接CM，连接CF，

∴△CDM≌△EDF(SAS)，
∴CM=EF，
∴∠M=∠DFE，
∵EF=AC，
∴CM=AC，
∴∠M=∠CAM，
∵EF////AB，
∴∠BAM=∠DFE，
∴∠BAM=∠CAM，
∴AD平分∠BAC；
(3)解：EF=2AD，EF⊥AD，证明如下：
如图，在AD的延长线上截取DH=AD，连接CH，

则AH=2AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
∴△CDH≌△BDA(SAS)，
∴CH=AB，∠AHC=∠BAE，
∵AB=AE，∠BAH=90°，
∴CH=AE，∠AHC=90°，
∴∠ACH+∠CAH=90°，
∵∠FAC=90°，
∴∠FAE+∠CAH=90°，
∴∠FAE=∠ACH，
∴△FAE≌△ACH(SAS)，
∴EF=AH，∠AEF=∠AHC=90°，
∴EF=2AD，EF⊥AD．
(1)延长AD到E，使DE=AD，连接BE，则AE=2AD，先根据AB−AC (2)延长AD到M，使DM=DF，连接CM，先证明△CDM≌△EDF得到CM=EF和∠M=∠DFE，再证明CM=AC得到∠M=∠CAM，最后根据EF////AB得到∠BAM=∠DFE，进一步证明∠BAM=∠CAM即可；
(3)在AD的延长线上截取DH=AD，连接CH，则AH=2AD，先证明△CDH≌△BDA得到CH=AB和∠AHC=∠BAE，进一步证明CH=AE、∠AHC=90°和∠FAE=∠ACH，再证明△FAE≌△ACH得到EF=AH和∠AEF=∠AHC=90°，即可求解．
本题考查了三角形的综合应用，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定．