2021届河北省石家庄市高三上学期教学质量检测（一）数学试题（解析版）

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2021届河北省石家庄市高三上学期教学质量检测（一）数学试题


一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用交集的定义可求得集合.
【详解】
集合，，则.
故选：B.
【点睛】
本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.
2．若，则复数（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】本题根据复数的除法运算直接计算即可.
【详解】
解：因为，所以
故选：D
【点睛】
本题考查复数的除法运算，是基础题.
3．北京冬奥会将于2022年2月4日到20日在北京和张家口举行．为纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先求出从一套5枚邮票中任取3枚的不同取法有种，再求出恰有1枚吉祥物邮票的情况有种，最后计算恰有1枚吉祥物邮票的概率即可
【详解】
解：从一套5枚邮票中任取3枚的不同取法有种，
恰有1枚吉祥物邮票的情况有种，
则恰有1枚吉祥物邮票的概率，
故选：C
【点睛】
本题考查实际问题中的组合计数问题、利用古典概型计算概率，是基础题.
4．已知过点的直线l与圆交于、两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】先根据题意求出圆心的坐标和半径，再求圆心到定点的距离，最后求的最小值
【详解】
解：将圆的方程化为标准方程，
则圆心为，半径，则圆心到定点的距离为，
最小值为.
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、求弦长的最小值，是基础题.
5．在边长为2的等边三角形ABC中，若，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【解析】根据条件，转化，再根据数量积公式计算结果.
【详解】
，
所以
.
故选：A
【点睛】
本题考查向量数量积，平面向量基本定理，重点考查转化与计算，计算能力，属于基础题型.
6．原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中N0为时钍234的含量．已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（ ）
A．12贝克 B．12 ln2贝克 C．6贝克 D．6 ln2贝克
【答案】A
【解析】由时，钍234含量的瞬时变化率为，可求，从而可求.
【详解】
解：，所以，
，(贝克)，
故选：A.
【点睛】
考查导数的几何意义以及求函数的值，基础题.
7．已知F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F1AF2＝60°，若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先根据角平分线定理和双曲线的定义求得和的值，再结合余弦定理计算离心率.
【详解】
不妨设点在第一象限，的角平分线交轴于点，因为点是线段的中点，所以，根据角平分线定理可知，又因为，所以，，由余弦定理可得，所以，所以.

故选：B
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，双曲线的定义，三角形角平分线定理，重点考查转化思想，计算能力，属于中档题型.
8．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（ ）
A．25︰1 B．1︰25 C．1︰5 D．5︰1
【答案】D
【解析】根据题意得到三棱柱的高是内切球的直径，也是底面三角形内切圆的直径，根据等边三角形的性质得到内切球和外接球的半径，计算表面积的比值.
【详解】
设点是三棱柱外接球和内切球的球心，点是底面等边三角形的中心，点是底边的中点，连结，，，，设底面三角形的边长为，则，，
因为三棱锥内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径，所以，即三棱柱内切球的半径，
，所以，即三棱柱外接球的半径，
所以内切球的表面积为，外接球的表面积，
所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为

故选：D
【点睛】
本题考查空间几何体的内切球和外接球的表面积，重点考查空间想象，计算能力，属于中档题型.

二、多选题
9．设非零实数，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】利用不等式的性质和特值法依次判断选项即可得到答案.
【详解】
对选项A，设，，，满足，
此时不满足，故A错误；
对选项B，因为，且，所以，故B正确.
对选项C，设，，，满足，
此时，，不满足，故C错误；
对选项D，因为，所以，，
所以，故D正确.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查不等式的比较大小，特值法为解题的关键，属于简单题.
10．记函数的零点为，则关于的结论正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】分析函数的单调性，利用零点存在定理可判断A、B选项的正误，利用指数与对数的转化可判断B、D选项的正误.
【详解】
由于函数在上单调递增，且，，
，
由于是函数的零点，则，即，，即，则，
故A、D选项错误，B、C选项正确.
故选：BC.
【点睛】
本题考查利用零点存在定理判断零点的取值范围，同时也考查了指数与对数转化的应用，考查计算能力，属于中等题.
11．2020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某大型超市为了解人们以后消费方式的变化情况，更好的提高服务质量，收集并整理了本超市2020年1月份到8月份的人们线上收入和线下收入的数据，并绘制如下的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（ ）

A．该超市这8个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值
B．该超市这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月
C．该超市这8个月中，每月总收入与时间呈现负相关
D．从这8个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费
【答案】ABD
【解析】根据折线图逐个判断每个选项的正误.
【详解】
对于A，由折线图可知，该超市这8个月中，线上收入的平均值为，线下收入的平均值为，可知，因此线上收入的平均值高于线下收入的平均值，故A正确；
对于B，由折线图可知，该超市这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月，相差1万元，故B正确；
对于C，由折线图可知，该超市这8个月中，每月总收入与时间呈现正相关，故C错误；
对于D，由折线图可知，从这8个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查折线统计图的分析和理解，属于基础题.
12．动点P（x，y）在单位圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，24秒旋转一周．已知时间t＝0时，点P坐标为，当t∈[0，24]时，记动点P的横、纵坐标之和x＋y为关于t（单位：秒）的函数g（t），则关于函数g（t）描述正确的是（ ）
A． B．g（t）在[5，17]上单调递减
C．g（13）＝g（21） D．g（t）在区间[0，24]上有3个零点
【答案】ABC
【解析】根据题意表示单位圆上点的横坐标和纵坐标，并表示函数，再依次判断选项.
【详解】
由已知条件可知该函数的周期为，
，
当时，，所以，

，
，故A正确；
时，，
所以在区间上单调递减，所以B正确；
，，
所以，故C正确；
，则，
，或，解得：或，只有2个零点，故D不正确.
故选：ABC
【点睛】
本题考查三角函数模型的简单综合应用，重点考查读懂题意，三角函数性质的的应用，属于中档题型.


三、填空题
13．已知实数x，y满足，则的最大值为________．
【答案】1
【解析】先根据约束条件画出可行域，再根据可行域求目标函数的最大值即可.
【详解】
解：由约束条件，画出可行域，如图，

有题意，解得点，根据图象可得，
当目标函数过点时，取得最大值，
故答案为：1.
【点睛】
本题考查简单的线性规划、求线性目标函数的最值，是基础题.
14．已知，2sin2α＋1＝cos2α，则cosα＝________．
【答案】
【解析】根据二倍角公式化简为，再根据，得到的值.
【详解】
，
即 ，，①
又因为，②
由①②可知，，又因为，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题考查二倍角公式，同角三角函数基本关系式，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.
15．设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2），线段FA与抛物线交于点B，且，则|BF|＝________．
【答案】
【解析】设，根据可得出用表示的点坐标，再代入抛物线方程可得出值，然后求得两点坐标，利用两点之间的距离公式可得答案.
【详解】
由题得，设，则，
，
由得解得，
代入椭圆方程得，解得，
所以，，
所以，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系.
16．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋an＝1，记bm为数列{an}中能使成立的最小项，则数列{bm}的前99项之和为________．
【答案】
【解析】首先根据与的关系，得到数列的通项公式，再根据规律找到满足条件能使成立的最小项，并对于不同的值，计算满足条件的个数，再求和.
【详解】
因为，所以，所以当时，，
即，所以，因为为数列中能使成立的最小项，所以，所以可得当时，，当时，，当时，，当时，，……，，所以数列的前99项之和为：.
故答案为：
【点睛】
本题考查已知和的关系求数列的通项公式，以及数列新定义，分组求和，重点考查逻辑推理，计算能力，属于中档题型，本题的难点是理解题意，对于每一个值，计算满足条件个数.

四、解答题
17．在①，②asinC＝ccos，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答．
问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D是边BC上一点，BD＝5，AD＝7，且________，试判断CD和BD的大小关系________．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案见解析.
【解析】先利用余弦定理求出的长，选条件①：利用辅助公式和正弦定理即可求解；选条件②：利用边化角，然后利用两角差的余弦公式求出，最后根据等边三角形的性质，即可判断CD和BD的大小关系
【详解】
解：设AB=x，在中由余弦定理可得：

即，解得，
方案一：选条件①．
由得，


在中由正弦定理可得：解得：，

方案二：选条件②．
由正弦定理可得：代入条件得：
，
，
因为A为三角形内角，所以，故，
所以为等边三角形，
所以，所以CD