高考数学一轮复习考点测试刷题本49 抛物线（含答案解析）

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2020高考数学(文数)考点测试刷题本49 抛物线 一         、选择题1.抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是(　　)A．(0，a)         B．(a，0)          C．       D．  2.到定点A(2，0)与定直线l：x=-2的距离相等的点的轨迹方程为(　　)A．y2=8x           B．y2=-8x         C．x2=8y           D．x2=-8y  3.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线准线的距离为(　　)A．4          B．6          C．8              D．12  4.若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于(　　)A．0.5         B．1           C．1.5             D．2  5.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2=6，则|AB|等于(　　)A．4         B．6              C．8             D．10  6.若抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短，则该点为(　　)A．(1，2)          B．(0，0)         C．(0.5，1)         D．(1，4)  7.已知点P是抛物线x2=4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8，7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为(　　)A．7             B．8           C．9            D．10  8.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若=3，则|MN|=(　　)A．         B．8           C．16         D．        二         、填空题9.已知动圆过点(1，0)，且与直线x=-1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．  10.已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．  11.已知抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P(1，1)为中点，则弦AB所在直线的方程是________．  12.已知F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·=－4(其中O为坐标原点)，则△ABO面积的最小值是________．  三         、解答题13.如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．                        14.设抛物线C：y2=2x，点A(2，0)，B(-2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM=∠ABN．                      15.已知抛物线C：x2=2py(p＞0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．                         16.已知抛物线C：y2=2px经过点P(1，2)．过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，=λ，=μ，求证：＋为定值．                      
答案解析1.答案为：C；解析：将y=4ax2(a≠0)化为标准方程得x2=y(a≠0)，所以焦点坐标为，故选C．  2.答案为：A；解析：由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p=4，焦点在x轴正半轴上，故选A．  3.答案为：B；解析：依题意得，抛物线y2=8x的准线方程是x=-2，因此点P到该抛物线准线的距离为4＋2=6，故选B．  4.答案为：D；解析：由题意3x0=x0＋，x0=，则=2，∵p>0，∴p=2，故选D．  5.答案为：C；解析：由抛物线y2=4x得p=2，由抛物线定义可得|AB|=x1＋1＋x2＋1=x1＋x2＋2，又因为x1＋x2=6，所以|AB|=8，故选C．  6.答案为：C；解析：根据题意，直线y=4x-5必然与抛物线y=4x2相离，抛物线上到直线的最短距离的点就是与直线y=4x-5平行的抛物线的切线的切点．由y′=8x=4得x=0.5，故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是0.5，1，该点到直线y=4x-5的距离最短．故选C．  7.答案为：C；解析：延长PQ与准线交于M点，抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y=-1，根据抛物线的定义知，|PF|=|PM|=|PQ|＋1．∴|PA|＋|PQ|=|PA|＋|PM|-1=|PA|＋|PF|-1≥|AF|-1=-1=10-1=9．当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9．故选C．  8.答案为：A；解析：由题意F(1，0)，设直线PF的方程为y=k(x-1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．因为准线方程为x=-1，所以得P(-1，-2k)．所以=(2，2k)，=(1-x1，-y1)，因为=3，所以2=3(1-x1)，解得x1=．把y=k(x-1)代入y2=4x，得k2x2-(2k2＋4)x＋k2=0，所以x1x2=1，所以x2=3，从而得|MN|=|MF|＋|NF|=(x1＋1)＋(x2＋1)=x1＋x2＋2=．故选A． 9.答案为：y2=4x；解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x=-1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x．  10.答案为：(1,0)；解析：由题知直线l的方程为x=1，则直线与抛物线的交点为(1，±2)(a＞0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4=4，即a=1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．  11.答案为：2x-y-1=0；解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B都在抛物线上，可得作差得(y1＋y2)(y1-y2)=4(x1-x2)．因为AB中点为P(1，1)，所以y1＋y2=2，则有2·=4，所以kAB==2，从而直线AB的方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0．  12.答案为：4；解析：不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＞0，由·=－4，即x1x2＋y1y2=－4得yy＋y1y2=－4，得y1y2=－8.所以S△ABO=|x1y2－x2y1|=|y1－y2|≥4，当y1=2，y2=－2时取等号，故△ABO面积的最小值为4. 13.解：(1)证明：设P(x0，y0)，A(y，y1)，B(y，y2)．因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程2=4·即y2-2y0y＋8x0-y=0的两个不同的实根．所以y1＋y2=2y0，因此，PM垂直于y轴．(2)由(1)可知所以|PM|=(y＋y)-x0=y-3x0，|y1-y2|=2．因此，△PAB的面积S△PAB=|PM|·|y1-y2|=(y-4x0)．因为x＋=1(x0<0)，所以y-4x0=-4x-4x0＋4∈[4，5]．因此，△PAB面积的取值范围是6，．  14.解：(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为(2，2)或(2，-2)．所以直线BM的方程为y=x＋1或y=-x-1．(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为线段MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k(x-2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0．由得ky2-2y-4k=0，可知y1＋y2=，y1y2=-4．直线BM，BN的斜率之和为kBM＋kBN=＋=．①将x1=＋2，x2=＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)===0．所以kBM＋kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN．综上，∠ABM=∠ABN．  15.解：由题意知，直线AB的斜率一定存在，∴设直线AB：y=kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p=0，则x1＋x2=2pk，x1x2=－2p.①(1)由x2=2py得y′=，则A，B处的切线斜率的乘积为=－，∵点N在以AB为直径的圆上，∴AN⊥BN，∴－=－1，∴p=2.(2)易得直线AN：y－y1=(x－x1)，直线BN：y－y2=(x－x2)，联立，得结合①式，解得即N(pk，－1)．|AB|=|x2－x1|==，点N到直线AB的距离d==，则S△ABN=·|AB|·d=≥2，当k=0时，取等号，∵△ABN的面积的最小值为4，∴2=4，∴p=2，故抛物线C的方程为x2=4y.  16.解：(1)因为抛物线y2=2px过点(1，2)，所以2p=4，即p=2．故抛物线C的方程为y2=4x，由题意知，直线l的斜率存在且不为0．设直线l的方程为y=kx＋1(k≠0)．由得k2x2＋(2k-4)x＋1=0．依题意Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0，解得k<0或0<k<1．又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，-2)．从而k≠-3．所以直线l斜率的取值范围是(-∞，-3)∪(-3，0)∪(0，1)．(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知x1＋x2=-，x1x2=．直线PA的方程为y-2=(x-1)．令x=0，得点M的纵坐标为yM=＋2=＋2．同理得点N的纵坐标为yN=＋2．由=λ，=μ得λ=1-yM，μ=1-yN．所以＋=＋=＋=·=·=2．所以＋为定值．