高考数学一轮复习考点测试刷题本14 变化率与导数（含答案解析）

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2020高考数学(文数)考点测试刷题本14 变化率与导数一         、选择题1.已知一个物体的运动方程为s=1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在4 s末的瞬时速度是(　　)A．7 m/s           B．6 m/s            C．5 m/s          D．8 m/s  2.设f(x)是可导函数，且满足=－1，则y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为(　　)A．－1          B．1           C．2             D．－2  3.设函数f(x)=x＋＋b，若曲线y=f(x)在点(a，f(a))处的切线经过坐标原点，则ab=(　　)A．1         B．0           C．－1             D．－2  4.已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)＋ln ，则f(1)=(　　)A．－e           B．2            C．－2            D．e  5.已知函数y=f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)A．f′(xA)＞f′(xB)    B．f′(xA)＜f′(xB)    C．f′(xA)=f′(xB)     D．不能确定  6.已知函数f(x)=xsinx＋cosx，则f′的值为(　　)A.         B．0            C．－1                D．1  7.过函数f(x)=x3－x2图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为(　　)A.       B．∪    C.      D．  8.已知f ′(x)是f(x)=sin x＋acos x的导函数，且f ′=，则实数a的值为(　　)A.           B．             C．           D．1 二         、填空题9.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是________． 10.已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln (－x)＋3x，则曲线y=f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．  11.已知a∈R，设函数f(x)=ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．  12.已知a为常数，若曲线y=ax2＋3x－ln x上存在与直线x＋y－1=0垂直的切线，则实数a的取值范围是________． 三         、解答题13.已知函数f(x)=excosx－x.(1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间0，上的最大值和最小值．                      14.设函数f(x)=[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.(1)若曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；(2)若f(x)在x=1处取得极小值，求a的取值范围．                  15.已知函数f(x)=x3-x.(1)求曲线y=f(x)在点M(1,0)处的切线方程；(2)如果过点(1，b)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．                             16.设函数f(x)=ax-，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式；(2)曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．                 
答案解析1.答案为：A；解析：==7＋Δt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于7.故选A.  2.答案为：A；解析：=－1，即f′(1)=－1，由导数的几何意义知，y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为－1.  3.答案为：D；解析：由题意可得，f(a)=a＋＋b，f′(x)=1－，所以f′(a)=1－，故切线方程是y－a－－b=1－(x－a)，将(0，0)代入得－a－－b=1－(－a)，故b=－，故ab=－2，故选D.  4.答案为：B；解析：由已知得f′(x)=2f′(1)－，令x=1得f′(1)=2f′(1)－1，解得f′(1)=1，则f(1)=2f′(1)=2.  5.答案为：B；解析：f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A，B处的切线的斜率，故f′(xA)＜f′(xB)．  6.答案为：B；解析：f′(x)=sinx＋xcosx－sinx=xcosx，∴f′=cos=0，故选B.  7.答案为：B；解析：设切线的倾斜角为α.由题意得k=f′(x)=x2－2x=(x－1)2－1≥－1，即k=tan α≥－1，解得0≤α<或≤α<π，即切线倾斜角的范围为∪.故选B.  8.答案为：B；解析：由题意可得f′(x)=cos x－asin x，则由f′=可得－a=，解得a=.   一         、填空题9.答案为：-1 10.答案为：y=－2x－1；解析：令x>0，则－x<0，f(－x)=ln x－3x，又f(－x)=f(x)，∴f(x)=ln x－3x(x>0)，则f′(x)=－3(x>0)，∴f′(1)=－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y＋3=－2(x－1)，即y=－2x－1.  11.答案为：1；解析：由题意可知f′(x)=a－，所以f′(1)=a－1，因为f(1)=a，所以切点坐标为(1，a)，所以切线l的方程为y－a=(a－1)(x－1)，即y=(a－1)x＋1.令x=0，得y=1，即直线l在y轴上的截距为1.  12.答案为： ；解析：由题意知曲线的切线斜率为1，所以y′=2ax＋3－=1有正根，即2ax2＋2x－1=0有正根．当a≥0时，显然满足题意；当a＜0时，需满足Δ≥0，解得－≤a＜0.综上，a≥－.   二         、解答题13.解：(1)因为f(x)=excosx－x，所以f′(x)=ex(cosx－sinx)－1，f′(0)=0.又因为f(0)=1，所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cosx－sinx)－1，则h′(x)=ex(cosx－sinx－sinx－cosx)=－2exsinx.当x∈0，时，h′(x)＜0，所以h(x)在区间0，上单调递减．所以对任意x∈0，有h(x)＜h(0)=0，即f′(x)＜0.所以函数f(x)在区间0，上单调递减．因此f(x)在区间0，上的最大值为f(0)=1，最小值为f=－.  14.解：(1)因为f(x)=[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，所以f′(x)=[ax2－(a＋1)x＋1]ex.f′(2)=(2a－1)e2.由题设知f′(2)=0，即(2a－1)e2=0，解得a=.(2)由(1)得f′(x)=[ax2－(a＋1)x＋1]ex=(ax－1)(x－1)ex.若a>1，则当x∈，1时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值．若a≤1，则当x∈(0，1)时，ax－1≤x－1<0，所以f′(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．  15.解：(1)f′(x)=3x2-1，∴f′(1)=2.故切线方程为y-0=2(x-1)，即2x-y-2=0.(2)设切点为(x0，x-x0)，则切线方程为y-(x-x0)=f′(x0)(x-x0)．又切线过点(1，b)，所以(3x-1)(1-x0)＋x-x0=b，即2x-3x＋b＋1=0.由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解．记g(x)=2x3-3x2＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，而g′(x)=6x(x-1)，令g′(x)=0得x=0或x=1，则结合图像可知g(0)g(1)<0即可，可得b∈(-1,0)．  16.解：(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3，当x=2时，y=.又f′(x)=a＋，所以解得故f(x)=x-.(2)是定值，理由如下：设P(x0，y0)为曲线y=f(x)上任一点，由f′(x)=1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0)，即y-=(x-x0)．令x=0，得y=-，得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x，得y=x=2x0，得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以曲线y=f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形的面积S=·|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.