初中人教版2.1 整式精品测试题

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专题2.1 整式讲练

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1.代数式：用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如n,-1,2n+500,abc。单独的一个数或一个字母也是代数式。
2.单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
单项式的系数：单项式中的数字因数
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和
3.多项式：几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。常数项的次数为0。
4.整式：单项式和多项式统称为整式。
注意：分母上含有字母的不是整式。
5.代数式书写规范：
① 数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“·”表示，并把数字放到字母前；
② 出现除式时，用分数表示；
③ 带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数；
④ 若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。
考点精讲

考点1：单项式的定义及判定
典例： （1）（2022·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是（     ）
A．   的系数是3 B．的次数是3
C． 的系数是 D．的次数是2
【答案】C
【解析】
【分析】
分析各选项中的单项式的系数或者次数，即可得出正确选项．
【详解】
A．是数字，的系数是，不符题意；
B． 的次数是2，x，y指数都为1，不符题意；
C．的系数是，符合题意；
D． 的次数是3 ，x，y指数分别为1和2，不符题意．
故选C．
方法或规律点拨
本题考查了单项式的系数：单项式的系数是单项式字母前的数字因数，单项式的次数是单项式所有字母指数的和，正确理解和运用该知识是解题的关键．
（2）（2022·河南许昌·七年级期末）若单项式的系数是m，次数是n，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据单项式的次数与系数的定义（单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数）解决此题．
【详解】
解：由题意得：m＝ ，n＝4．
∴m+n＝．
故选：C．
方法或规律点拨
本题主要考查单项式，熟练掌握单项式的系数与次数的定义是解决本题的关键．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级专题练习）下列代数式中，为单项式的是（     ）
A． B．a C．    D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据单项式的定义判断即可得出答案．
【详解】
解：A、不是单项式，不符合题意；
B、是单项式，符合题意；
C、不是单项式，不符合题意；
D、是多项式，不是单项式，不符合题意，
故答案选B．
【点睛】
本题考查单项式的定义：数字与字母的乘积组成的代数式为单项式，需要特别注意的是，单独的一个数字或一个字母也是单项式，且单项式是整式．
2．（2022·陕西西安·七年级期末）下列说法正确的是（       ）
A．的系数是 B．2不是单项式
C．单项式的次数是4 D．是多项式
【答案】A
【解析】
【分析】
根据单项式的定义，单项式的系数与次数，多项式的概念逐一分析即可．
【详解】
A.的系数是，故A符合题意；
B.2是单项式，原说法错误，故B不符合题意；
C.单项式的次数是2，原说法错误，故C不符合题意；
D.是分式，不是多项式，原说法错误，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是单项式的定义，单项式的系数与次数，多项式的概念，解的关键是掌握单项式：数字与字母的积，单个的数或单个的字母也是单项式，其中的数字因数是单项式的系数，单项式中所有字母的指数和是单项式的次数，几个单项式的和是多项式．
3．（2023·江苏·七年级专题练习）下列代数式中，不是单项式的是（　　）
A．a2 B．2a C． D．a+2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据单项式的定义判定即可．
【详解】
A.a2表示a与a的乘积，a2是单项式，故A不符合题意；
B.2a表示2与a的乘积，2a是单项式，故B不符合题意；
C.表示与a的乘积，是单项式，故C不符合题意
D.a+2表示a与2的和，a+2不是单项式，它是单项式a与单项式2的和，所以a+2是多项式，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查单项式的定义，解题的关键是熟记单项式的定义：数或字母的乘积叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
4．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校七年级期中）下列各式中a，－2ab，x+y，x2+y2 ，－1，5ab2c3，单项式共有（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据单项式的定义即可得出答案．
【详解】
代数式a，－2ab，x+y，x2+y2，－1，5ab2c3，单项式有：a，－2ab，－1，5ab2c3，共4个．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是单项式：①数字或字母的乘积；②单个的数字或字母，掌握单项式的定义是解题的关键．
5．（2021·云南·文山二中九年级阶段练习）按一定规律排列的单项式：2x，4x3，8x5，16x7，32x9，64x11，…，则第n个单项式是（       ）
A．2nxn＋1 B．2nxn－1 C．2nx2n－1 D．2nx2n＋1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据前几个单项式的系数和次数的变化规律求解即可．
【详解】
解：由题意，各单项式的系数为2n，次数为2n-1，
∴第n个单项式是2nx2n－1，
故选：C．
【点睛】
本题考查单项式规律题，单项式的系数、次数，理解题意，准确找到单项式系数和次数的变化规律是解答的关键．
6．（2022·全国·七年级课时练习）在代数式，，，12，，中，单项式有___________个．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据单项式的定义，进行逐一判断即可．
【详解】
解：在，，，12，，中，单项式有，，12，一共3个，
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了单项式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数．
7．（2021·广东·肇庆市颂德学校七年级期中）单项式的系数为________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据单项式的系数的定义，即可求解．
【详解】
解：单项式的系数为-1．
故答案为：-1
【点睛】
本题主要考查了单项式的系数和次数的定义，熟练掌握单项式中的数字因式是单项式的系数，所有字母的和是单项式的次数是解题的关键．
8．（2021·广东·雷州市第三中学七年级期中）单项式的系数是________，次数是________．
【答案】         
【解析】
【分析】
根据单项式中系数和次数的定义直接求出答案．
【详解】
单项式的数字因数为，所以它的系数为，
单项式中，所有字母的指数和为，所以它的次数为，
故答案为：；．
【点睛】
本题考查了单项式以及它的系数和次数的定义，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，正确理解这些定义是解决本题的关键．
9．（2022·山东潍坊·七年级期末）请你写出一个系数为3，次数为4，只含字母a、b的单项式：________．
【答案】3a2b2（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据单项式的系数和次数的意义判断即可．
【详解】
解：一个系数为3，次数为4，只含字母a、b的单项式：3a2b2，
故答案为：3a2b2（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了单项式，熟练掌握单项式的次数的意义，所有字母的指数和是解题的关键．
10．（2022·山东济宁·七年级期末）请写出一个含字母 ，系数是，次数是3的单项式________ (写出一个即可)．
【答案】或（任选一个即可）
【解析】
【分析】
根据题意写出符合条件的单项式即可．
【详解】
解：含字母 ，系数是，次数是3的单项式为或，
故答案为：或（任选一个即可）．
【点睛】
本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数．
11．（2022·全国·七年级课时练习）一个单项式满足下列两个条件：①系数是；②次数是4．写出一个满足上述条件的单项式：________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数，根据单项式的系数和次数的定义写出即可．
【详解】
解：根据单项式的系数和次数的定义得：（答案不唯一）
【点睛】
本题考查了单项式的系数和次数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
12．（2021·广东·肇庆市颂德学校七年级期中）单项式……，它有一定的规律性，则第n个单项式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
观察不难发现，系数的分子是1，分母是相应的序数，x的指数比相应的序数小1，并且第奇数个数是负数，第偶数个数是正数，然后写出即可．
【详解】
解：∵……，
∴第n个单项式为，
故答案为：．
【点睛】
本题是对单项式规律的探索，从系数的分母和x的指数两个方面考虑求解是解题的关键．
考点2：多项式的定义及判定
典例： （1）（2021·广西崇左·七年级期中）关于多项式，下列说法正确的是（       ）
A．它是三次四项式 B．它的一次项系数是4
C．它的常数项是1 D．它的最高次项是
【答案】D
【解析】
【分析】
根据多项式的定义，结合四个选项，即可得出结论．
【详解】
解：A、最高次数为4，是四次四项式，故A选项不正确；
B、一次项系数是-4，故B选项不正确；
C、常数项是-1，故C选项不正确；
D、最高次项是，故D选项正确．
故选：D．
方法或规律点拨
本题考查了多项式的定义，解题的关键是依据多项式的定义结合四个选项，即可得出结论．
（2）（2022·全国·七年级专题练习）把下列各代数式填在相应的大括号里．（只需填序号）
①x－7；②；③4ab；④；⑤；⑥y；⑦；⑧；⑨；⑩；⑪；⑫；⑬－1.
单项式集合_______________；
多项式集合_______________；
整式集合_______________
【答案】     ②③⑥⑫⑬     ①⑧⑨⑩     ①②③⑥⑧⑨⑩⑫⑬
【解析】
【分析】
根据单项式、多项式、整式的定义解答即可．
【详解】
解：单项式有：②，③，⑥，⑫，⑬；
多项式有：①，⑧，⑨，⑩；
整式有：①；②；③；⑥；⑧；⑨；⑩；⑫；⑬；
故答案为：②③⑥⑫⑬；①⑧⑨⑩；①②③⑥⑧⑨⑩⑫⑬．
方法或规律点拨
本题主要考查的是整式，熟练掌握单项式、多项式、整式的定义是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·广东·道明外国语学校七年级期中）在下列代数式：，，，，，中，多项式有(     )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据单项式与多项式的定义逐个分析判断即可求解．
【详解】
解：， ，是单项式；
，， ，是多项式；
，不是整式，
故选：C
【点睛】
本题考查了多项式，熟记多项式的定义（由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式）是解题关键．
2．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校七年级期中）下列说法正确的是   （       ）
A．- 2不是单项式 B．表示负数 C．的系数是3 D．不是多项式
【答案】D
【解析】
【分析】
根据单项式是数与字母的乘积，单独一个数或一个字母也是单项式，可得答案．
【详解】
解：A、是单项式，故A错误；
B、表示负数、零、正数，故B错误；
C、的系数是，故C错误；
D、有分式，不是多项式，故D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了单项式，注意单项式与多项式都是整式．
3．（2020·黑龙江·虎林市实验中学七年级期中）在下列代数式：ab，，ab2＋b＋1，3，x3＋x2－3中，多项式有（       ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用多项式的定义分析得出答案．
【详解】
解：ab，，ab2＋b＋1，3，x3＋x2-3中多项式有：，ab2＋b＋1，x3＋x2-3，即多项式有3个，故B正确．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了多项式的定义，熟练掌握几个单项式的和为多项式，是解题的关键．
4．（2022·湖南岳阳·七年级期末）下列叙述中，正确的是（       ）
A．单项式的系数是，次数是4 B．，，0，都是单项式
C．多项式的常数项是1 D．是二次二项式
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用单项式的定义以及单项式的系数与次数、多项式的项数与次数分别判断得出答案．
【详解】
解：A. 单项式的系数是，次数是3，故此选项不合题意；       
B. ，，0，都是单项式，故此选项符合题意；
C. 多项式的常数项是-1，故此选项不合题意；       
D. 是一次二项式，故此选项不合题意；
故选B
【点睛】
此题主要考查了单项式的定义以及单项式的系数与次数、多项式的项数与次数，正确掌握相关定义是解题关键．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫做它的次数，通常系数不为0， 多项式的每一项都有次数，其中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，一个多项式的项数就是合并同类项后用“＋”或“－”号之间的多项式个数，次数就是次数和最高的那一项的次数； 一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．
5．（2022·黑龙江哈尔滨·期末）对于多项式，下列说法中错误的是（       ）．
A．多项式的次数是3 B．二次项系数为3 C．一次项系数为0 D．常数项为1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据多项式的项数、次数，以及项的次数、系数的定义即可作出判断．
【详解】
解：A．多项式的次数是3，正确，不符合题意；
B．二次项系数为3正确，不符合题意；
C．一次项系数为0，正确，不符合题意；
D．常数项为﹣1，故本选项错误，符合题意；
故选：D
【点睛】
此题考查了多项式的有关定义．解题的关键是掌握多项式的有关定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．
6．（2022·全国·七年级专题练习）下列代数式中的哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？
，4xy，，，x2＋x＋，0，，m，﹣2.01×105
整式集合：{_______________ …}
单项式集合：{__________ …}
多项式集合：{_______________…}．
【答案】     ，4xy，，0，m，﹣2.01×105…     4xy，，0，m，﹣2.01×105 …    
【解析】
【分析】
根据整式、单项式、多项式的定义判断后选出即可．
【详解】
解：整式集合：{，4xy，，0，m，﹣2.01×105 …}；
单项式集合：{ 4xy，，0，m，﹣2.01×105 …}；
多项式集合：{     …}．
故答案为：，4xy，，0，m，﹣2.01×105…；4xy，，0，m，﹣2.01×105 …；
【点睛】
本题考查了对单项式，多项式，整式的定义的理解和运用，注意：整式包括多项式和单项式，数与字母的积是单项式，单个的数与单个的字母也是单项式，若干个单项式的和组成的代数式叫做多项式．
7．（2022·山东烟台·期末）多项式x2y﹣3x﹣的常数项是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用多项式的常数项的定义即可得出答案．
【详解】
解：多项式x2y﹣3x的常数项是： ．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的相关定义是解题的关键．
8．（2022·山东烟台·期末）已知关于x，y的多项式x2ym+1+xy2﹣2x3﹣5是六次四项式，单项式3x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，则m﹣n＝_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据多项式x2ym+1+xy2﹣2x3﹣5是六次四项式，可得，根据单项式3x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，可得，两式联立即可得到m、n的值，代入计算即可求解．
【详解】
∵多项式是六次四项式，
∴，解得，
∵单项式3x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，
∴，即，解得，
∴，
故答案为1．
【点睛】
此题考查了单项式与多项式的定义和性质．解题的关键是掌握单项式和多项式的相关定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．
9．（2022·全国·七年级课时练习）多项式a3b - a2+3ab2－4a5+3是______次______项式，按a的降幂排列的结果____________．
【答案】     五     五     -4a5+a3b-a2+3ab2+3
【解析】
【分析】
根据每个单项式叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数定义进行判断．
【详解】
解：原多项式的最高次项是-4a5，次数是5次，一共有5项，因此是五项式；
∵a3b次数是4，3ab2次数是3，-a2次数是2，
∴按a的降幂排列的结果：4a5+a3ba2+3ab2+3；
故答案为：五、五、4a5+a3ba2+3ab2+3．
【点睛】
本题考查了多项式，掌握多项式的项、多项式的次数的定义，把每个单项式的次数判断出是按a的降幂排列解题的关键．
10．（2022·湖南·衡阳市田家炳实验中学七年级阶段练习）把多项式按y降幂排列____________．
【答案】-y4-5x2y3-2xy2+3x3y+x4
【解析】
【分析】
根据y的指数的从大到小顺序排列即可．
【详解】
解：按y的降幂排列为-y4-5x2y3-2xy2+3x3y+x4．
故答案为：-y4-5x2y3-2xy2+3x3y+x4．
【点睛】
此题考查多项式的书写习惯，注意是按某一个字母的降幂排列，而不是每一项的指数．
11．（2022·福建泉州·七年级期末）把多项式按x的降幂排列得：__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据多项式的降幂排列即可求出答案．
【详解】
解：把多项式按x的降幂排列得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查多项式，解题的关键是正确理解多项式的降幂排列．
12．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学七年级阶段练习）多项式﹣3x3y﹣1+2xy2﹣y3按照y的降幂排列为 _____．
【答案】﹣y3+2xy2﹣3x3y﹣1
【解析】
【分析】
根据多项式降幂排列的定义解答即可．
【详解】
解：多项式﹣3x3y﹣1+2xy2﹣y3按照y的降幂排列为﹣y3+2xy2﹣3x3y﹣1，
故答案为：﹣y3+2xy2﹣3x3y﹣1．
【点睛】
本题考查多项式降幂排列的定义，解答的关键是熟知多项式降幂排列的定义：把一个多项式按照某个字母的指数从大到小的顺序排列，称为按这个字母的降幂排列，注意在排列各项时，要保持原有的符号不变．
13．（2022·全国·七年级课时练习）定义：f（a，b）是关于a，b的多项式，如果f（a，b）＝f（b，a），那么f（a，b）叫做“对称多项式”．例如，如果f（a，b）＝a2+a+b+b2，则f（b，a）＝b2+b+a+a2，显然，所以f（a，b）＝f（b，a）是“对称多项式”．
(1)f（a，b）＝a2﹣2ab+b2是“对称多项式”，试说明理由；
(2)请写一个“对称多项式”，f（a，b）＝ （不多于四项）；
【答案】(1)见解析
(2)a+b，答案不唯一
【解析】
【分析】
（1）根据对称多项式的定义，把多项式中的a，b互换，多项式不变就是，据此即可判断；
（2）根据定义即可写出，答案不唯一．
（1）解：∵f（b，a）＝a2﹣2ab+b2，∴f（a，b）＝f（a，b），∴f（a，b）＝a2﹣2ab+b2是“对称多项式”．
（2）∵f（a，b）＝a+b，f（b，a）＝b+a，∴f（a，b）＝f（b，a），∴f（a，b）＝a+b是“对称多项式”．故答案为：a+b．（答案不唯一）
【点睛】
本题主要考查了整式的运算，理解“对称多项式”的定义，是解题的关键．
14．（2022·全国·七年级专题练习）已知（m+1）x3﹣（n﹣2）x2+（2m+5n）x﹣6是关于x的多项式．
(1)当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？
(2)当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？
【答案】(1)m＝﹣1，n≠2
(2)m＝﹣5，n＝2
【解析】
【分析】
（1）根据二次多项式的定义得出m+1＝0，且n﹣2≠0，然后求解即可；
（2）根据多项式是关于x的三次二项式得出m+1≠0，n﹣2＝0，且2m+5n＝0，然后求解即可得出答案．
（1）解：由题意得：m+1＝0，且n﹣2≠0，解得：m＝﹣1，n≠2，则m＝﹣1，n≠2时，该多项式是关于x的二次多项式；
（2）解：由题意得：m+1≠0，n﹣2＝0，且2m+5n＝0，解得：m≠﹣1，n＝2，把n＝2代入2m+5n＝0得：m＝﹣5，则m＝﹣5，n＝2时该多项式是关于x的三次二项式．
【点睛】
本题考查了多项式的定义，理解多项式的项数与次数是解题的关键．一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．
考点3：列代数式
典例：（1）（2022·江苏·七年级专题练习）下列各式中，符合代数式书写规则的是（　　）
A． B． C． D．2y÷z
【答案】A
【解析】
【分析】
根据代数式的书写规则逐一进行判断．
【详解】
A、符合代数式书写规则．
B、数与字母相乘，乘号一般也省略不写，但数一定要写在字母的前面，不符合代数式书写规则，应该为；
C、数与字母相乘，乘号一般也省略不写，但数一定要写在字母的前面，而且当数是带分数时一定要化为假分数，不符合代数式书写规则，应该为；
D、当代数式中含有除法运算时，一般不用“÷”号，而改用分数线，不符合代数式书写规则，应该为；
故选A．
方法或规律点拨
本题考查代数式的书写规则，解决本题的关键是熟练掌握书写规则．
（2）（2022·江苏·七年级专题练习）请仔细分析下列赋予4a实际意义的例子，其中错误的是(     )
A．若葡萄的价格是4元/千克，则4a表示买a千克该种葡萄的金额
B．若a表示一个正方形的边长，则4a表示这个正方形的周长
C．一辆汽车以a千米/小时的速度行驶，从A城到B城需4小时，则4a表示A，B两城之间的路程
D．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则4a表示这个两位数
【答案】D
【解析】
【分析】
根据代数式表示实际意义的方法分别判断每个选项即可得．
【详解】
解：A．若葡萄的价格是4元/千克，则4a表示买a千克葡萄的金额，原说法正确，故此选项不符合题意；
B．若a表示一个正方形的边长，则4a表示这个正方形的周长，原说法正确，故此选项不符合题意；
C．一辆汽车以a千米/小时的速度行驶，从A城到B城需4小时，则4a表示A，B两城之间的路程，原说法正确，故此选项不符合题意；
D．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则40+a表示这个两位数，原说法错误，故此选项符合题意；
故选：D．
方法或规律点拨
本题主要考查代数式，解题的关键是掌握代数式的书写规范和实际问题中数量间的关系．
巩固练习
1．（2022·湖南永州·七年级期末）下列各式中，符合代数式书写规则的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据代数式的书写要求判断各项．
【详解】
解：A、不符合代数式书写规则，应改为，故此选项不符合题意；
B、符合代数式书写规则，故此选项符合题意；
C、不符合代数式书写规则，应该为，故此选项不符合题意；
D、不符合代数式书写规则，应该为，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查代数式，解题的关键是掌握代数式的书写要求：①在代数式中出现的乘号，通常简写成“·”或者省略不写；②数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；③在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式；④式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来．熟悉代数式的书写要求是解题的关键．
2．（2022·上海杨浦·期中）“”用语言叙述是（       ）
A．x的绝对值的相反数 B．x的相反数的绝对值
C．x的倒数的相反数 D．x的倒数的绝对值
【答案】A
【解析】
【分析】
根据代数式，可得代数式的表达意义．
【详解】
解：表示x的绝对值的相反数，
故选A．
【点睛】
本题考查了代数式的意义，解题的关键是分清绝对值和相反数的先后顺序．
3．（2022·四川乐山·八年级期末）一个矩形的周长为，若矩形的长为，则该矩形的宽为(     )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据矩形的周长公式进行计算即可．
【详解】
解：∵矩形的周长为，矩形的长为，
∴矩形的宽为．
故选A．
【点睛】
本题考查列代数式，解题的关键是熟记矩形的周长=2（长+宽）．
4．（2022·全国·七年级专题练习）用代数式表示“a的2倍与b的差的平方”，正确的是（            ）
A．（2a-b）2 B．2（a-b）2 C．2a-b2 D．（a-2b）2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据“a的2倍与b的差的平方”，用代数式表示，即可．
【详解】
解：根据题意得：
故选：A．
【点睛】
本题主要考查用代数式表示数量关系，注意代数式的书写规范，是解题的关键．
5．（2021·广西南宁·七年级期中）买一个足球需要元，买一个篮球需要元，则买4个足球、5个篮球共需要（     ）
A．元 B．元
C．元 D．元
【答案】C
【解析】
【分析】
根据总费用足球个数足球的单价篮球个数篮球的单价即可得．
【详解】
解：由题意，买4个足球、5个篮球的总费用为元，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了列代数式，熟练掌握总费用的计算方法是解题关键．
6．（2022·河南南阳·七年级期末）“的平方与5的和的相反数减去的差”用代数式表示为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据“x的平方与5的和”为，在用相反数的定义，最后计算的是差；
【详解】
解：由题意得：，
故选：A．
【点睛】
本题考查列代数式，解题关键弄清运算顺序，注意x的平方与5的和与x与5的和的平方之间的区别．
7．（2020·广东·道明外国语学校七年级期中）列式表示比a的5倍大4的数与b的差____________．
【答案】5a+4-b
【解析】
【分析】
比a的5倍大4的数是5a+4，由此进一步求差即可；
【详解】
解：表示比a的5倍大4的数与b的差5a+4-b
故答案为：5a+4-b
【点睛】
本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．
8．（2022·浙江舟山·七年级期末）用代数式表示：x的2倍与y的平方的差___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据“x的2倍即2x，再表示与y的平方的差”可列出代数式．
【详解】
解：根据题意得；2x-y2．
故答案为：．
【点睛】
本题考查列代数式，关键根据语句的描述理解代数式中的运算顺序，从而得到代数式．
9．（2022·全国·七年级专题练习）为鼓励节约用水，某地推行阶梯式水价计费制，标准如下：每月用水不超过17吨的按每吨a元计费，超过17吨而未超过30吨的部分按每吨b元计费，超过30吨的部分按每吨c元计费，某户居民上月用水35吨，应缴水费________元．
【答案】
【解析】
【分析】
直接根据题意分段计算水费得出答案．
【详解】
解：由题意可得：17a+13b+（35-30）c=（17a+13b+5c）元．
故答案为：（17a+13b+5c）．
【点睛】
此题主要考查了列代数式，正确分段计算是解题关键．
10．（2022·新疆乌鲁木齐·七年级期末）一条长为m，宽为n的长方形纸条（），分成两个正方形和一个长方形（如图1），现将长方形纸条对折，使边AB与边CD重合，得到折痕MN（如图2），则长方形MNFE的面积是______（用含有m、n的代数式表示）．

【答案】 (m-2n)·n
【解析】
【分析】
先用含m、n的代数式表示出GE的长度．根据折叠的性质可得ME=GE，则可知ME的长，再根据长方形的面积=长×宽表示出MNFE的面积．
【详解】

∵四边形ABDC是一个长方形
∴AC=BD=n
∵四边形ACHG和BDFE都是正方形
∴AG=AC=n，EB=BD=n
∴GE=AB-AG-EB=m-n-n=m-2n
由折叠的性质可知：ME=GE= (m-2n)
∴长方形从MNFE的面积=ME·EF= (m-2n)·n
故答案为 (m-2n)·n
【点睛】
本题主要考查了长方形、正方形的性质，及折叠的性质．掌握以上知识是解题的关键．
11．（2022·江苏·七年级专题练习）说出下列代数式所表示的实际意义．
(1)若一个长方形的长为pcm，宽为qcm，则2（p+q）表示什么？
(2)若n为整数，则（2n﹣1）（2n+1）（2n+3）表示什么？
(3)代数式5a+6b表示什么？
【答案】(1)2（p+q）表示长方形的周长(2)（2n﹣1）（2n+1）（2n+3）表示三个连续的奇数的积(3)a的5倍与b的6倍的和
【解析】
【分析】
（1）（2）可以根据字母的实际意义推出代数式的实际意义；
（3）用文字的方式描述代数式的意义即可．
(1)解：∵p表示长方形的长，q表示宽，
∴2（p+q）表示长方形的周长．
(2)∵n为整数，（2n﹣1），（2n+1），（2n+3）三个连续的奇数，
∴（2n﹣1）（2n+1）（2n+3）表示三个连续的奇数的积．
(3)代数式5a+6b表示a的5倍与b的6倍的和．
【点睛】
本题考查了代数式的实际意义，此类问题应结合实际，根据代数式的特点解答．
考点4：数字、字母类规律探究
典例：（2022·辽宁大连·八年级期末）按者一定规律排列的一组数：，第n个数是________．（用含有n的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】
不难看出分子部分为：，分母为，据此可求解．
【详解】
解：∵，
，
，
，

…，
∴第n个数为：．
故答案为：．
方法或规律点拨
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．
巩固练习
1．（2022·陕西咸阳·七年级期末）定义一种正整数n的“T”运算：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，用n连续除以2，直到结果为奇数停止，并且运算重复进行．例如，当＝18时，运算过程如下：

若n＝21，则第2021次“T”运算的结果是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，可以写出前几次输出的结果，然后即可发现数字的变化规律，从而可以得到2021次“T”运算的结果．
【详解】
解：由题意可得，
当n＝21时，
第1次输出的结果为64，
第2次输出的结果为1，
第3次输出的结果为4，
第4次输出的结果为1，
第5次输出的结果为4，
…，
∴从第2次开始，这列数以1，4不断循环出现，
∵（2021﹣1）÷2＝2020÷2＝1010，
∴2021次“T”运算的结果4，
故选：D．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算，数字的变化规律，解答本题的关键是总结出得到的数据存在的规律．
2．（2021·广西南宁·七年级期中）有一列数，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数倒数的差，若 ，则为（     ）
A．2021 B．2 C．－1 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求出，，，，可得规律每3个数循环一次，即可得到答案．
【详解】
解：∵，
，
，
，
……
∴每3个数循环一次，
∵2021÷3=673，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查数字的变化规律，理解题意，探索出数字的循环规律是解题的关键．
3．（2022·山东滨州·七年级期末）已知50个整数满足下列条件：，，，……，，则（       ）
A．-25 B． C．-50 D．50
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，可以分别求得这列数的各项的数值，可以发现从a3出现2个一循环，本题得以解决．
【详解】
解：∵a1=-1，a2=-|a1+1|，a3=-|a2+1|，……a50=-|a49+1|，
∴a2=0，a3=-1，a4=0，a5=-1，a6=0，a7=-1，…，a50=0，
∴从a3出现2个一循环，
∴
．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了绝对值，规律型数字的变化类，解决问题的关键是得到这列数从a3出现2个一循环的规律．
4．（2022·全国·七年级课时练习）（阅读理解）计算：
观察算式，我们发现两位数乘11的速算方法：头尾一拉，中间相加，满十进一．
（拓展应用）已知一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，这个两位数乘11，计算结果中十位上的数字可表示为（       ）
A．或 B．或
C． D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，这个两位数可以表示为10a＋b，然后依据速算方法求解即可．
【详解】
解：∵一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，
∴这个两位数可以表示为：10a＋b，
∴当a+b< 10时，（10a＋b）×11＝100a＋10(a＋b)＋b，
当a+b≥10时，（10a＋b）×11＝100(a＋1)＋10(a＋b－10)＋b．
故选：D.
【点睛】
本题考查探索规律，解答本题的关键是明确题意，根据规律求解．
5．（河南省郑州市经开区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）观察：，，，，，用代数式表示这一规律为：______．
【答案】
【解析】
【分析】
通过观察可得．
【详解】
解：，，，，，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查数字的变化规律，根据所给的式子，通过观察，得到式子的一般规律是解题的关键．
6．（2021·广东·雷州市第三中学七年级期中）若a1＝﹣1，a2＝﹣|a1﹣2|，a3＝﹣|a2﹣3|，a4＝﹣|a3﹣4|，…依此类推，则a100＝________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据，可得，，，，…，观察规律可得， 进而可得，，，，…，，累加即可得到的值．
【详解】
，
，，，，…，
观察以上规律可得，
，
，
，
，
…，
，
将以上式子左右各自累加可得：，
，
故答案为：．
【点睛】
本题是对数字变化规律的考查，注意观察总结规律，并能正确地应用规律是解题的关键．
7．（2022·上海杨浦·期中）观察下列各式：×2 = + 2；×3 = + 3；×4 = + 4；×5 = + 5．设n表示正整数，试用关于n的等式，表示这个规律为： × = + ．
【答案】，，，
【解析】
【分析】
通过观察可以看出分母比分子小1，而相乘的数和相加的数也比分母大1，据此归纳．
【详解】
解：由所给的各式可知，不妨设分母为n，则分子为n+1，乘数和加数也为n+1，
因此可知律为：，
故答案为：，，，．
【点睛】
此题考查数字的变化规律，找出式子之间的联系，由特殊找出一般规律解决问题．
8．（2022·河南南阳·七年级期末）观察如图“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为_______．

【答案】1045
【解析】
【分析】
由前几个图可发现规律：上面的数是连续的奇数1，3，5，7···2n-1，左下角的数是20，21，22，23，····，，右下角的数等于上面的数和左下角的数字之和，由此可解．
【详解】
解：由前几个图可发现规律：上面的数是连续的奇数1，3，5，7···2n-1，左下角的数是20，21，22，23，····，，右下角的数等于上面的数和左下角的数字之和，
∵，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1045．
【点睛】
本题考查数字变化规律，观察出左下角的数的变化规律及上面的数与左下角的数的和刚好等于右下角的数是解题的关键．
9．（2022·湖北恩施·七年级期末）如图将大于0的奇数按照如图排列，则第11行最后一个数是__________．

【答案】131
【解析】
【分析】
根据数字的变化类寻找每一行数字的变化规律即可求解．
【详解】
解∶观察所给数阵，得每一行的变化规律如下∶
第1行的最后一个数∶ 1×2-1=1，
第2行的最后一个数∶ 2×3-1=5，
第1行的最后一个数∶ 3×4-1=11，
第n行的最后一个数∶n (n+1) -1，
∴第11行的最后一个数∶ 11×12-1=131，
故答案为131．
【点睛】
本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是寻找每一行数字的变化规律．
10．（2022·四川广元·七年级期末）如图，在数轴上，O，，P三点表示的数分别是0，1，2，已知两点到点O的距离相等，两点到点P的距离相等，两点到点O的距离相等，两点到点P的距离相等，…，依此规律，则点表示的数是_________．

【答案】4041
【解析】
【分析】
按照题意写出A1到A6对应的数，可发现A2n-1与A2n表示数字的绝对值相同，且与下一组的绝对值依次增加4，据此进行求解即可．
【详解】
解：由题意可得， 点A1表示的数为：1，
点A2表示的数为：-1，
点A3表示的数为：2×2-（-1）=5，
点A4表示的数为：-5，
点A5表示的数为：2×2-（-5）=9，
点A6表示的数为：-9，
…
∴第An个数为：当n为奇数时，
当n为偶数时，
∴点A2021表示的数是：，
故答案为：4041．
【点睛】
本题考查了数字的变化规律，数轴上两点之间的距离，熟练掌握探究的方法并归纳出变化规律是解本题的关键．
11．（2022·山东烟台·期末）观察下列等式：
13＝12；
13+23＝32；
13+23+33＝62；
13+23+33+43＝102；
13+23+33+43+53＝152；
(1)根据以上等式的规律，请你写出第6个等式；
(2)用含n（n为正整数）的式子表示第n个等式；
(3)请用上述规律计算：53+63+73+…+203．
【答案】(1)(2)(3)44 000
【解析】
【分析】
（1）利用类比的方法得到第⑥个算式为 13+23+33+43+53+63=212；
（2）同样利用类比的方法得到第n个算式为 13+23+33+43+…+n3＝；
（3）将53+63+73+…+203转化为（13+23+33+43+…+203）-（13+23+33+43）后代入总结的规律求解即可．
（1）解：∵①13=12，②13+23=(1+2)2=32，③13+23+33=(1+2+3)2=62，④13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，⑤13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=152，……，∴第⑥个算式为13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212；
（2）第n个算式为13+23+33+43+…+n3＝(1+2+3+4+…+n)2=；
（3）解：原式= = ==44100-100=44000
【点睛】
本题考查了数字的变化类问题，仔细观察每个算式，观察出从1开始的连续自然数的立方和等于这些数的和的平方是解题的关键．
考点5：图形规律探究
典例：（山东省青岛市西海岸新区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）为迎接七一建党节，某社区党委在广场上设计了一座三角形展台，需在它的每条边上摆放上相等盆数的鲜花进行装饰．若每条边上摆放两盆鲜花，共需要3盆鲜花；若每条边上摆放3盆鲜花，共需要6盆鲜花；…，按此要求摆放下去（如图所示，每个小圆圈表示一盆鲜花）

(1)填写下表：
每条边上摆放的盆数（）
2
3
4
5
6
…
需要的鲜花总盆数（）
3
6
9


…
(2)写出需要的鲜花总盆数与之间的关系式______；
(3)能否用2022盆鲜花作出符合要求的摆放？如果能，请计算出每条边上应摆放的盆数；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)12，15(2)或(3)能，675盆
【解析】
【分析】
(1)观察图形发现每后一个图形总比前一个图形多3盆鲜花，由此继续填写表格即可．
(2)根据(1)发现的规律，把y用含n的代数式表示出来即可
(3)计算一下当y=2022时n的值，若n为正整数，则能用2022盆鲜花作出符合要求的摆放；若n不是正整数，则不能用2022盆鲜花作出符合要求的摆放
（1）填写下表：
每条边上摆放的盆数（）
2
3
4
5
6
…
需要的鲜花总盆数（）
3
6
9
12
15
…
（2）或
（3）当时，，解得，∴能用2022盆鲜花作出符合要求的摆放答：每条边应摆放675盆鲜花．
方法或规律点拨
此题是一道找规律题，要求学生能认真观察图形找到规律，并且把规律用含有字母的代数式表示出来．对学生的要求比较高，能够发现规律是解答本题的关键．
巩固练习
1．（2022·山东济宁·中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（   ）

A．297 B．301 C．303 D．400
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第100个图摆放圆点的个数．
【详解】
解：观察图形可知：第1幅图案需要4个圆点，即4＋3×0，
第2幅图7个圆点，即4+3=4+3×1；
第3幅图10个圆点，即4＋3＋3=4＋3×2；
第4幅图13个圆点，即4＋3＋3＋3=4＋3×3；
第n幅图中，圆点的个数为：4+3(n-1)=3n+1，
……，
第100幅图，圆中点的个数为：3×100+1=301．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
2．（2022·湖南永州·七年级期末）汉字文化正在走进人们的日常消费生活．下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点…依此规律则，图⑧中共有圆点的个数是（       ）

A．63 B．75 C．88 D．102
【答案】B
【解析】
【分析】
观察并比较每两个相邻的“汉字”的相同与不同之处，得出每两个相邻的“汉字”中后一个“汉字”前半部分与前一个“汉字”的前半部分圆点数量相等，后一个“汉字”的后半部分的圆点数总是前一个“汉字”后半部分顶部加上图案序号多2个的圆点与底部添加两个圆点，进而解决该题．
【详解】
解：在图①中，圆点个数为y1=12个．
在图②中，圆点个数为y2=y1+2+4=18个．
在图③中，圆点个数为y3=y2+2+5=25个．
在图④中，圆点个数为y4=y3+2+6=33个．
……，
以次类推，在图⑧中，圆点个数为y8=y7+（2+10）=y6+（2+9）+12
=y5+（2+8）+11+12
=y4+（2+7）+10+11+12
=33+9+10+11+12
=75．
故选：B．
【点睛】
本题考查了图形类规律，运用特殊到一般的数学思想是解决此类规律题的关键．
3．（2022·陕西咸阳·七年级期末）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2022个图案中涂有阴影的小正方形个数是（　　）

A．8089 B．8088 C．4044
D．4045
【答案】A
【解析】
【分析】
先数出三个图形中阴影小正方形的个数，再总结规律并推广至一般情形，从而求出第2022个图案中涂有阴影的小正方形个数．
【详解】
第一个图案有5个：；
第二个图案有9个：；
第三个图案有13个：；
…
则第n个图形有：个；
故第2022个图案中有(个)．
故选:A．
【点睛】
本题考查图案的变化规律问题，解决本题的关键是找到正确的变化规律即可．
4．（2022·浙江舟山·七年级期末）已知某点阵的第①②③个图如图所示，按此规律第（     ）个点阵图中，点的个数为2022个．

A．1009 B．2018 C．2022 D．2048
【答案】A
【解析】
【分析】
仔细观察图形变化，找到图形变化的规律，利用规律求解．
【详解】
解：第1个图里有6个点，6=4+2；
第2个图有8个点，8=4+2×2；
第3个有10个点，10=4+3×2；
…
则第n个图中点的个数为4+2n，
令4+2n=2022， 解得n=1009．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据图形得出每往后一个图形，点的个数相应增加2个．
5．（2022·河南驻马店·七年级期末）如图所示，用火柴棍摆成第1个图形所需要的火柴棍的根数是4，摆成第2个图形所需要的火柴棍的根数是12，摆成第3个图形所需要的火柴棍的根数是24，按照此类图形的结构规律，摆成第10个图形所需要的火柴棍的根数是（       ）

A．196 B．100 C．220 D．200
【答案】C
【解析】
【分析】
观察图形得：第一个图形有4×1根火柴，第二个图形有4×（1+2）根火柴，第三个图形有4×（1+2+3）根火柴，据此规律求解即可．
【详解】
解：观察图形得：
第1个图形有4×1根火柴，
第2个图形有4×（1+2）根火柴，
第3个图形有4×（1+2+3）根火柴，
第4个图形有4×（1+2+3+4）=40根火柴，
…
所以第10个图形所需要的火柴棍的根数是：10×（1+2+3+4+…+10）=220根火柴，
故选：C．
【点睛】
本题是一个找规律的题，根据前几个图形中火柴棒的个数总结规律，用此规律求解在第n个图形中的火柴棒的个数．
6．（2022·浙江衢州·七年级期末）如图1所示，一块瓷砖表面有四条分割线，由分割线可构成一个正方形图案．图2由两块瓷砖铺成，分割线可构成3个正方形．图3由四块瓷砖铺成，分割线可构成9个正方形．若用十二块瓷砖铺成长方形，则由分割线可构成的正方形数不可能是（）

A．35 B．33 C．28 D．23
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得：12块瓷砖拼成长方形，有1×12，2×6，3×4这三种情况，分类讨论即可．
【详解】
解：当瓷砖拼成1×12的长方形时，一共有2×12-1=23个正方形；
当瓷砖拼成2×6的长方形时，一共有6×6-3=33个正方形；
当瓷砖拼成3×4的长方形时，一共有10×4-5=35个正方形．
故选：C．
【点睛】
本题考查图形拼接的分类讨论．解题的关键是穷举几种拼接的方式，并针对每种方式，从简单到一般找出正方形数量变化的规律．
7．（2021·广东·雷州市第三中学七年级期中）如图（1）表示1张餐桌和6张椅子（每个小半圆代表1张椅子），若按这种方式摆放n张餐桌需要的椅子张数是________．

【答案】4n+2##
【解析】
【分析】
结合图形进行分析，发现每多一张餐桌，就多4张椅子．
【详解】
解：结合图形发现：1张餐桌时，是6张椅子，
在6的基础上，每多一张餐桌，就多4张椅子，
则共有n张餐桌时，就有6+4（n-1）=4n+2，
故答案为4n+2．
【点睛】
本题考查了图形类规律题，找到规律是解题的关键．
8．（2022·河北保定·七年级期末）如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．

（1）4节链条拉直后长度为_______；
（2）n节链条拉直后长度为_______；
（3）如果一辆自行车的链条由50节这样的链条首尾环形相连组成，那么该自行车链条环的长度是_______．
【答案】               85
【解析】
【分析】
（1）观察图形，可知4节链条有3处交叉重叠的圆，总长减去重叠部分即为所求．
（2）观察图形，可知n节链条有处交叉重叠，总长减去重叠部分即为所求．
（3）根据（2）中得出的结论，代入50求解即可，由于首尾环形相连，总长还需再减去．
【详解】
（1）；
（2）；
（3）；
故答案为：，，85．
【点睛】
本题考查图形的变化规律问题，解决本题的关键是求出n节链条与每节链条长度之间的关系．
9．（2022·湖北宜昌·九年级期末）（1）探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和．
①求三角形点阵中前10行的点数和；
②若三角形点阵中前a行的点数之和为300，求a的值；
③三角形点阵中前b行的点数之和 是600吗？（填“能”或“不能”）
（2）拓展：若果把（1）的三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，
①求这个三角形点阵中前n行点数和（用含n的代数式表示）；
②这个三角形点阵中前n行点数和能是600吗？若能，求出n；若不能，请说明理由．

【答案】（1）①55；②24；③不能（2）①n（n＋1）；②能，n＝24
【解析】
【分析】（1）①由于第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点…，则前10行共有（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）个点；
②前a行共有（1+2+3+4+5+…+a）个点，然后求它们的和，前a行共有 个点，则＝300，然后解方程得到a的值；
③由（1）得b（b+1）＝600×2，求b的值即可；
（2）①根据2+4+6+…+2n＝2（1+2+3+…+n）＝2× ，求n的值，进而得出这个三角形点阵中前n行点数和；
②由①得n（n+1）＝600，求n的值即可．
【详解】
解：（1）①三角形点阵中前10行的点数和为：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝55；
②由题意可得：1＋2＋3＋4＋5＋…＋a＝300，
即，
整理得a2＋a－600＝0，
（a＋25）（a－24）＝0，
∴a1＝－25，a2＝24，
∵a为正整数，
∴a＝24；     
③由（1）得b（b+1）＝600×2，即，
方程无整数解，
三角点阵中前b行的点数的和不能是600．
（2）①这个三角形点阵中前n行点数和为：
2＋4＋6＋…＋2n＝2（1＋2＋3＋…＋n）＝n（n＋1）；
②三角点阵中前n行的点数的和能是600．理由如下：
依题意，得n（n＋1）＝600，
即n2＋n－600＝0，
△＝49，开平方得出整数，
故三角点阵中前n行的点数的和能是600．n＝24
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
10．（2022·山东青岛·七年级期末）阅读下列材料并完成
将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接对应的各分点，则图形中一共有多少个正方形？
问题探究：
为了解决上面的问题，我们先研究特殊的情形，再逐次递进最后得出结论．

探究一：将一个边长为2的正方形四条边分别平分，连接各边对应的中点，则图形中一共有多少个正方形？
如图1，连接边长为2的正方形四条边的中点，边长为1的正方形有22＝4个；边长为2的正方形有12＝1个，总共有12+22＝1+4＝＝5个正方形．
探究二：将一个边长为3的正方形四条边分别三等分，连接各边对应的三等分点，则图形中一共有多少个正方形？
如图2，连接边长为3的正方形四条边对应的三等分点，边长为1的正方形有32＝9个；边长为2的正方形有22＝4个；边长为3的正方形有12＝1个，总共有12+22+32＝1+4+9＝＝14个正方形．
(1)探究三：请你仿照上面的方法，探究将边长为4的正方形四条边四等分，连接各边对应的四等分点，则图形中一共有多少个正方形？（在图3中画出示意图，并写出探究过程）
(2)探究四：将边长为5的正方形四条边五等分，连接各边对应的五等分点，则图形中一共有　 　个正方形．
(3)问题解决：将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接各边对应的n等分点，则图形中一共有　 　个正方形？
(4)应用拓展：计算：1+3+8+24+…+899＝　 　．
【答案】(1)30个，图见解析(2)55(3)(4)9411
【解析】
【分析】
（1）先画出图形，再根据探究二的思路即可得；
（2）根据探究三的思路得出规律即可解决问题；
（3）根据探究一、二、三归纳类推出一般规律即可得；
（4）将原式转化为，再利用规律计算即可得．
(1)解：画图如下：

由图可知，边长为1的正方形有个；边长为2的正方形有个；边长为3的正方形有个，边长为4的正方形有个，
则总共有个正方形．
(2)解：将边长为5的正方形四条边五等分，连接各边对应的五等分点，则图形中正方形的个数为（个），
故答案为：55．
(3)解：当时，图形中正方形的个数为，
当时，图形中正方形的个数为，
当时，，
归纳类推得：将边长为的正方形四条边分别等分，连接各边对应的等分点，图形中一共有正方形的个数为，
故答案为：．
(4)解：原式


，
故答案为：9411．
【点睛】
本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
能力提升

一、单选题（每题3分）
1．（2022·广西河池·七年级期末）单项式系数与次数分别是（       ）．
A．2，2 B．2，3 C．-2，3 D．-2，2
【答案】C
【解析】
【分析】
单项式中的数字因数叫做单项式的系数；一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数．
【详解】
解：单项式−2x2y的系数是-2，次数是3，
故选C．
【点睛】
本题考查单项式的知识，掌握单项式的系数和次数的定义是解决此题的关键．
2．（2022·甘肃酒泉·七年级期末）下列代数式的书写格式规范的是（　　）
A．a×b÷5+1 B． C．ab2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据代数式的书写格式：系数不能写成带分数，必须写成假分数，字母与数字相乘，数字必须写在前面等判断即可．
【详解】
解：A、，所以原书写格式不规范，故本选项不符合题意；
B、，书写格式规范，故本选项符合题意；
C、，所以原书写格式不规范，故本选项不符合题意；
D、，所以原书写格式不规范，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】
本题考查了代数式，熟练掌握代数式的书写格式是解题的关键．
3．（2022·河南鹤壁·七年级期末）多项式是关于的四次三项式，则的值是（       ）
A．4 B． C． D．4或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据四次三项式的定义可知，该多项式的最高次数为4，项数是3，所以可确定m的值．
【详解】
解：∵多项式是关于x的四次三项式，
∴|m|=4，m-4≠0，
∴m=-4，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了与多项式有关的概念，解题的关键理解四次三项式的概念，多项式中每个单项式叫做多项式的项，有几项叫几项式，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．
4．（2022·浙江衢州·七年级期末）如图，直角三角尺中阴影部分的面积可以表示为（　　）

A．ab﹣πr2 B．﹣πr2 C．ab﹣2πr D．﹣2πr2
【答案】B
【解析】
【分析】
用三角形的面积减去圆的面积即可得阴影部分的面积．
【详解】
解：∵S△=，S圆=πr2，
∴S阴= S△- S圆=﹣πr2．
故选B．
【点睛】
本题考查了用代数式表示图形的面积，熟记基本图形的面积公式是解题的关键．
5．（2021·广东·雷州市第三中学七年级期中）观察下列关于x的单项式，探究其规律，x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6…按照上述规律第2021个单项式是（       ）
A．2021x2021 B．4041x2020 C．4041x2021 D．4043x2021
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目中的单项式，可以发现单项式的系数是从1开始的一些连续的奇数，字母的指数幂是从1开始的一些连续的整数，从而可以写出第n个单项式，然后即可得到第2021个单项式．
【详解】
解：∵一列单项式为：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…，
∴第n个单项式为（2n-1）xn，
∴当n=2021时，这个单项式是（2×2021-1）x2021=4041x2021，
故选：C．
【点睛】
本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是发现单项式系数与数字的变化特点，写出相应的单项式．
6．（2022·山东临沂·七年级期末）植物园内，月季花按正方形种植，在它的周围种植牵牛花，如图反映了月季花的列数（n）和牵牛花的数量规律，那么当n＝2021时，牵牛花的数量为（　　）

A．8076株 B．8080株 C．8084株 D．8088株
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题目中的图形，可以发现其中的规律，从而可以求得当n＝2021时的牵牛花的数量．
【详解】
解：由图可得，
当n＝1时，牵牛花的数量为：3×4﹣4＝8，
当n＝2时，牵牛花的数量为：4×4﹣4＝12，
当n＝3时，牵牛花的数量为：5×4﹣4＝16，
当n＝4时，牵牛花的数量为：6×4﹣4＝20，
…，
故牵牛花的数量为4（n+2）+4＝4n+4，
∴当n＝2021时，牵牛花的数量为4×2021+4＝8088，
故选：D．
【点睛】
本题考查图形规律探索，解题的关键是结合图形找出其中的规律，
二、填空题（每题3分）
7．（2022·全国·七年级课时练习）写出一个只含字母x、y，并且系数为负数的三次单项式 _____．（提示：只要写出一个即可）
【答案】-x2y（答案不唯一）
【解析】
【分析】
只要根据单项式的定义写出此类单项式即可，（答案不唯一）．
【详解】
详解：只要写出的单项式只含有两个字母x、y，并且系数为负数未知数的指数和为3即可．
故答案为：-x2y，（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查的是单项式的定义及单项式的次数，属开放性题目，答案不唯一．
8．（2021·云南·川师大昆明附中安宁校区七年级期中）在式子①，②，③，④，⑤，⑥，⑦0中，整式有______个．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据整式的定义即可求解．
【详解】
在式子①，②，③，④，⑤，⑥，⑦0中，整式有①，②，③，⑥，⑦0，故有5个
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查整式的识别，解题的关键是熟知整式是单项式和多项式的统称．
9．小王用100元人民币买3枚面值为a元的邮票，应找回__________元．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可以列出相应的代数式，本题得以解决．
【详解】
解：根据题意可得：用于买邮票的钱是：元，
则应找回元，
故答案为：．
【点睛】
本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
10．（2022·甘肃酒泉·七年级期末）多项式 是________次_______项式．
【答案】     八     四
【解析】
【分析】
根据多项式的项和多项式的次数的定义得出即可．
【详解】
解：多项式中次数最高的项为，次数为8，多项式共有4项，
故答案为：八，四．
【点睛】
本题考查了多项式的次数和项的定义，能熟记多项式的次数和项的定义是解此题的关键，注意：两个或两个以上的单项式的和，叫多项式，其中每个单项式，叫多项式的项，多项式中，次数最高的项的次数，叫多项式的次数．
11．（2022·四川眉山·七年级期末）多项式按x的降幂排列为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据加法交换律进行降幂排列．
【详解】
解：多项式2x2按x的降幂排列为：﹣5x4x3+2x2+x．
故答案为：﹣5x4x3+2x2+x．
【点睛】
本题考查多项式的降幂排列，连同正负号一起交换是求解本题的关键．
12．（贵州省黔东南州2020-2021学年七年级上学期期末考试数学试题）对于正数，规定，例如：，，，…利用以上的规律计算：____．
【答案】
【解析】
【分析】
按照定义式规定，发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的 ，最后再求和即可．
【详解】
解：∵f（1）＝＝，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（3）＝＝，f（）＝＝，…，f（2020）＝＝，f（）＝＝，
∴f（2）+f（）＝＝1，f（3）+f（）＝＝1，…，f（2020）+f（）＝+＝1，
∴


故答案为：．
【点睛】
本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022·全国·七年级专题练习）已知代数式：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．
其中属于单项式的有_________________；（填序号）
属于多项式的有____________________；（填序号）
属于整式的有__________________________．（填序号）
【答案】①②⑥⑨，③⑤，①②③⑤⑥⑨
【解析】
【分析】
根据单项式，多项式和整式的定义将所给的代数式分类．
【详解】
解：单项式有：，，，；
多项式有：，；
整式有：，，，，，．
故答案是：①②⑥⑨，③⑤，①②③⑤⑥⑨．
【点睛】
本题考查单项式，多项式和整式的定义，解题的关键是掌握单项式，多项式和整式的分类．
14．（2022·江苏·七年级专题练习）某花卉基地购买了一批水培植物营养液，已知甲种营养液每瓶2L，乙种营养液每瓶3L．
(1)若花卉基地购买了甲种营养液m箱（每箱12瓶），乙种营养液n箱（每箱10瓶），共QL．用含m，n的式子表示Q；
(2)若购进甲种营养液瓶，乙种营养液瓶，用科学记数法表示Q．
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出代数式即可求解；
（2）根据题意列出代数式再合并，然后利用科学记数法的方法即可求解．
(1)
解：Q=2×12m+3×10n=24m+30n；
(2)
解：Q=2×6×103+3×5×104
=12×103+15×104
=1.2×104+15×104
=16.2×104
=1.62×105．
【点睛】
本题考查了列代数式，用科学记数法表示较大的数．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
15．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，每个图形都由同样大小的正方形按照一定的规律组成，每个正方形的面积是1．

根据图形与等式的关系解答下列问题：
(1)直接写出图5所反映的等式：　　　　　　　　　　　　　　　；
(2)直接写出图n所反映的等式：　　　　　　　　　　　　　　　；
(3)根据（2）的结论计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据规律直接写出即可；
（2）总结规律直接写出即可；
（3）利用原式=，据此解答即可．
(1)解：根据题意可知，图5的等式为：
故答案为：；
(2)由图1等式，
图2等式，
图3等式
由此规律知，图n的等式为
故答案为：；
(3)

=
=

【点睛】
本题考查图形的变化规律，灵活运用数形结合的方法是解题关键．