高考数学一轮复习作业本4.1 平面向量的线性运算与基本定理（含答案）

2020高考数学(理数)复习作业本4.1

平面向量的线性运算与基本定理

一         、选择题

1.已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1)，则下列结论正确的是（    ）

A.a∙b=2       B.a//b       C.|a|=|b|      D.b⊥(a+b)

2.设，已知两个向量，，则向量长度的最大值是（      ）

A、                                                   B、                                                      C、                                                        D、3

3.在△ABC中，=a，=b，则等于(　　)

A.a＋b         B.－a－b          C.a－b         D.b－a

4.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么(　　)

A.k=1且c与d同向                          B.k=1且c与d反向

C.k=-1且c与d同向                         D.k=-1且c与d反向

5.设a、b为非零向量，且满足|a－b|=|a|＋|b|，则a与b的关系是(　　)

A.共线         B.垂直         C.同向          D.反向

6.若，，则的数量积为（ 　  ）

A.10                         B.－10                            C.10                      D.10

7.设M是△ABC所在平面上的一点，且＋＋=0,，D是AC的中点，则的值为(　　)

A.            B．            C．1           D．2

8.在△ABC中，N是AC边上一点，且=，P是BN上的一点，若=m＋，则实数m的值为(　　)

A.             B．            C．1            D．3

二         、填空题

9.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则________________.

①＋＋=0；②－＋=0；③＋－=0；④－－=0.

10.化简下列各式：①－＋；②＋＋－；

③－－；④－＋－.结果为零向量的个数是________.

11.向量a、b满足|a|=6，|b|=10，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________.

12.如图，在等腰直角三角形ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若=m，=n(m＞0，n＞0)，则mn的最大值为________．

三         、解答题

13.如图所示，在▱ABCD的对角线BD的延长线上取点E、F，使BE=DF.

求证：四边形AECF是平行四边形.

14.已知O为平行四边形ABCD内一点，=a，=b，=c，用a，b，c表示.

15.已知向量=（3，﹣4），=（6，﹣3），=（5﹣x，3）.

（1）若点A，B，C三点共线，求x的值；

（2）若△ABC为直角三角形，且∠B为直角，求x的值.

16.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,如图所示.点C在以O为圆心的圆弧上运动.若=x+y,其中x,y∈R,求x+y的最大值.

答案解析

1.答案为：D；

2.C

3.答案为：B；解析：如图，=＋=－b－a，故选B.

4.答案为：D；

5.答案为：D；

解析：设a、b的起点为O，终点分别为A、B，则a－b=，由|a－b|=|a|＋|b|，故O、A、B共线，且O在AB之间.故与反向，所以选D.

6.C

7.答案为：A.

解析：∵D是AC的中点，∴＋=0,.又∵＋＋=0,，

∴=－(＋)=－×2，即=3，故=，∴=.故选A.

8.答案为：B.

解析：如图，因为=，P是上一点，

所以=，=m＋=m＋.

因为B，P，N三点共线，所以m＋=1，所以m=.

9.答案为：①；　

10.答案为：4；

11.答案为：16，4；

解析：(1)当a、b不共线时，如图(1)，作=a，=b，则=a＋b.由向量加法的几何意义知|a＋b|＜|a|＋|b|=16.当a、b共线同向时，如图(2)，作=a，=b，=a＋b，由向量加法的几何意义可知||=|a＋b|=|a|＋|b|=16.

(2)当a、b共线反向时：如图(3)所示，作=a，=b，则=a＋b，由向量加法的几何意义可知|a＋b|=|b|-|a|=10-6=4，∴|a＋b|的最大值为16，最小值为4.

(3)

本题也可以直接利用||a|-|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|求解.

12.答案为：1；

解析：以A为坐标原点，线段AC、AB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设△ABC的腰长为2，则B(0,2)，C(2,0)，O(1,1)．

∵=m，=n，∴M，N，∴直线MN的方程为＋=1，

∵直线MN过点O(1,1)，∴＋=1，即m＋n=2，

∴mn≤=1，当且仅当m=n=1时取等号，∴mn的最大值为1.

13.证明:

14.解:O=O＋A＋B＋C=O＋B＋(A＋C)=O＋B＋0

=O＋(B＋O)=a＋(－b＋c)=a－b＋c.

15.解：

16.解:解法一:如图,以O为坐标原点,OA所在的直线为x轴,的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,则可知A(1,0),B(-,),设C(cos α,sin α)(α∈[0,]),

则有x=cos α+sin α,y=sin α,所以x+y=cos α+sin α=2sin(α+),

所以当α=时,x+y取得最大值2.

解法二:如图,连接AB,记OC交AB于D点.

则==x+y,

∵D,A,B三点共线,∴x+y==,∴(x+y)max==2.