2021届高三上学期第三次考试数学（文）试卷 Word版含答案

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2021届高三上学期第三次考试
文科数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则的子集个数为（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，则复数的虚部是( )
A． B． C． D．
3．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为( )

A． B． C． D．
5．已知，则的值域为( )
A． B． C． D．
6．已知正项等比数列满足：，，则( )
A． B． C． D．
7．设、满约束条件，则的最小值是( )
A． B． C． D．
8．函数的部分图像大致为
A． B．
C． D．
9．设是两平面，是两直线．下列说法正确的是（ ）
①若，则
②若，则
③若，则
④若，，，，则
A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
10．函数（其中，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（ ）

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
11．已知椭圆和双曲线，
若椭圆的离心率，椭圆和双曲线渐近线的交点与椭圆其中一个焦点的连线垂直于轴．则双曲线其中一条渐近线的斜率为( )
A． B． C． D．
12．已知是圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知，，，则 ．
14．已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为 ．
15．已知抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，则的最小值是 ．
16．已知正三棱柱的侧面积为，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线与所成角的余弦值等于 ．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130~140分数段的人数为2人．
（1）估计这所学校成绩在90~140分之间学生的参赛人数；
（2）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．





18．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，若，．
（1）求；
（2）当时，求的面积．




19．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，
，．
（1）证明：；
（2）设点在线段上，且，若的面积为，求四棱锥的体积．

20．（12分）已知函数，，.
（1）求函数的极值点；
（2）若恒成立，求的取值范围.



21．（12分）已知是椭圆的左、右焦点，圆（）与椭圆有且仅有两个交点，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过正半轴上一点的直线与圆相切，与椭圆交于点，，若，求直线的方程．





请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）把的参数方程化为极坐标方程；
（2）求与交点的极坐标．






23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数，．
（1）当时，解不等式；
（2）若的值域为，求．




2021届高三上学期第三次考试文科数学试题答案
1． C 2． B 3． A 4． B 5． D 6． C 7． A 8． C 9 D 10． B
11．【答案】D
【解析】设椭圆的半焦距为，双曲线的半焦距为，双曲线的一条渐近线与椭圆的交点，
所以双曲线的渐近线的斜率为．
12． 【答案】A
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】
【解析】设正三棱柱的底面边长为，高为，球的半径为，由题意知，即，
底面外接圆半径，
由球的截面圆性质知，
当且仅当时取等号，将三棱柱补成一四棱柱，如图，知，
即为异面直线与所成角或补角，，
，所以．


17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设分之间的人数是，由分数段的人数为2人，
可知，得．
（2）依题意，第一组共有人，记作、、、；
第五组共有2人，记作、．
从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：、、、、、、、、、、、、、、．
设事件：选出的两人为“黄金搭档组”，若两人成绩之差大于20，
则两人分别来自第一组和第五组，共有8种选法，故．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】∵，
∴
，
即．
∴，，，则．
（2）∵，∴，，
∵，∴，
由正弦定理，可得，，
所以．
19．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】证明：（1），，
平面平面，交线为，
平面，从而，
，，
，平面，
平面，．
（2）设，则，，
由（1）知平面，，，
取中点，连结，，则，，
且由（1）知平面，平面，，
，，
，，
，
由，解得，
在中，到的距离，
到平面的距离，
四棱锥的体积．

20．【答案】（1）极大值点为，无极小值点.（2）.
【解析】（1）的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增，无极值点；
当时，解得，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以函数有极大值点，为，无极小值点.
（2）由条件可得恒成立，则当时，恒成立，
令，则，令，
则当时，，所以在上为减函数.
又，所以在上，；在上，.
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以，所以.
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意，得，所以，
所以椭圆为，将点代入，解得，则，
所以椭圆的标准方程为．
（2）由题意知直线的斜率存在，设斜率为，（），
则直线方程为，
设，，直线与圆相切，则，即，
联立直线与椭圆方程，消元得，
，，，
因为，所以，即，，
所以，解得，即，
所求直线方程为．
22．【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），
转换为直角坐标方程为：，
转换为极坐标方程为：．
（2）曲线的极坐标方程为．
转换为直角坐标方程为：，
所以：，
整理出公共弦的直线方程为：，
故：，解得或，
转换为极坐标为或．
23．【答案】（1）或；（2）见解析．
【解析】（1）当时，，
①当时，不等式可化为：，即，故，
②当时，不等式可化为：，即，故，
③当时，不等式可化为，即，故，
综上，不等式的解集是或．
（2）根据绝对值三角不等式可知，
的值域是，
故，，
故，
当且仅当，即时取等号时，由基本不等式可得．