2023年高考数学真题模拟试题专项汇编：（6）数列（含答案）

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（6）数列——2023年高考数学真题模拟试题专项汇编
1. 【2023年全国乙卷文科】记为等差数列的前n项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
2. 【2023年全国甲卷理科】设等比数列的各项均为正数，前n项和为，若，，则( )
A. B. C.15 D.40
3. 【2023年全国甲卷理科】记为数列的前n项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
4. 【2023年天津卷】已知为等比数列，为数列的前n项和，，则的值为( )
A.3 B.18 C.54 D.152
5. 【2023年天津卷】已知数列是等差数列，，.
(1)求的通项公式和；
(2)已知为等比数列，对于任意，若，则.
(i)当时，求证：；
(ii)求的通项公式及其前n项和.
6. 【2023年上海卷】已知等比数列首项为，公比，则_________.
7. 【2023年新课标Ⅱ卷】记为等比数列的前n项和，若，，则( )
A.120 B.85 C.-85 D.-120
8. 【2023年新课标Ⅰ卷】记为数列的前n项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列.则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
9. 【2023年新课标Ⅰ卷】设等差数列的公差为d，且，令，记，分别为数列，的前n项和.
(1)若，，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求d.
10. 【2023年山西大同模拟】已知数列中，，是公差为的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，为数列的前n项和，证明：.




答案以及解析
1.答案：(1)
(2)
解析：(1)设的公差为d，则，
解得，.
所以的通项公式为.
(2)由(1)得.
当时，，
当时，
.
综上，.
2.答案：C
解析：通解：若该数列的公比，代入中，有，不成立，所以.由，化简得，所以(舍)或，由于此数列各项均为正数，所以，所以.故选C.
优解：由已知得，整理得，由于此数列各项均为正数，所以，所以.故选C.
3.答案：(1)
(2)
解析：(1)当时，，即，所以.
当时，由，得，
两式相减得，
即，
当时，可得，
故当时，，则.
整理得，因为，所以.
当，时，均满足上式，所以.
(2)解法一：令，
则①，
②，
由①-②得，
即.
解法二：设，
所以，故，，.
故，，.
故，整理得.
4.答案：C
解析：解法一：因为，所以当时，，两式相减得，即，所以数列是公比的等比数列.当时，，又，所以，解得，所以，故选C.
解法二：设等比数列的公比为q，因为，所以公比，且，所以，又，所以，，所以，故选C.
5.答案：(1)
(2)(i)证明见解析
(ii)通项公式，前n项和为
解析：(1)设的公差为d，
由，得，解得，
所以的通项公式为.
，.
从到共有(项).
所以.
(或).
(2)(i)因为当时，，
所以当时，，
可得.
因为为递增数列，所以若，则，得.
同理可得.
故可得，
所以.
综上，当时，.
(ii)由题意知是的正项等比数列，
设的通项公式为(，且)，
由(i)知，，即，
则有.
①当，即时，
，使得，与矛盾；
②当，，即且时，
，使得，与矛盾.
故.
因为，所以.
设的前n项和为，则.
6.答案：189
解析：.
7.答案：C
解析：解法一：设等比数列的公比为，由题意易知，则，化简整理得.所以.故选C.
解法二：易知，，，，……为等比数列，所以，解得或.当时，由，解得；当时，结合得，化简可得，不成立，舍去.所以，故选C.
8.答案：C
解析：若为等差数列，设其公差为d，则，所以，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙；若为等差数列，设其公差为t，则，所以，所以当时，，当时，也满足上式，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙.所以甲是乙的充要条件，故选C.
9.答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，所以，
所以，所以，
所以.
因为，所以，
所以，.
因为，
所以，解得或，
因为，所以.
所以的通项公式为.
(2)因为，且为等差数列，
所以，即，
所以，所以，
解得或.
①当时，，所以，
，
.
因为，
所以，
即，
解得或(舍去).
②当时，，所以，
，
.
因为，
所以，
即，
解得(舍去)或(舍去).
综上，.
10.答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为，所以，又是公差为的等差数列，所以，所以.
（2）因为，所以因为，所以，得证.