高考数学一轮复习课时训练：第6章 数 列 27 Word版含解析（含答案）

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【课时训练】第27节　数列的概念与简单表示法 一、选择题1．(2018四川凉山诊断)数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为(　　)A．5　　 B．C． D．【答案】B【解析】∵an＋an＋1＝，a2＝2，∴an＝∴S21＝11×＋10×2＝.2．(2018南昌模拟)在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是(　　)A.　　 B．　C．　 D．　【答案】C【解析】由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴2a3＝2＋(－1)3，a3＝，∴a4＝＋(－1)4，a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，∴＝×＝.3．(2018江西抚州七校联考)设an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，那么an＋1－an＝(　　)A.　　　 B．C.＋ D．－【答案】D【解析】 ∵an＝＋＋＋…＋＋，n∈N*，∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，n∈N*，故an＋1－an＝＋－＝－.4．(2018河北石家庄二中调研)已知数列{an}的通项公式为an＝，则其最大项和最小项分别为(　　)A．1，－　　  B．0，－C.，－ D．1，－【答案】A【解析】由题意知a1＝－，a2＝－，a3＝－，a4＝1，则当n≥4时，an＞0.又当n≥5时，an－an－1＝－＝＜0，所以an＜an－1，于是数列{an}的最大项为1，最小项为－.5．(2018浙江湖州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足≤2的正整数n的集合为(　　)A．{1,2,3}  B．{2,3,4}C．{1,2,3,4}  D．{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】因为Sn＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减得an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1.又a1＝2a1－1，所以a1＝1，故an＝2n－1.又≤2，即2n－1≤2n，所以有n∈{1,2,3,4}．6．(2019河南信阳调研)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 018的值为(　　)A．－8　　 B．－3　　C．－4 D．【答案】B【解析】由a1＝2，an＋1＝(n∈N*)得，a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，可见数列{an}的周期为4，所以a2 018＝a504×4＋2＝a2＝－3.7．(2018广西南宁模拟)已知数列{an}与{bn}的通项公式分别为an＝－n2＋4n＋5，bn＝n2＋(2－a)n－2a.若对任意正整数n，an＜0或bn＜0，则a的取值范围为(　　)A．(5，＋∞)　 B．(－∞，5)C．(6，＋∞)  D．(－∞，6)【答案】A【解析】由an＝－n2＋4n＋5＝－(n＋1)(n－5)可知，当n＞5时，an＜0.由bn＝n2＋(2－a)n－2a＝(n＋2)(n－a)＜0及已知易知－2＜n＜a，为使当0＜n≤5时，bn＜0，只需a＞5.故选A.8．(2018保定调研)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式an＝(　　)A．2n－1 B．2n－1＋1C．2n－1  D．2(n－1)【答案】A【解析】由an＋1＝2an＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，验证可知an＝2n－1.9．(2018宁夏银川模拟)若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1(n≥2)且a1＝2，则满足不等式an＜462的最大正整数n为(　　)A．19　　 B．20　　 C．21  D．22【答案】B【解析】由(n－1)an＝(n＋1)an－1得，＝，则an＝a1×××…×＝2×××…×＝n(n＋1)．又an＜462，即n(n＋1)＜462，所以n2＋n－462＜0，即(n－21)(n＋22)＜0，因为n＞0，所以n＜21.故所求的最大正整数n＝20.二、填空题10．(2018湖北八校联考)已知数列{an}的通项公式an＝则a3a4＝________.【答案】 54 【解析】由题意知，a3＝2×3－5＝1，a4＝2×34－1＝54，∴a3a4＝54.11．(2018潍坊模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________.【答案】n－1【解析】当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1; 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，∴＝－.∴数列{an}是首项a1＝1，公比q＝－的等比数列，故an＝n－1.三、解答题12．(2018安徽淮南第四次考试)已知数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，且满足a2＝4b1，Sn＝2an－2，nbn＋1－(n＋1)bn＝n3＋n2(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{bn}的通项公式．【解】(1)当n＝1时，S1＝2a1－2，则a1＝2.当n≥2时，由得an＝2an－2an－1，则an＝2an－1，n≥2.综上，数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，故an＝2n，n∈N*.(2)∵a2＝4b1＝4，∴b1＝1.∵nbn＋1－(n＋1)bn＝n3＋n2，∴－＝n，故－＝n－1，…，－＝2，－＝1，n≥2，将上面各式累加得－＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＝，∴bn＝，n∈N*.13．(2018福建清流一中模拟)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a∈R且a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．【解】(1)由题意知，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2Sn＋3n－3n＋1＝2(Sn－3n)，又S1－31＝a－3(a≠3)，故数列{Sn－3n}是首项为a－3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，所以an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2，当n≥2时，an＋1≥an⇔12·n－2＋a－3≥0⇔a≥－9.又a2＝a1＋3＞a1.综上，所求的a的取值范围是[－9,3)∪(3，＋∞)．