2020年自贡中考数学试卷-含答案

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2020年自贡中考数学试卷
一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）
1.如图，∥，，则的度数为 （ ）

A. 40° B. 50° C. 55° D. 60°
2.5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开始网络直播，有着近千年历史自贡灯会进入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受“天下第一灯”的璀璨，人数700000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3.如图所示的几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
4.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
6.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
7.对于一组数据，下列说法正确是（ ）
A. 中位数是5 B. 众数是7 C. 平均数是4 D. 方差是3
8.如果一个角度数比它的补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是（ ）
A. 50° B. 70° C. 130° D. 160°
9.如图，在△中，,以点为圆心，长为半径画弧，交于点,连接;则的度数为 （ ）

A. 50° B. 40° C. 30° D. 20°
10.函数与的图象如图所示，则的大致图象为 （ ）

A. B. C. D.
11.某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务；设实际工作时每天绿化的面积为万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12.如图，在平行四边形中，，是锐角，于点，是的中点，连接；若，则的长为（ ）

A. B. C. D.
二.填空题(共6个小题，每题4分，共24分)
13.分解因式：= ．
14.与 最接近的自然数是 ________．
15.某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计，以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序 （只填番号）_________________．
①.绘制扇形图；②.收集最受学生欢迎菜品的数据；③.利用扇形图分析出受欢迎的统计图；④.整理所收集的数据．
16.如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为 ________ 米 （结果保留根号）

17.如图，在矩形中，是上的一点，连接,将△进行翻折，恰好使点落在的中点处，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作半圆与相切于点;若,则图中阴影部分的面积为 ____ ．
18.如图， 直线与轴交于点，与双曲线 在第三象限交于两点，且 ；下列等边三角形，，，……的边，，，……在轴上，顶点……在该双曲线第一象限的分支上，则= ____，前25个等边三角形的周长之和为 _______．

三.解答题(共8个题，共78分)
19.计算：．
20.先化简，再求值：，其中为不等式组的整数解．
21.如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且,连接和相交于点．
求证： ．

22.某校了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“:文明礼仪；：环境保护；；卫生保洁；:垃圾分类 ”四个主题，每个学生选一个主题参与；为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．


⑴.本次调查的学生人数是 人，= ；
⑵.请补全条形统计图；
⑶.学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动，如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是 ；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中一天是星期三的概率是 ．
23.甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销，甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．
⑴.以（单位：元）表示商品原价，（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出关于的函数关系式；
⑵.新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
24.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．
⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？
⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，．

∵的几何意义是线段与的长度之和
∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时
∴的最小值是3．
⑶.解决问题：
①.的最小值是 ；
②.利用上述思想方法解不等式：

③.当为何值时，代数式的最小值是2．
25.如图，⊙是△的外接圆，为直径，点是⊙外一点，且，连接交于点，延长交⊙于点．
⑴证明：=；
⑵.若，证明：是⊙的切线；
⑶.在⑵条件下，连接交⊙于点,连接;若，求的长．

26.在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、，交轴于点，点抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．
⑴.求抛物线的解析式；
⑵.如图1，连接,点是线段上方抛物线上的一动点，于点；过点作轴于点,交于点.点是轴上一动点，当 取最大值时．
①.求的最小值；
②.如图2，点是轴上一动点,请直接写出的最小值．














2020年自贡中考数学试卷答案
1. B．2. C.3. C．4. A．5. D．6. A．7. C．8. C．9. D．10. D．11. A．12. B．
13. ．14. 2．15.②④①③．16. ．17. .18.
19.解：原式=
20.解：，
解不等式组可得，
∵，即，且为整数，
∴，代入．
21.证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵CE=DF，
∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，
在△BCF和△ABE中，

∴（SAS），
∴AE=BF．
22.（1），
∴本次调查的学生人数为60人，，故m=30．
故答案为：60，m=30.
（2）C的人数为：60-18-12-9=21(人)，补全图形如下所示：


（3）星期一到星期五连续的两天为（星期一、星期二），（星期二、星期三），（星期三、星期四），（星期四、星期五）共4种情况，
符合题意的只有（星期一、星期二）这一种情况，故概率为；
在星期一到星期四任选两天的所有情况如下：（星期一、星期二），（星期一、星期三），（星期一、星期四），（星期二、星期三）、（星期二、星期四），（星期三、星期四）共6种情况，
其中有一天是星期三的情况有：（星期一、星期三），（星期二、星期三），（星期三、星期四）共3种情况，所以概率是.
故答案为：，.
23.解：（1）由题意可得，
，
当时，，
当时，，
由上可得，；
（2）由题意可知，当购买商品原价小于等于100时，甲商场打9折，乙商场不打折，所以甲商场购物更加划算；
当购买商品原价超过100元时，
若，即此时甲商场花费更低，购物选择甲商场；
若，即，此时甲乙商场购物花费一样；
若，即时，此时乙商场花费更低，购物选择乙商场；
综上所述：当购买商品原价金额小于200时，选择甲商场更划算；当购买商品原价金额等于200时，选择甲商场和乙商场购物一样划算；当购买商品原价金额大于200时，选择乙商场更划算．
24.解：(3)①设A表示的数为4，B表示的数为-2，P表示的数为x，
∴表示数轴上的点P到4的距离，用线段PA表示，
表示数轴上的点P到-2的距离，用线段PB表示，
∴的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值为AB，
且线段AB的长度为6，
∴最小值为6.
故答案为：6.
②设A表示-3，B表示1，P表示x，
∴线段AB的长度为4，则，
几何意义表示为PA+PB，
∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB，
∴P不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧，
即不等式的解集为或．
故答案为：或．
③设A表示-a，B表示3，P表示x，
则线段AB的长度为，
的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值，
∴
∴或，
即或；
故答案为：或.
25.解：（1）证明：如图，连接CO，
在△PCO和△PAO中，

∴△PCO≌△PAO（SSS），
∴∠CPO=∠APO，即PO为∠APC的角平分线，
∵PA=PC，
∴CD=AD，PF⊥AC，
∵AC为⊙O的弦，PF过圆心O，
∴F为优弧中点，
∴=，
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，且弦AB所对圆周角为∠ACB，
∴∠ACB=90°，
∵tan∠ABC=，
∴sin∠ABC=，cos∠ABC=，
设⊙O的半径为r，则AB=2r，
∴BC=ABcos∠ABC=，AC=ABsin∠ABC=，
∴，
∵PA=PC=AB，
∴PA=PC=，
∴，
∴PO=PD+OD=3r，
∴，即PA⊥OA，
又∵OA是⊙O半径，
∴PA是⊙O的切线；
（3）由（2）可得，∴，
在Rt△PBA中，，连接AE，可得∠AEB=90°，
∴∠PEA=∠PAB=90°，又∠APE=∠APB，
∴△PEA∽△PAB，
∴，∴，
过E作EN⊥PD于N，过B作BH⊥PF于H，如图所示，
∴∠BCD=∠CDF=∠BHD=90°，
∴四边形BCDH是矩形，
∴BH=CD=，
在Rt△BPH中，sin∠BPH=，
在Rt△PEN中，sin∠BPH=，∴，
∴，
∴ND=PD-PN=，
在Rt△NED中，DE=，
∵，
∴DE=．

26. （1）将A（-3,0）、B（1,0）代入二次函数得，
解之得，∴二次函数的解析式为；
（2）①将二次函数配方得，
∴M（-1,4）
设直线AM的解析式为，将代入直线可得，
解得，
∴直线AM的解析式为，
过E作直线，平行于直线AM，且解析式为，
∵E在直线AM上方的抛物线上，
∴；
当直线与AM距离最大时，EF取得最大值，
∴当与抛物线只有一个交点时，EF取得最大值，
将直线的解析式代入抛物线得，
由题意可得，△=，经计算得，将代入二次方程可得，
，
∴，即E点的横坐标为-2，将代入抛物线得，
∴，
又∵⊥轴，
∴，将代入直线AM，
∴，
∵，
∴B、C两点关于轴对称，
∴，
∴，当P、B、D三点不共线时，
当P、B、D三点共线时，，
∴当P、B、D三点共线时PC+PD取得最小值，
在Rt△BHD中。DH=2，BH=3，∴BD=，
∴的最小值为；
②过Q作直线平行于轴，并在轴右侧该直线上取一点G，使得，
QG=，
∴，当三点共线时，
DQ+QG取得最小值，设Q（0，y），则，
∵QG∥轴，
∴，∴，
∴的最小值为．