2021届河南省鹤壁市高级中学高三上学期第一次模拟测试（8月段考）数学（文）试题（解析版）

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2021届河南省鹤壁市高级中学高三上学期第一次模拟测试（8月段考）数学（文）试题


一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先解不等式，化简集合，再由并集的概念，即可得出结果.
【详解】
因为，，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查求集合的并集，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型.
2．“不等式在上恒成立”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”，令f（x）＝x2﹣x+m，开口向上，根据判别式△＜0，求出m的范围，根据充要条件的定义，进行求解；
【详解】
∵“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”，
∴△＝（﹣1）2﹣4m＜0，解得m，
又∵m⇒△＝1﹣4m＜0，
所以m是“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”的充要条件，
故选A．
【点睛】
本题考查充要条件的判断，涉及一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是条件转化的等价性，属于基础题．
3．函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据，利用指数、对数函数在定义域内的单调性，列不等式组求解集，即可
【详解】
由，知或
∴或，解得或
∴
故选:A
【点睛】
本题考查了指数、对数函数的性质，由不等式条件，结合指数、对数函数在对应区间内的单调性求解集
4．函数的最小正周期为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【详解】
分析:将函数进行化简即可
详解：由已知得
的最小正周期
故选C.
点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题
5．函数，下列结论正确的是（ ）
A．向右平移个单位，可得到函数的图像
B．的图像关于中心对称
C．的图像关于直线对称
D．在上为增函数
【答案】C
【解析】利用三角函数的图像与性质逐一判断即可.
【详解】
将向右平移个单位得到的函数为，故A错误；
因为，所以的图像不关于中心对称，故B错误；
因为，所以的图像关于直线对称，故C正确；
当时，，故D错误
故选：C
【点睛】
本题考查的是三角函数的图像和性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.
6．在中，的对边分别为，，，且满足，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据，结合二倍角的余弦公式化简得到，解得，从而得到，再根据，利用余弦定理结合基本不等式得到的范围即可.
【详解】
因为，
所以，
所以，
即，
解得
所以
又因为，
由余弦定理得：，
所以，当且仅当时，取等号，
则面积，
所以面积的最大值为
故选：D
【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用以及基本不等式的应用和二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
7．如果函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先根据函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值.
【详解】
∵函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称.
∴∴
当时，有.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查三角函数的简单性质，考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力，属基础题.
8．已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】转化是函数的一个零点为是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，利用图像判断即可
【详解】
因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，

则当时，在下方，即；
当时，在上方，即，
故选：B
【点睛】
本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想
9．若为函数的一个极值点，则下列图象一定不可能为函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据极值的定义逐项判断可得正确的选项.
【详解】
由于，，
则为函数的一个极值点等价条件为：，
且在的左右两侧取值异号.
对于选项A，，，，
且在的左右两侧取值可能异号，图象可能为函数的图象.
对于选项B，，，，且在的左右两侧取值可能异号，图象可能为函数的图象.
对于选项C，，，，在的左右两侧可取异号，故可能符合条件.
对于选项D，，，因此，不满足条件.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数的极值，一般地，若在及其附近可导，且在取得极值，那么且在的两侧附近导数异号.
10．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是(当较小时， )
A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27
【答案】C
【解析】根据题意，代值计算，即可得，再结合参考公式，即可估算出结果.
【详解】
根据题意可得：

可得，解得，
根据参考公式可得，
故与最接近的是.
故选：C.
【点睛】
本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.
11．设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【详解】试题分析：设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为
（），由已知（）在函数的图像上，∴，
解得，即，
∴，解得，故选C．
【考点】函数求解析式及求值

12．已知函数，若函数与相同的值域，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用导数研究函数的单调性，得出函数的值域，结合的图象可得的值域，从而得出结论．
【详解】
解：在上是减函数，
时，，，时，，时，，
可知在递减，递增，又函数是连续的．
∴在递减，递增，
所以值域为，若函数与有相同的值域，即需满足即可，则，
故选：C.

【点睛】
本题考查用导数求函数的值域，解题关键是确定函数的单调性，才能通过的值域得出不等关系．


二、填空题
13．命题“∀x＞0，x2+x＞1”的否定是_____．
【答案】
【解析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可；
【详解】
解：命题“”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“”
故答案为：
【点睛】
本题考查全称命题的否定，属于基础题.
14．已知函数，，则________.
【答案】
【解析】令，判定其奇偶性，再由题中条件，即可得出结果.
【详解】
∵，令，
则，
所以为奇函数，
因此，
又，
∴.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查由函数奇偶性求函数值，属于基础题型.
15．在中，，，边上的中线，则的面积为_________．
【答案】
【解析】利用，直接根据余弦定理以及面积公式计算即可.
【详解】
设，利用，
可得，解得或（舍）
所以，，．
所以．
所以．
故答案为：
【点睛】
本题考查余弦定理、三角形面积公式以及同角三角函数关系，着重考查计算，属基础题.
16．集合，，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________

①的值可以为2；
②的值可以为；
③的值可以为；
【答案】②③
【解析】根据对称性，只需研究第一象限的情况，计算：，得到，，得到答案.
【详解】
如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况，
集合：，故，即或，
集合：，是平面上正八边形的顶点所构成的集合，
故所在的直线的倾斜角为，，故：，
解得，此时，，此时.
故答案为：②③.

【点睛】
本题考查了根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用对称性是解题的关键.

三、解答题
17．设，其中，如果，求实数的取值范围.
【答案】或
【解析】由得，讨论方程的判别式，根据集合间的包含关系，得出实数的取值范围.
【详解】
由得，，
当，即时，，符合；
当，即时，，符合；
当，即时，中有两个元素，而；
∴
则，解得
∴或
【点睛】
本题主要考查了根据交集的结果求参数的范围，属于中档题.
18．设，命题p：，满足，命题q：x，.
（1）若命题是真命题，求a的范围；
（2）为假，为真，求a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由命题是真命题，则需命题p为真命题且q为真命题，建立关于a的不等式组，可得答案；
（2）由为假，为真、q同时为假或同时为真，分p假q假和p真q真，建立关于a的不等式组，可得a的取值范围；
【详解】
（1）命题p真时，则或， 得；
q真，则，得，所以真，；
（2）由为假，为真、q同时为假或同时为真，
若p假q假，则，得，
若p真q真，则，所以，，
综上或.
故a的取值范围是.
【点睛】
本题考查根据复合命题的真假求参数的范围的问题，属于基础题.
19．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .
【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.
【详解】
详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
点睛：三角函数求值的两种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
20．已知.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设的内角满足，若，求边上的高长的最大值.
【答案】（1）单调递增区间为和；（2）.
【解析】（1）方法一：利用两角差的正弦公式、二倍角公式化简可得；
方法二：积化和差公式可得；再利用三角函数的单调性即可得到结果；
（2）由，可解得 ；由于，可得．利用余弦定理和基本不等式可得，利用，即可求出边上的高长的最大值．
【详解】
（1）方法一：三角变换+三角函数图象及性质
由题意，得
.
由，解得，.
所以在时，函数的单调递增区间为和；
方法二：积化和差公式
由题意，得.
由，解得，.
所以在时，函数的单调递增区间为和；
（2）由，即，解得.
由，即，得.
由余弦定理，得.
由面积公式，知，即.
所以.
所以边上的高长的最大值为.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换、三角函数的单调性、余弦定理、基本不等式的应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．已知点，过点作抛物线的两切线，切点为.
（1）求两切点所在的直线方程；
（2）椭圆，离心率为，（1）中直线AB与椭圆交于点P，Q，直线的斜率分别为，，，若，求椭圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设出切点，利用切点处的导数是斜率，表示出切线方程，在切线上，求出两解，分别对应切点坐标，则方程可求.
（2）离心率为确定的一个关系；联立直线和椭圆方程，用上韦达定理，结合，再建立的一个关系，则椭圆方程可求.
【详解】
解：

（1）设切点，则
切线的斜率为，
所以抛物线上过点的切线的斜率为，切线方程为，
在切线上，所以，或，
当时，；当，，
不妨设，，
所以两切点所在的直线方程.
（2）由，得，又，
所以.
，得，
，
， ，又因为，，
，，，
所以椭圆的方程.
【点睛】
以直线和抛物线、椭圆的位置关系为载体，考查求直线方程、椭圆方程的方法；中档题.
22．已知函数.
（1）若在上只有一个零点，求a的取值范围；
（2）设为的极小值点，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）在上只有一个零点，方程在上只有一个解，设，则，求解函数的最值，推出结果即可.
（2），当时，恒成立，无极值，故，令，得，的极小值为，只需证，设函数，（），判断函数的单调性，求解函数的最大值，然后转化证明即可.
【详解】
（1）解：因为在上只有一个零点.
所以方程在上只有一个解.
设，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，，，
作出的大致图像，如图：

故a的取值范围为.
（2）
则，得.
故的极小值为.
证明，
只需证，
设函数，（），
令，解得；，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故.
于是，
则，
从而，即证.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式，考查了转化与划归的思想，属于难题.