人教版七年级上册4.2 直线、射线、线段优秀随堂练习题

这是一份人教版七年级上册4.2 直线、射线、线段优秀随堂练习题，文件包含专题42直线射线线段教师版人教版docx、专题42直线射线线段学生版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共103页， 欢迎下载使用。

专题4.2 直线、射线、线段
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1、直线、射线、线段的比较
名称
不同点
联系
共同点
延伸性
端点数
线段
不能延伸
2
线段向一方延长就成射线，向两方延长就成直线
都是直的线
射线
只能向一方延伸
1
直线
可向两方无限延伸
无
2、点、直线、射线和线段的表示
在几何里，我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示，如点A
一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线l,或者直线AB
一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面），如射线l,射线AB
一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段l,线段AB
3、点和直线的位置关系有两种：
①点在直线上，或者说直线经过这个点。
②点在直线外，或者说直线不经过这个点。
4、线段的性质
（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。
（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
（3）线段的中点到两端点的距离相等。
（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
（5）线段的比较：1.目测法 2.叠合法 3.度量法
5、线段的中点：
点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。
M
A
B



M是线段AB的中点
AM=BM=AB（或者AB=2AM=2BM）
6、直线的性质
（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。
（2）过一点的直线有无数条。
（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。
（4）直线上有无穷多个点。
（5）两条不同的直线至多有一个公共点。
考点精讲

考点1：根据几何语言画图
典例：（2022·河北保定·七年级期末）（1）如图，平面上有四个点，，，，按照以下要求作图：

①作直线；
②作射线交直线于点；
③连接，交于点；
（2）图中共有______条线段；
（3）若图中是的一个三等分点，，已知线段上所有线段之和为18，求长．
【答案】（1）见解析；（2）12；（3）
【分析】（1）依据要求进行作图即可；
（2）根据DE上有3条线段，CE上有3条线段，AC上有3条线段，BD上有3条线段，可得结论；
（3）设AF＝x，则CF＝2x，AC＝3x，依据x+2x+3x＝18，解方程即可得解．
【详解】（1）如图所示：

（2）上有3条线段，上有3条线段，上有3条线段，上有3条线段，故共有12条线段；
故答案为：12；
（3）设，则，，
，
解得，，
.
方法或规律点拨
本题主要考查了线段、射线、直线、一元一次方程求线段长度，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．
巩固练习
1．（2022·广东·惠州市德兴通中英文学校九年级开学考试）根据下列语句画出图形．
(1)点A在直线l上，点B在直线l外；
(2)过点N画射线MN；
(3)画一条与线段AB相交的直线CA．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）先画直线 再在直线上描点A，再在直线外描点B，可得答案；
（2）任取两点M，N，再画射线MN即可；
（3）先连接AB，再过A画直线AC即可．
（1）
解：如图，点A，点B，直线即为所画的图形，

（2）
如图，射线MN为所作；
（3）
如图，直线CA为所作．
【点睛】本题考查的是根据作图语句画直线，画射线，以及点与直线的位置关系，掌握“根据基本的作图语言画图”是解本题的关键．
2．（2022·山东·诸城市龙源学校七年级阶段练习）按要求作图．

(1)作线段AD和射线AC；
(2)在射线AC上，作出线段AE，使AE＝AC－AB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据线段与射线的定义分别画出即可；
（2）在线段AC上截取CE=AB，即可得出AE．
（1）
解：如图，线段AD和射线AC即为所求；

（2）
如图，线段AE即为所求；

【点睛】此题考查了射线和线段的定义与画法，熟练掌握相关定义是解题的关键．
3．（2022·山东·阳谷县阿城中学七年级阶段练习）读下面的语句，并按照这些语句画出图形．
(1)画直线交于点E；
(2)画线段交于点F；
(3)连接并延长交线段于点G；
(4)连接，并将其反向延长；
(5)作射线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
(5)见解析

【分析】（1）根据题意结合直线的定义作图即可；
（2）根据题意结合线段的定义作图即可；
（3）根据题意作图即可；
（4）根据题意作图即可；
（5）根据射线的定义作图即可；
（1）
如图，直线和点E，即为所作；
（2）
如图，线段和点F，即为所作；
（3）
如图，射线，线段和点G，即为所作；
（4）
如图，射线，即为所作；
（5）
如图，射线，即为所作；

【点睛】本题考查作图—线段，射线，直线．掌握线段，射线，直线的定义是解题关键．
4．（2022·福建·测试·编辑教研五七年级期中）根据下列语句画出图形：
①连接AC，BD相交于点；
②延长线段AB，DC相交于点E；
③反向延长线段DA，CB相交于点F．

【答案】见解析
【分析】连接AC、BD即可；根据方向延长AB，DC交于点E；反向延长线段DA，CB相交点记为F．
【详解】解：线段AC、BD即为所求作的线段，点O、E、F即为所求作的点，如图所示：

【点睛】本题主要考查了直线、射线和线段，关键是掌握三线的性质：直线没有端点，可以向两方无限延伸；射线有1个端点，可以向一方无限延伸；线段有2个端点，本身不能向两方无限延伸．
5．（2022·山东·单县湖西学校七年级期中）如图，在平面内有A、B、C三点．

(1)画直线AB，射线AC，线段BC；
(2)在线段BC上任取一点D（不同于B、C），连接AD，并延长AD至点E，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据直线、射线、线段的画法即可得；
（2）先在线段上任取一点（不同于），再连接，利用直尺延长至点，使得即可．
（1）
解：如图，直线，射线，线段即为所求．
（2）
解：如图，线段即为所求．

【点睛】本题考查了画直线、射线和线段，熟练掌握直线、射线和线段的画法是解题关键．
6．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一六三中学校期中）画图
如图，平面上有四点A、B、C、D，根据语句画图

(1)画直线、直线交于点E；
(2)画射线、射线相交于点F；
(3)画线段．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）画出直线AB、CD交于E点即可；
（2）作射线AC、BD交于点F即可；
（3）连接BC即可．
（1）
解：如图所示：

（2）
解：如（1）图所示；
（3）
解：如（1）图所示；
【点睛】本题考查了直线、射线以及线段的作法，掌握直线、射线以及线段的性质是解题的关键．
7．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D．根据下列语句，完成尺规作图：

(1)画直线AC；
(2)画射线BD交直线AC于点O；
(3)连接BC，并延长至点E，使CE＝2BC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）根据直线定义即可画直线AC．
（2）根据射线定义即可画射线BD交直线AC于点O．
（3）根据线段定义即可连接BC，并延长至点E，使CE＝2BC．
（1）
解：如图，直线AC即为所求；

（2）
如图，射线BD和点O即为所求；
（3）
如图，线段BC，CE即为所求．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，直线、射线、线段，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
8．（2022·河北保定·七年级期末）已知平面上有四个村庄，用四个点A、B、C、D表示．

(1)连接AB；
(2)作射线AD；
(3)作直线BC与射线AD交于点E；
(4)若要建一供电所M，向四个村庄供电，要使所用电线最短，则供电所M应建在何处？请画出点M的位置并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)M应建在AC与BD的交点处，理由见解析

【分析】（1）根据线段的定义连接即可；
（2）根据射线的定义作出即可；
（3）根据直线、射线的定义进而得出E点位置；
（4）根据线段的性质，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使它在AC与BD的交点处．
（1）
如图所示，连接AB即为所求；
（2）
如图所示，作射线AD即为所求；
（3）
如图所示，点E即为所求；
（4）
如图，点M即为所求，供电所M应建在AC与BD的交点处；
理由：两点之间，线段最短．

【点睛】本题考查了作图与应用作图，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段最短，熟知线段的性质是解题的关键．
9．（2022·山东烟台·期中）作图题：
如图，已知点，，，，请按要求利用直尺和圆规作出图形．
要求：不写作图步骤，要保留作图痕迹．

(1)作直线和射线；
(2)连接，在线段上作出一点，使得；
(3)在直线上作出一点，使最短．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）根据直线，射线的定义作出图形即可；
（2）以点A为圆心，线段AC为半径画弧，交AD于点E，则点E即为所作；
（3）连接CD交AB于点P，则点P即为所作．
（1）
如图，直线和射线即为所求作：

（2）
如图，点E即为所作；
（3）
如图，点P即为所作．
【点睛】本题考查作图-复杂作图直线，射线的定义，两点之间线段最短，及线段的和差等知识，解题的关键是熟练掌握直线，射线，线段的定义．
10．（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校七年级阶段练习）如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图：

(1)画射线；
(2)连接；
(3)在直线l上确定点E，使得最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）根据射线的定义直接作图即可；
（2）直接连接BC即可；
（3）根据两点之间线段最短，连接AC与l相交即为所求点．
（1）
解：如图，射线AB即为所求．

（2）
线段CB即为所求．
（3）
如图，连接AC交直线l于点E，点E即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣简单作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．（2022·全国·七年级课时练习）如图．已知三点A．B．C．

(1)画直线AB．
(2)画射线BC．
(3)画线段AC．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析

【分析】（1）根据直线的定义作图可得；
（2）根据射线的定义作图即可得；
（3）根据线段的定义作图可得；
（1）
如图所示：直线AB为所求；
（2）
如图所示：射线BC为所求；
（3）
如图所示：线段AC为所求；

【点睛】本题考查了作图——复杂作图、直线、射线、线段，解决本题的关键是准确画图．
12．（2022·吉林松原·七年级期末）如图，已知平面内的四点、、、．请你按下列语句画图：

(1)连接
(2)作射线
(3)作直线
(4)线段与相交于点．
(5)反向延长到，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
(5)见解析

【分析】（1）运用直尺连接即可．
（2）用直尺，让直尺的边沿与B、C重合，从B开始，穿过点C画线，要超出点C即可．
（3）用直尺，让直尺的边沿与C、D重合，画线同时穿过C、D两点，且向两方伸展着即可．
（4）用直尺分别连接AC和BD，交点处就是E点．
（5）用直尺，让直尺的边沿与B、C重合，从C开始，穿过点B画线，用圆规截取BF=BC，交点就是所求．
（1）画图如下：．
（2）画图如下：．
（3）画图如下：．
（4）画图如下：．
（5）画图如下：．
【点睛】本题考查了线段、射线、直线、相交、截取的基本画图，熟练使用直尺和圆规是画图的关键．
13．（2022·山东淄博·期中）（1）如图，已知线段，用尺规作一条线段，使.（不写作法，保留作图痕迹）

（2）如图，已知四点的位置如图所示，根据下列语句，画出图形．
①画直线相交于点；
②画射线．

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析
【分析】（1）根据作线段和差的方法依次作出相应线段即可；
（2）①根据直线的定义作图，标出两直线的交点即可；
②根据射线的定义作图即可．
【详解】解：（1）作射线AM，以点A为圆心，a为半径画弧交于点B，
∴AB=a；
以点B为圆心，a为半径画弧交于点C，
∴BC=a；
以点C为圆心，b为半径画弧交于点D，
∴CD=b；
∴AD=AB+BC+CD=2a+b；

（2）①如图所示，直线AD、BC交于点O即为所求；
②射线AB即为所求．

【点睛】题目主要考查基本的作图，包括作线段的和差，直线、射线等，理解题意，掌握这些基本的作图方法是解题关键．
考点2：直线、射线、线段的数量和交点
典例：1.（2022·江西赣州·七年级期末）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）；
【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？

【答案】[观察发现]6，；[实践应用]120场
【分析】[观察发现]根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n−1)个交点；[实践应用] 把每个班作为一个点,进行一场比赛就是用线把两个点连接,用此方法即可.
【详解】[观察发现]解：①两条直线相交最多有1个交点：1=；
②三条直线相交最多有3个交点：3=；
③四条直线相交最多有6个交点：6=；…
n条直线相交最多有个交点．
故答案为：6，．
[实践应用]该类问题符合上述规律，所以可将n＝16代入．
∴这一轮共要进行120场比赛．
方法或规律点拨
本题主要考查图形的变化规律，解决本题的关键是要找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
2．（2022·全国·七年级专题练习）若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定一条线段．请仔细观察图形，解决下列问题：

(1)如图1，直线l上有3个点A，B，C，则可以确定 条线段；
(2)如图2，直线l上有4个点A，B，C，D，则可以确定 条线段；
(3)若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段？请写出解题过程．
【答案】(1)3(2)6(3)条，见解析
【分析】（1）根据线段定义即可求解．
（2）根据线段的定义即可求解．
（3）由（1）（2）找出规律即可求解．
（1）解：由图可得：
直线l上有3个点A，B，C，可得线段AB、线段BC和线段AC，
则可以确定3条线段，
故答案为：3．
（2）有图可得：
直线l上有4个点A，B，C，D，可得线段AB、线段AC、线段AD、线段BC、线段BD和线段CD，
则可以确定6条线段，
故答案为：6．
（3）由（1），（2）可得，
当直线上有n个点，则：
．
方法或规律点拨
本题考查了线段的定义及数量关系，熟练掌握线段的定义及数量关系是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·山东·聊城市水城慧德学校七年级阶段练习）济青高铁北线，共设有5个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（　　）
A．20种 B．42种 C．10种 D．84种
【答案】A
【分析】根据图示，由线段的定义解决此题．
【详解】解：如图，图中有5个站点．

往同一个方向（从1站点往5站点的方向），需要印制不同的火车票种类的数量有（种）．
∴保证任意两个站点双向都有车票，需要印制车票种类的数量为（种）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查线段，熟练掌握清晰的逻辑思维以及线段的定义是解决本题的关键．
2．（2022·山东·万杰朝阳学校期中）下面图形中共有线段 (　　)条．

A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】分别以为线段的一个端点找出线段即可求解．
【详解】解：图中线段有：共10条，
故选D．
【点睛】本题考查了数线段条数，掌握线段的定义是解题的关键．
3．（2022·山东泰安·期中）如图，图中共有______条线段．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】线段有两个端点，据此再以每个点为起点，数出线段总数．（注意防止数重）
【详解】解：图中共有3条线段，即线段AC，CB，AB．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段的定义，熟练掌握线段定义，不数重，是解题的关键．
4．（2022·山东·聊城市茌平区实验中学七年级阶段练习）如图，观察图形，下列说法正确的有（     ）个
①直线和直线是同一条直线，②射线和射线是同一条射线，③，④三条直线两两相交时一定有三个交点

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据直线的表示方法对①进行判断；根据射线的表示方法对②进行判断；根据线段的性质对③进行判断；通过分类讨论对④进行判断．
【详解】解：①直线和直线是同一条直线，直线没有端点，此说法正确；
②射线和射线是同一条射线，都是以A为端点，同一方向的射线，正确；
③，三角形两边之和大于第三边，所以此说法正确；
④三条直线两两相交时，一定有三个交点，错误，可能有1个交点的情况．
所以共有3个正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段相关知识，掌握线段、射线、直线的表示方法是解题的关键．
5．（2022·福建·福州教院二附中七年级期末），，为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有(       )个．
A．，或 B．，，或 C．或 D．以上都不对
【答案】B
【分析】画出图形即可判断．
【详解】直线a、b、c的位置关系如下图：

由上图可知：平面内三条直线的交点个数可以是0，1，2或者3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面内直线之间的位置关系，题目的难点在于穷尽所有可能情况，注意不要因遗漏造成出错．
6．（2022·河南周口·七年级期末）2条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；n条直线相交最多有多少个交点？（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由2条直线相交时最多有1个交点、3条直线相交时最多有1+2=3个交点、4条直线相交时最多有1+2+3=6个交点，可得5条直线相交时交点数为1+2+3+4、6条直线相交时交点数为1+2+3+4+5、7条直线相交时交点数为1+2+3+4+5+6，可知n条直线相交，交点最多有．
【详解】解：∵2条直线相交时，最多有1个交点；
3条直线相交时，最多有1+2=3个交点；
4条直线相交时，最多有1+2+3=6个交点；
…
∴5条直线相交时，最多有1+2+3+4=10个交点；
6条直线相交时，最多有1+2+3+4+5=15个交点；
7条直线相交时，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点；
n条直线相交，交点最多有．
故选A．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形中相交点数量得出：n条直线相交，交点最多有1+2+3+…+n-1个是解题的关键．
7．（2022·湖北·武穴市百汇学校七年级阶段练习）平面内三条直线的交点个数可能有（　　）
A．0个或1个或2个或3个 B．1个或2个或3个
C．1个或2个 D．1个或3个
【答案】A
【分析】根据三直线互相平行，可得交点个数；两直线平行与第三条直线相交，可得交点个数；三条直线相交于一点；三条直线两两相交，可得交点个数．
【详解】解：①三直线互相平行，
交点个数为0；
②两直线平行与第三条直线相交，
交点个数为2个；
③三条直线相交于一点，
交点个数为1个；
④三条直线两两相交，
交点个数为3个；
综上所述，平面内三条直线的交点个数可能有0个或1个或2个或3个，
故选：A．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段，注意要分类讨论，有4种可能，不要漏解．
8．（2022·山东青岛·七年级期末）平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是m个，最多是n个，则m+n的值为（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】C
【分析】根据平面内两两相交直线交点的个数所呈现的规律得出m、n的值即可．
【详解】解：平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是1个，即m＝1，
平面内两两相交的7条直线，其交点个数最多是1+2+3+4+5+6＝21（个），即n＝21，
所以m+n＝22，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直线相交的交点情况，找出交点个数是解题的关键．
9．（2022·山东·聊城市茌平区实验中学七年级阶段练习）经过平面内A、B、C、D四点中的每两点作一条直线，可以做_____________条直线．
【答案】1或4或6
【分析】同一平面内的四个点，可以是在同一直线上，可以三点在一条直线上，也可以是任意三点不在同一条直线上，根据过两点有且只有一条直线可以得出答案．
【详解】解：根据题意可以分为三种情况：
①四点在同一直线上：则只能做一条直线；
②其中三点在同一直线上：如图

可以作出4条直线；
③任意三点都不在一条直线上：如图

即可作出6条．
综上可以得出可以为1条，可以是4条，可以是6条．
故答案为：1或4或6．
【点睛】本题考查了直线的性质，要考虑到平面内的四个点的位置不确定，注意分情况讨论．
10．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图，已知点B、C在线段AD上，

(1)图中共有 条线段；
(2)若AD=40，BC=26，点M是AB的中点，点N是CD的中点，求MN的长度．
【答案】(1)6
(2)33

【分析】（1）根据线段有两个端点，得出所有线段的条数；
（2）依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到MN的长度．
（1）
图中共有6条线段，分别是AB、AC、AD、BC、BD、CD，
故答案为：6；
（2）
∵AD＝40，BC＝26，
∴AB+CD＝AD﹣BC＝40﹣26＝14，
∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∴BMAB，CNCD，
∴BM+CN（AB+CD）14＝7，
∴MN＝BM+CN+BC＝7+26＝33．
答：MN的长度是33．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算是解决本题的关键．
11．（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）阅读并填空：
问题：在一条直线上有，，，四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？
要解决这个问题，我们可以这样考虑，以为端点的线段有，，3条，同样以为端点，以为端点，以为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4×3＝12（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有______条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有______条线段；若在一条直线上有个点，则这条直线上共有______条线段．
知识迁移：若在一个锐角内部画2条射线，，则这个图形中总共有______个角；若在内部画条射线，则总共有______个角．
学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段线路准备______种不同的车票．
【答案】6 ，10，，6，，20
【分析】问题：根据线段的定义解答；
知识迁移：根据角的定义解答；
学以致用：先计算出线段的条数，再根据两站之间需要两种车票解答．
【详解】解：问题：根据题意，则
；
；
；
知识迁移：在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有
1+2+3+…+n+（n+1）=个不同的角；
学以致用：5个火车站代表的所有线段的条数
×5×4=10，
需要车票的种数：10×2=20（种）．
故答案为：6 ，10，，6，，20；
【点睛】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．
12．（2022·河北廊坊·七年级期末）如图，已知线段．

(1)请用尺规按要求作图．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
①在线段的延长线上取点C，使；
②在线段的延长线上取点D，使；
(2)在（1）的条件下，图中共有__________条线段；
(3)在（1）的条件下，若，则__________，__________，__________．
【答案】(1)①见解析； ②见解析
(2)6
(3)6；9；12

【分析】（1）①以B为圆心，AB为半径画弧交AB的延长线于点C，BC即为所求；②以A为圆心，AC为半径画弧交BA的延长线于点D，AD即为所求；
（2）任意两个点的连线即是一条线段，据此即可求解；
（3）根据（1）中的等量关系即可求解．
【详解】（1）①、②如下图：

①BC即为所求，②AD即为所求；
（2）图中的线段有：DA、DB、DC、AB、AC、BC，共计6条，
故答案为：6；
（3）∵AB=BC，AB=3cm，
∴BC=3cm，
∴AC=AB+BC=3+3=6（cm），
∵AC=AD，
∴AD=6cm，
∴BD=DA+AB=6+3=9（cm），
∴CD=BD+BC=9+3=12（cm），
故答案为：6、9、12．
【点睛】本题考查了简单作图---做线段、线段的等量关系等知识，厘清图中线段的等量关系是解答本题的基础．
13．（2022·全国·七年级专题练习）按要求完成作图及作答：

(1)如图1，请用适当的语句表述点P与直线l的关系：　 　；
(2)如图1，画直线PA；
(3)如图1，画射线PB；
(4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 　 　个交点．
【答案】(1)P在直线l外；
(2)见解析
(3)见解析
(4)7

【分析】（1）根据点与直线的关系即可填空；
（2）根据直线的定义即可画直线PA；
（3）根据射线的定义即可画射线PB；
（4）根据题意画出图形即可得平面内最多新增的交点个数．
（1）
点P与直线l的关系：P在直线l外；
故答案为：P在直线l外；
（2）
如图1，直线PA即为所求；
（3）
如图1，射线PB即为所求；

（4）
如图2，新增的两条直线使得平面内最多新增7个交点．

故答案为：7．
【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图，直线的性质：两点确定一条直线，相交线，解决本题的关键是掌握直线的性质．
考点3：线段的和与差作图
典例：（2022·全国·七年级专题练习）如图，点在线段上.按要求完成下列各小题.

(1)尺规作图：在图中的线段的延长线上找一点，使得；
(2)在（1）的基础上，图中共有______条线段，比较线段大小：______（填“>”“<”或“=”）；
(3)在（1）的基础上，若，，求线段的长度.
【答案】(1)作图见解析(2)6；(3)
【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）根据线段的定义，判断即可；
（3）利用线段和差定义解决问题即可．
（1）解：如图，线段CD即为所求；

（2）解：图中共有6条线段，
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，
故答案为：6，＝；
（3）
解：由（1）知AB＝CD．
因为BC＝2AB，
所以BC＝2CD，
所以BD＝BC+CD＝3CD＝6，
所以CD＝2＝AB，
所以AD＝2+6＝8．
方法或规律点拨
本题考查作图﹣复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义．
巩固练习
1．（2022·上海市罗南中学阶段练习）如图所示，已知线段，求作一线段．作法：画射线，在射线上截取，在线段上截取，那么所求的线段是（     ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据线段的和差定义即可判断．
【详解】解：∵，，
∴，
∴所求线段是．
故选：A．
【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，属于基础题．
2．（2021·山东淄博·期中）按下列长度，A，B，C三点不可能在同一条直线上的是（    ）
A．AB＝10，AC＝2，BC＝8 B．AB＝5，AC＝20，BC＝16 C．AB＝6，AC＝10，BC＝16 D．AB＝10，AC＝15，BC＝5
【答案】B
【分析】根据A、B、C三点要在同一条直线上，那么线段AB、AC、BC必存在等量关系，由此问题可求解．
【详解】解：A、由AC+BC=10=AB可知A、B、C三点在同一条直线上，故不符合题意；
B、由线段AB、AC、BC的长度可知不存在等量关系，所以A、B、C三点不在同一条直线上，故符合题意；
C、由AC+AB=16=BC可知A、B、C三点在同一条直线上，故不符合题意；
D、由AB+BC=15=AC可知A、B、C三点在同一条直线上，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查直线、线段、射线，熟练掌握各个定义是解题的关键．
3．（2022·上海理工大学附属初级中学期末）如图，AC>BD，比较线段AB与线段CD的大小（    ）

A．AB＝CD B．AB>CD C．AB＜CD D．无法比较
【答案】B
【分析】由AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC>BD，则AB>CD．
【详解】∵AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC>BD，
∴AB>CD．
故选：B．
【点睛】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．
4．（2022·上海市罗南中学阶段练习）已知线段、，且（如图），画一条线段，使它等于．（不写画法或作法，保留画图或作图痕迹）

【答案】见解析
【分析】作射线，在射线上截取，在线段上截取，则线段，即可．
【详解】解：如图，作射线，在射线上截取，在线段上截取，则线段，
线段即为所求．

【点睛】本题考查了作线段，线段的和差，数形结合是解题的关键．
5．（2021·贵州毕节·七年级阶段练习）（1）如图，已知平面内A、B两点用没有刻度的直尺和圆规按下列要求尺规作图，并保留作图痕迹①连接AB；②反向延长线段AB到C，使AC＝AB；③延长线段AB到D，使AD＝3AB．

（2）若点E是线段AC的中点，点F是线段AD中点，AB＝4cm，求线段EF、CD的长度，并说明线段EF、CD的数量关系．
【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）EF＝8cm，CD＝16cm，CD＝2EF
【分析】（1）根据要求作图即可．
（2）根据线段中点的定义可得出答案．
【详解】解：（1）①如图，线段AB即为所求．
②如图，线段AC即为所求．
③如图，线段AD即为所求．

（2）∵AB=AC=4cm，AD=3AB=12cm，点E是线段AC的中点，点F是线段AD中点，
∴AE=2cm，AF=6cm，
∴EF=AE+AF=8cm，CD=AC+AD=16cm，
∴CD=2EF．
【点睛】本题考查作图-复杂作图、直线、射线、线段等知识，解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义．
6．（2022·河南周口·七年级期末）如图，已知射线AD，线段a，b．

(1)尺规作图：在射线AD上作线段AB，BC，使，．（保留作图的痕迹，不要求写出作法）
(2)若cm，cm，求线段AC的长．
【答案】(1)见解析(2)8cm或2cm
【分析】（1）分两种情况在射线AD上作线段AB，BC，使AB＝a，BC＝b；
（2）结合（1）根据a＝5cm，b＝3cm，即可求线段AC的长．
（1）解：如图，线段AB，BC（或）即为所求；，

（2）解：由图可得AC＝a＋b＝8cm，或A＝a−b＝2cm．
【点睛】本题考查了作图−基本作图，两点间的距离，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
7．（2022·上海理工大学附属初级中学期末）根据所示图形填空，已知：线段a、b，且a＞3b，画一条线段，使它等于a﹣3b．

(1)画射线_____；
(2)在射线_____上，截取______＝a；
(3)在线段______上，顺次截取______＝______＝_______＝b；线段______就是所要画的线段．
【答案】(1)AF
(2)AF，AB
(3)BA，BC，CD，DE，AE
【分析】结合图形，根据作图步骤，利用线段的和差定义求解即可．
（1）解：画射线AF，
故答案为：AF；
（2）解：在射线AF上，截取AB＝a，
故答案为：AF，AB；
（3）解：在线段BA上，顺次截取BC＝CD＝DE＝b；线段AE就是所要画的线段，
故答案为：BA，BC，CD，DE，AE．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．（2021·山东·济南市莱芜区方下鲁西学校期中）如图，，C是AB的中点，D是CB上一点，E为DB中点，．求CD的长．

【答案】9
【分析】由AB的长度及点C为AB的中点可求出BC的长度，由EB的长度及点E为DB的中点可求出DB的长度，再利用CD=BC−DB即可求出CD的长度．
【详解】解：∵点C是AB的中点，
∴，
又∵点E是DB的中点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了线段中点的有关计算，结合图形，找准线段之间的和差关系是解决本题的关键．
9．（2022·贵州·遵义市播州区新蓝学校七年级阶段练习）如图，已知B、C在线段AD上．

(1)图中共有_____条线段；
(2)若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC_____BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；
②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长．
【答案】(1)6
(2)①=；②AD＝20cm

【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可；
（2）①根据等式的性质即可得到答案；
②依据线段的和差关系进行计算，即可得出AD的长；
（1）
图中有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6条，
故答案为：6．
（2）
①∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
故答案为：＝．
②∵BD＝4AB，AB＝CD，
∴BC＝3AB，
∵BC＝12，
∴AB＝4，
∴AD＝AB+BD
＝4+4×4
＝20（cm），
【点睛】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法．
10．（2022·新疆·乌鲁木齐市第136中学七年级期末）如图，已知直线AB及直线AB外一点P，按下列要求完成画图：

(1)画射线PA；
(2)在直线AB上求作线段AC，使AC＝AB－PB；
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据射线的定义画出图形即可；
（2）在线段BA上截取BC，使得BC=BP，线段AC即为所求．
（1）解：如图，射线PA即为所求；

（2）
解：如图，线段AC即为所求．
【点睛】本题考查了画射线，作线段等于已知线段，掌握基本作图是解题的关键．
11．（2022·山东烟台·期中）如图，已知线段a、b、c，用尺规作一条线段，使．
要求：不写作法，但要保留作图痕迹，标注大写字母．

【答案】作图见解析
【分析】根据线段的和差的尺规作图方法作图即可．
【详解】解：如图所示，线段AB即为所求；
先作射线AP，再以A为圆心，以线段a的长为半径画弧与射线AP交于点C，再以点C为圆心，以线段c的长为半径画弧交射线AP于D，再以D为圆心，以线段b的长为半径画弧交射线AP于E，最后以E为圆心，以线段b的长为半径画弧交射线AP于B，线段AB即为所求；

【点睛】本题主要考查了尺规作图—线段的和差，熟知相关作图方法是解题的关键．
12．（2022·山东泰安·期中）如图，已知数轴上有两点A，B，它们的对应数分别是a，b，其中a＝12．

(1)在B左侧作线段BC＝AB，在B的右侧作线段BD＝3AB（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若点C对应的数是c，点D对应的数是d，且AB＝40，求c，d的值．
(3)在（2）的条件下，设点M是BD的中点，N是数轴上一点，且CN＝4DN，请直接写出MN的长．
【答案】(1)见解析
(2)c＝－68，d＝92
(3)MN＝28或

【分析】（1）利用圆规量得AB的长度，以点B为圆心，AB为半径画弧，交点B左边的坐标轴于一点，即为点C；再点A为圆心，AB为半径画弧，交点A右边的坐标轴于一点，再以此点为圆心，AB为半径画弧，交圆心右边的坐标轴于另一点，则此交点为点D；
（2）根据线段之间的等量关系求得AC、AD的长度，从而得出点所表示的数；
（3）分两种情况分析：①点N在线段CD上；②点N在线段CD的延长线上．
【详解】（1）解：线段BC、BD为所求线段，如图所示：

（2）解：∵AB＝40，BC＝AB，
∴AC＝2AB＝80，
∵a＝12，
∴c＝12－80＝－68，
∵BD＝3AB，
∴BD＝120，
∴AD＝80，
设d为x则，x－12＝80，
解得：x＝92，
∴d＝92．
（3）解：①当点N在线段CD上时，

由（2）得CD＝92﹣（﹣68）＝160，点B对应的数为12﹣40＝﹣28，
∴BD＝92﹣（﹣28）＝120，
∵点M是BD的中点，
∴点M对应的数为92﹣60＝32，
∵CN＝4DN，
∴DN＝，
∴点N对应的数为，
∴MN＝；
②当点N在线段CD的延长线上时，

∵CN＝4DN，
∴CD＝3DN=160，
∴，
∴点N对应的数为，
∴；
故MN的长为28或．
【点睛】本题主要考查了数轴与有理数的关系和线段中点的有关计算，解题关键是抓住线段之间的关系，体现了数形结合思想．
13．（2022·江苏扬州·七年级期中）如图，线段AB，请先画图再完成作答．

(1)按要求作图：反向延长线段AB到点C，使，分别取AB、AC的中点D、E；
(2)若，求DE的长，
【答案】(1)画图见解析(2)3cm
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）先求出BC的长，再根据线段的中点的定义解答即可．
（1）解：如图所示：

（2）∵AB=2cm，
∴AC=2AB=4cm，
∴BC=AC+AB=4+2=6(cm)；
∵E是AC的中点，
∴CE=AE＝2cm；
∵D是AB的中点，
∴BD=AD=AB＝1cm，
∴DE=AD+AE=3cm．
【点睛】本题考查的的是作一条线段等于已知线段，线段的和差关系，线段的中点的含义，掌握“线段的中点的含义与线段的和差关系”是解本题的关键．
考点4：与线段的有关计算
典例：（2022·河南信阳·七年级期末）如图，点C为线段AD上一点，点B为线段CD的中点，且AD=10cm，BD=3cm．

(1)图中共有几条线段；
(2)求线段AC的长；
(3)点E若在直线AD上，且AE=2cm，求BE的长．
【答案】(1)6条线段(2)(3)或
【分析】（1）根据线段的定义找出线段即可；
（2）先根据点B为CD的中点，BD=3cm求出线段CD的长，再根据AC=AD-CD即可得出结论；
（3）分点E在AC上和点E在CA延长线上两种情况，先求得AB=AC+BC=7cm，再分别根据BE=AB-AE、BE=AB+AE可得答案．
（1）解：图中共有1+2+3=6条线段，
∴共有6条线段；
（2）∵点B为CD的中点.
∴CD=2BD，
∵BD=3cm，
∴CD=6cm，
∵AC=AD-CD且AD=10cm，CD=6cm，
∴AC=4cm；
（3）如图1，当E在线段AC上时，

∵AB=AD-BD=7cm，AE=2cm，
∴BE=AB-AE=5cm，
如图2，当E在CA延长线上时，

∵AB=AD-BD=7cm，AE=2cm，
∴BE=AB+AE=9cm，
综上，BE的长为5cm或9cm．
方法或规律点拨
本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
巩固练习
1．（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学七年级阶段练习）如图，是的中点，是的中点，下列等式不正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据是的中点，是的中点，得到，，结合线段的和与差，计算判断选择即可．
【详解】∵是的中点，是的中点，
∴，，
∴，
故A正确；
∴，
故B、D正确；
∴，
故C错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了线段的中点即把线段分成相等的两条线段的已知线段的一点，线段的和差倍分，熟练掌握基本概念及其数量关系是解题的关键．
2．（2022·重庆·西南大学附中七年级期末）如图，点为线段的中点，点为的中点，若，，则线段的长（    ）

A．7 B． C．6 D．5
【答案】C
【分析】应用一条线上的线段和差关系进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵点D为线段AB的中点，
∴AD＝BD＝AB＝×16＝8，
∵AD＝AE＋DE，DE＝AE，
∴AE＋AE＝8，
∴AE＝6，DE＝2，
∵点C为DB的中点，
∴CD＝BD＝×8＝4，
∴CE＝DE＋CD＝2＋4＝6，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一条线上各个线段关系，看清图中线段关系，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．
3．（2022·云南保山·七年级期末）如图，点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝6cm，BC＝10cm，CD＝8cm．则MN的长为（    ）

A．12cm B．11cm C．13cm D．10cm
【答案】A
【分析】根据线段中点的性质直接可得出BM的长，计算出BD，根据线段中点的性质推出BN=DN=BD，进而结合图形根据线段之间的和差关系进行求解即可．
【详解】解：∵点M是AB的中点，
∴BM=AM=AB=×6=3（cm），
∵BC=10cm,CD=8cm,
∴BD=BC+CD=10+8=18（cm），
∵点N是BD的中点，
∴BN=DN=BD=×18=9（cm），
∴MN=MB+BN=3+9=12（cm）．
故选：A．
【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是能正确表示线段的和差倍分，连接两点间的线段的长度叫两点间的距离，平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度．
4．（2022·贵州铜仁·七年级期末）己知点M是线段AB上一点，若，点N是直线AB上的一动点，且，则的（    ）
A． B． C．1或 D．或2
【答案】C
【分析】根据N在线段AB上和线段AB外分情况讨论，再结合线段关系即可解题．
【详解】当N在射线BA上时，，不合题意
当N在射线AB上时，，此时

当N在线段AB上时，

由图可知
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查线段和差计算，解题的关键是画出图形根据图像找到线段直接的和差关系．
5．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知线段AB=10cm，线段AC=16cm，且AB、AC在同一条直线上，点B在A、C之间，此时AB、AC的中点M、N之间的距离为（    ）
A．13cm B．6cm C．3cm D．1.5cm
【答案】C
【分析】首先根据题意，结合中点的性质，分别算出、的长，然后再根据线段之间的数量关系进行计算，即可得出结果．
【详解】解：如图，
∵cm，
又∵的中点为，
∴，
∵cm，
∵的中点为，
∴，
∴．

故选：C
【点睛】本题考查了中点的性质、线段的和、差关系，解本题的关键在充分利用数形结合思想解决问题．
6．（2022·山东烟台·期末）已知点在线段所在直线上，下列关系式：①，②，③，④．其中不能确定是中点的有______．（只填序号）
【答案】②③④
【分析】根据线段的中点的定义，即可求解．
【详解】解：①， 是中点，故本选项不符合题意；
②当点D在点C、E之间时，，此时不是中点，故本选项符合题意；
③当点C在点D、E之间时，，此时不是中点，故本选项符合题意；
④当点D在点C、E之间时，，此时不是中点，故本选项符合题意；
∴不能确定是中点的有②③④．
故答案为：②③④
【点睛】本题主要考查了线段的中点的定义，熟练掌握在线段上，把一条线段分为两条相等线段的点叫做线段的中点是解题的关键．
7．（2022·山西晋城·七年级期末）如图，如果小明在B，C之间经过D地，且C，D之间相距，则可以表示A，D之间的距离是______．

【答案】
【分析】根据两点间的距离AD＝BA+BC﹣DC，代入计算即可得出答案；
【详解】解：根据题意可得，
AD＝BA+BC﹣DC
＝+﹣
＝+﹣
＝．
故答案为：；
【点睛】本题主要考查了两点间的距离及整式的加减，熟练掌握两点间的距离及整式的加减法则进行求解是解决本题的关键．
8．（2022·河南信阳·七年级期末）如图，线段AB=15cm，点C是AB上的一点，BC=3cm，点D是AC的中点，则线段BD的长为_________cm．

【答案】9
【分析】由AB=15cm，BC=3cm，得AC=AB-BC=12cm，根据点D是AC的中点，得CD=AC=6cm，故BD=BC+CD=9cm．
【详解】解：∵AB=15cm，BC=3cm，
∴AC=AB-BC=12cm，
∵点D是AC的中点，
∴CD=AC=6cm，
∴BD=BC+CD=9cm，
故答案为：9．
【点睛】本题考查线段的中点及线段的和差，解题的关键是掌握线段中点定义，熟练进行线段和差运算．
9．（2022·江西省丰城中学七年级期中）已知数轴上A点表示的数是a，B点表示的数是b，且a，b满足式子．
(1)写出______，______．
(2)将数轴上线段剪下来，并把这条线段沿着某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为1：2：2，求折痕处对应的点所表示的数．
【答案】(1)；
(2)或或

【分析】（1）根据绝对值的非负性与偶次方的非负性，非负数的性质得出，，再解方程即可求解．
（2）设折痕处点表示数为，被剪处为点C、D，分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求解好戏可．
（1）
解：∵，
又∵，，
∴，，
∴，．
故答案为：；．
（2）
解：设折痕处点表示数为，
①当时，

，
∴，
∴．
②当时，

则，
∴，
∴，
∴．
③当时，

则，
∴，
∴．
∴．
∴综上，折痕处表示的数为：或或．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数，非负数的性质，线段和差倍分，熟练掌握偶次方与绝对值的非负性，分类讨论思想的应用是解题的关键．
10．（2022·山东·单县湖西学校七年级期中）如图，A、B、C、D四点在一条直线上，根据图形填空：

(1) + + ；
(2) ；
(3) ；
(4)若，B是线段的中点，，求线段AB的长．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
(4)

【分析】（1）根据线段和差即可得；
（2）根据线段和差可得；
（3）根据，即可得；
（4）先根据线段中点的定义可得，再根据可得，从而可得，然后根据即可得．
（1）
解：由图可知，，
故答案为：，，．
（2）
解：由图可知，，
故答案为：．
（3）
解：，，
，
故答案为：．
（4）解：是线段的中点，
，
，
，
，
，
，
，
答：线段的长为．
【点睛】本题考查了线段的和差、与线段中点有关的计算，熟练掌握线段之间的运算关系是解题关键．
11．（2022·广东广州·七年级期末）如图，线段AB＝10cm，C是线段AB上一点，AC＝4cm，M是AB的中点，N是AC的中点．求：

(1)线段CM的长；
(2)求线段MN的长．
【答案】(1)1cm
(2)3cm
【分析】（1）根据M是AB的中点，求出AM，再利用CM＝AM−AC求得线段CM的长；
（2）根据N是AC的中点求出NC的长度，再利用MN＝CM＋NC即可求出MN的长度．
（1）解：AB＝10，M是AB的中点，
AM＝5，
又AC＝4，
CM＝AM﹣AC＝5﹣4＝1（cm）．
线段CM的长为1cm；
（2）解：N是AC的中点，
NC＝2，
MN＝NC＋CM，2＋1＝3（cm），
线段MN的长为3cm．
【点睛】本题主要考查两点间的距离，线段中点的运用，知道线段的中点把线段分成两条相等的线段是解题的关键．
12．（2022·山东济南·期末）如图，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．

(1)如果，，求BC的长；
(2)如果，求AB的长．
【答案】(1)2cm(2)
【分析】（1）根据M是AC的中点，有，再根据即可求解；
（2）根据M是AC的中点，N是BC的中点，可得，即可求解．
（1）∵M是AC的中点，，∴，∵，∴；
（2）∵M是AC的中点，N是BC的中点，∴，，∴，∵，∴．
【点睛】本题考查了线段中点有关的计算以及线段之间的数量关系等知识，理清线段之间的数量关系是解答本题的关键．
13．（2022·河南·潢川县第二中学七年级期末）如图，已知点C在线段AB上，点M，N分别在线段AC与线段BC上，且MC，BN＝2NC．

(1)若AC＝9，BC＝6，求线段MN的长；
(2)若MC：NC＝5：2，MN＝7，求线段AB的长．
【答案】(1)8；
(2)13.5．
【分析】（1）由AC＝9及AM＝MC可求解CM的长，由BN＝2NC及BC＝6可求得CN的长，再利用MN＝CM+CN可求解；
（2）由MC：NC＝5：2，MN＝7，可求解MC，CN的长，结合AM＝MC，BN＝2NC可求解AM，BN的长，利用AB＝AM+MN+BN计算可求解．
（1）解：（ 1）∵AM＝MC，
∴CM＝AC，
∵AC＝9，
∴CM＝6，
∵BN＝2NC，
∴CN＝BC，
∵BC＝6，
∴CN＝2，
∴MN＝CM+CN＝6+2＝8；
（2）解：∵MC：NC＝5：2，MN＝7，
∴MC＝5，CN＝2，
∵AM＝MC，BN＝2NC，
∴AM＝2.5，BN＝4，
∴AB＝AM+MN+BN＝2.5+7+4＝13.5．
【点睛】本题主要考查了两点之间距离，熟练掌握两点间距离计算的方法进行计算是解决本题的关键．
14．（2022·江苏扬州·七年级期末）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，请解答以下问题：

(1)当AC＞BC时，点D在线段 上；当AC＝BC时，点D与 重合；当AC＜BC时，点D在线段 上；
(2)当AC＜BC时，若E为线段AC中点，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的长度．
【答案】(1)AC，点C，BC
(2)28cm
【分析】（1）由“折中点”的定义判断
（2）由“折中点”的定义判断D在BC上，列式计算即可
（1）解：当AC＞BC时，由“折中点”的定义可知点D在线段AC上；
当AC＝BC时，点D与点C重合
当AC＜BC时，点D在线段BC上
（2）如下图，∵ E为线段AC中点
∴ AE=EC=8cm
∴ BD=AE+EC+CD=8+8+6=22(cm)
∴ CB=BD+DC=22+6=28(cm)

【点睛】本题考查了线段的加减，理解新定义“折中点”并画出图形是解题关键．
15．（2022·山东东营·期末）如图所示，点在线段上，点，分别为，的中点．

(1)若，，求线段，的长；
(2)若点在线段的延长线上，且满足，点，分别是线段，的中点，请画出图形，并用的式子表示的长度．
【答案】(1)，
(2)画图见解析，
【分析】（1）根据线段中点的定义得到MC=AC=3cm，NC=BC=3.5cm，然后利用，进行计算；
（2）根据（1）的方法进行计算即可求解．
（1）解：∵点是的中点，，
∴，
∵，
∴，
又∵点为的中点，
∴，
∴．
（2）如图所示：

∵点是的中点，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了线段中点的性质，线段和差的计算，数形结合是解题的关键．
16．（2022·山东烟台·期末）如图，，C是的中点，D是线段上一点，且．

(1)求线段的长度；
(2)请用尺规在线段上作点E，使，并求线段的长度（保留痕迹，不写作法）．
【答案】(1)12cm
(2)图见解析，BE=4cm
【分析】(1)首先根据C是AB中点，可求得AC=BC=10，设CD＝x，则 AD＝4x，可得4x＋x＝5x＝10，可求得x=2，据此即可求得；
(2) 以点D为圆心，以AD长为半径画弧，交BC于点E，点E即为所求的点；首先可求得AD=DE=8，再由BE=BD-DE即可求得．
（1）解：AB＝20，C是AB中点，
AC＝BC＝AB＝10，
设CD＝x，
AD：DC＝4：1，
AD＝4x，
AC＝AD＋CD＝4x＋x＝5x＝10，
解得，x＝2．
BD＝BC＋CD＝10＋2＝12（cm）．
（2）解：以点D为圆心，以AD长为半径画弧，交BC于点E，点E即为所求的点，如图．

AD＝4x＝4×2＝8，
DE＝AD＝8．
BE=BD-DE=12－8=4（cm）．
【点睛】本题考查了线段的和差，线段中点的性质，结合题意和图形求得相关线段的和差是解决本题的关键．
17．（2022·山东烟台·期中）老师留给学生这样一道数学巩固性作业：如图线段，点O是线段上一点，C，D分别是线段、的中点．请你帮忙解决以下问题．

(1)求线段的长．
(2)小军完成作业（1）后，在反思过程中突发奇想：若把“点O是线段上一点”改为“点O是线段延长线上一点”，其他条件不变，如何画图？线段的长又是多长？
【答案】(1)2
(2)图见解析，2

【分析】（1）根据题意得到OC＝AO，OD＝BO，然后利用整体方法即可求出的长；
（2）根据题意画图，然后利用线段中点的概念整体求解即可．
（1）∵C、D分别是线段、的中点，
∴OC＝AO，OD＝BO，
∴CD＝OC＋OD＝（OA＋OB）＝AB＝2；
（2）如图所示，
，
∵，，
所以．
【点睛】此题考查了线段中点的有关计算，线段的和差关系，解题的关键是正确分析出线段之间的关系．
18．（2022·全国·七年级专题练习）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．

(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC＋PD＝_________cm；
②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP∶PB＝_________；
(2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①先计算BD，PC的长度，再计算AC+PD；
②设运动时间为：秒，则，利用中点的性质表达出：，即可得出答案；
（2）依题意得出，，再由和，即可得出AP的长度．
（1）①依题意得：，
∴，
故答案为：；
②设运动时间为秒，则
∵当点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，
∴
∴
故答案为：；
（2）设运动时间为秒，则，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴．
【点睛】此题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差，中点的性质，掌握线段之间的数量关系是解题的关键．
考点5：与线段的有关动点问题
典例：（2022·贵州黔西·七年级期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．

(1)如图1，当为中点时，求的长；
(2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长．
【答案】(1)7(2)3或5
【分析】（1）根据，，可求得，，根据中点的定义求出BE，由线段的和差即可得到AD的长．
（2）点F（异于A，B，C点）在线段AB上，，，确定点F是BC的中点，即可求出AD的长．
(1)，，
，，
如图1，

为中点，
，
，
∴，
∴，
(2)Ⅰ、当点在点的左侧，如图2，

或
∵，，
点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，故图2（b）这种情况求不出；
Ⅱ、如图3，当点在点的右侧，

或
，，
∴，
∴，
．
∵，故图3（b）这种情况求不出；
综上所述：的长为3或5．
方法或规律点拨
本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答的关键．本题较难，需要想清楚各种情况是否存在．
巩固练习
1．（2022·山东青岛·期末）如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒．

(1)当时，
①________cm；
②求线段CD的长度．
(2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度．
【答案】(1)①；②
(2)或

【分析】（1）①根据速度乘以时间等于路程，可得答案； ②根据线段的和差，可得BD的长，根据线段中点的性质，可得答案；
（2）根据速度乘以时间等于路程，及线段的和差，可得AB的长．
（1）
解：①当时，；
故答案为：4
②∵，，
∴．
∵C是线段BD的中点，
∴．

（2）
解：∵B是线段AD上一动点，沿以2m/s的速度往返运动，
∴当点B沿点A→D运动时，
点B沿点D→A运动时，
∴综上所述，（）或（）
【点睛】本题考查两点间的距离，利用线段中点的性质及线段的和差得出AB与BD的关系是解题关键．
2．（2022·广东江门·七年级期末）如图，已知长方形ABCD的长米，宽米，x，y满足，一动点P从A出发以每秒1米的速度沿着运动，另一动点Q从B出发以每秒2米的速度沿运动，P，Q同时出发，运动时间为t．

(1)______________，______________．
(2)当时，求的面积；
(3)当P，Q都在DC上，且PQ距离为1时，求t的值
【答案】(1)5，4
(2)平方米
(3)

【分析】（1）根据绝对值和乘方的非负性，即可求解；
（2）根据题意得：当t=4.5时，点P在CD上，DP=0.5米，点Q刚好到达点D处，可得米，再由，即可求解；
（3）当P，Q都在DC上，可得，然后分两种情况讨论：当P左Q右时，当Q左P右时，即可求解．
（1）解∶∵，∴，∴x=5，y=4，故答案为：5，4；
（2）解：当t=4.5时，P走过的路程为4.5米，此时点P在CD上，DP=0.5米，Q走过的路程为9米，刚好到达点D处，∴米，∴平方米；
（3）解：点P在DC上，，点Q在DC上，，∴，当P左Q右时，，，∴，∴，解得：当Q左P右时，，，∴，∴，解得，不符题意，舍去．综上，满足题意的．
【点睛】本题主要考查了动点问题，涉及绝对值和平方式的非负性，三角形面积的求解，解题的关键是关键题意用时间t表示出线段长度，列式求出t的值．
3．（2022·河南许昌·七年级期末）如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：．

(1)直接写出：____________，_____________；
(2)若，当点C、D运动了，求的值；
(3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系．
【答案】(1)1，3
(2)8cm
(3)或

【分析】（1）根据绝对值的非负性得出a-1=0，b-3=0，求解即可；
（2）当C、D运动时，，，结合图形求解即可；
（3）分两种情况：当点N在线段上时；当点N在线段的延长线上时；利用线段间的数量关系求解即可．
（1）
解：∵|a−1|+|b−3|=0
∴a-1=0，b-3=0，
∴a=1，b=3，
故答案为：1；3；
（2）
当C、D运动时，，，
∴．
（3）
当点N在线段上时，

∵，
又∵，
∴，
∴．
当点N在线段的延长线上时，

∵，
又∵，
∴．
综上所述，或．
【点睛】题目主要考查绝对值的非负性及点的运动，线段间的数量关系等，理解题意，根据图象得出线段间的数量关系是解题关键．
4．（2022·陕西咸阳·七年级期末）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点．

(1)如图1，当AC＝4时，求DE的长．
(2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）首先根据题意求出BC的长度，然后由E为BC的中点求出BE的长度，最后即可求出DE的长；
（2）由题意可得，由F为AD的中点和E为BC的中点表示出，代入，即可求出EF长．
（1）
∵AB＝16，CD＝2，AC＝4，
∴，,
∵E为BC的中点，
∴，
∴；
（2）
线段EF的长度不会发生变化，，
∵AB＝16，CD＝2，
∴，
∵F为AD的中点，E为BC的中点，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系．
5．（2022·安徽合肥·七年级期末）线段AB＝10，AB上有一动点C，以每秒2个单位的速度，按A一B一A的路径从点A出发，到达点B后又返回到点A停止，设运动时间为t（0≤t≤10）秒．

(1)当t＝6时，AC＝　 　．
(2)用含t的式子表示线段AC的长；
当0≤t≤5时，AC＝　 　；
当5＜t≤10时，AC＝　 　．
(3)M是AC的中点，N是BC的中点，在点C运动的过程中，MN的长度是否发生变化？若不变化，求出MN的长，
【答案】(1)8
(2)，；
(3)的长度不变，长度为5

【分析】（1）根据点的运动速度和可得答案；
（2）根据路程速度时间可求的长度；
（3）分情况讨论，再根据线段中点的定义可得答案．
(1)
当时，动点运动了个单位，
，
．
．
故答案为：8；
(2)
当时，；
当时，
．
故答案为：，；
(3)
当时，
；
当时，
；
故的长度不变，长度为5．
【点睛】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离．
6．（2022·吉林·长春市绿园区教师进修学校七年级期末）如图，在长方形ABCD中，，，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A→B→C运动，到点C停止；同时动点Q从点B出发，以每秒2cm的速度在B、C间作往复运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动．设点P运动的时间是x（秒），的面积是．

(1)点Q共运动______秒．
(2)当点P沿折线A→B→C运动时，用含x的代数式表示线段的长．
(3)用含x的代数式表示S．
(4)当P、Q两点相遇时，直接写出x的值．
【答案】(1)16
(2)当时，；当时，
(3)当时，；当时，
(4)或14或

【分析】（1）根据点Q运动时间与点P运动时间相同，求出点P运动时间即可得点Q运动时间；
（2）分两和情况：当0 （3）分两和情况：当0 （4）根据P、Q共有三次相遇求解即可．
（1）
解：点Ｑ运动时间为(10+6)÷1=16（秒）
故答案为：16．
（2）
解：当0 ∴BP=AB-AP=10-x；
当10≤x≤16时，点P在BC上运动，
∴BP=x-AB=x-10；
综上，当0 （3）
解：当0 ∴y=S△APC=；
当10≤x≤16时，点P在BC上运动，
∴y=S△APC=；
综上，．
（4）
解：当P与Q第一次相遇时，根据题意，得
x-10+2x-3×6=6
x=；
当P与Q第二次相遇时，根据题意，得
x-10=2x-4×6
x=14 ；
当P与Q第三次相遇时，根据题意，得
x-10+2x-5×6=6
x=；
综上，当x=或14或时，P、Q两点相遇．
【点睛】本题考查动点问题，列代数式，三角形面积，方程思想与分类讨论是解题的关键．
7．（2022·辽宁大连·七年级期末）如图，在直线l上顺次取A、B、C三点，已知，点M、N分别从A、B两点同时出发向点C运动．当其中一动点到达C点时，M、N同时停止运动．已知点M的速度为每秒2个单位长度，点N速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒．

(1)用含t的代数式表示线段的长度为________；
(2)当t为何值时，M、N两点重合?
(3)若点Р为中点，点Q为中点．问：是否存在时间t，使长度为5?若存在，请说明理由．
【答案】(1)2t
(2)20
(3)30或50

【分析】（1）由点M的速度为2即可得出答案；
（2）根据题意可得出，当M、N两点重合时，根据线段之间的数量关系即可列出关于t的等式，解出t即可；
（3）根据题意可得：，，且．由此可求出．再根据或，即可列出关于t的等式，解出t即可．
（1）
∵点M的速度为每秒2个单位长度，
∴．
故答案为：；
（2）
根据题意可知．
当M、N两点重合时，有，
解得：．
故t为20时，M、N两点重合；
（3）
根据题意可得：，，且．
∴．
∴或，
即或
解得：或．

故存在时间t，使长度为5，此时t的值为30或50．
【点睛】本题考查与线段有关的动点问题，线段的和与差，与线段中点有关的计算以及解一元一次方程的实际应用．根据题意找到线段间的数量关系，列出等式是解题关键．
8．（2022·山东聊城·七年级期末）如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为t．

(1)当时，，请求出的长；
(2)当时，，请求出的长；
(3)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出长；
【答案】(1)4cm
(2)4cm
(3)4cm

【分析】（1））根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，由此求得AP的值；
（2）根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，由此求得AP的值；
（3）结合（1）、（2）进行解答；
（1）
解：依题意知，当时，，
∴  
∵，
∴
即，
∴
又，
∴；
（2）
解：当时，，
∴
又，
∴，
即，
∴
又，
∴
（3）
解：当运动时间为t时，，
∴
又，
∴，
即
∴
又，
∴
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
9．（2022·黑龙江哈尔滨·七年级期末）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．

(1)P在线段AB上运动，当时，求x的值．
(2)当P在线段AB上运动时，求的值．
(3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)为定值24；
(3)．

【分析】（1）根据PB=2AM建立关于x的方程，解方程即可；
（2）将BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化简即可得出结论；
（3）利用，，，，再根据MN=PM-PN即可求解．
（1）
解：∵M是线段AP的中点，∴，
，
∵，
∴，
解得．
（2）
解：∵，，，
∴，
即为定值24．
（3）
解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点的右侧．
∵，，，，
∴，
所以MN的长度无变化是定值．
【点睛】本题是动点问题，考查了两点间的距离，解答的关键是用含时间x的式子表示出各线段的长度．
10．（2022·江苏苏州·七年级期末）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，．

(1)点A表示的数是______；
(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；
(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．
【答案】(1)-6
(2)8
(3)秒或秒

【分析】（1）根据，且，两点表示的数互为相反数，直接得出即可；
（2）设经过秒点是的中点，根据题意列方程求解即可；
（3）设点运动了秒时，分情况列方程求解即可．
（1）
AB=12，且，两点表示的数互为相反数，
点表示的数是，
故答案为：；
（2）
AB=12，，
，，
设经过秒点是的中点，
根据题意列方程得，
解得，
故答案为：8；
（3）
设点运动了秒时，
①当点在点左侧时，即，
根据题意列方程得，
解得；
②当点在点右侧时，即，
根据题意列方程得，
解得；
综上，当运动了秒或秒时．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
11．（2022·陕西·交大附中分校七年级期末）如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒．

(1)当t＝1时，PQ＝　 　cm；
(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？
(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)2.5
(2)t为2或时，点C为线段PQ的中点
(3)存在，PM的长度为3cm或1cm，理由见解析

【分析】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由即可求出PQ的长；
（2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出t的值即可．最后舍去不合题意的t的值即可．
（3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CM的长度，再根据，求出即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断．
（1）
解：当时，
∵
∴，
∴．
故答案为：2.5．
（2）
∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，
∴．
∵
∴．
①当Q由C往B第一次运动时，即时，
此时，，
∴，
∵点C为线段PQ的中点，
∴，即，
解得：；
②当Q由B往C点第一次返回时，即时，
此时，，
∴，
解得：，不符合题意舍；
③当Q由C往B第二次运动时，即时，
此时，，
∴，
解得：；
综上可知，t为2或时，点C为线段PQ的中点；
（3）
根据（2）可知．
∵点M是线段CQ的中点，
∴．
①当Q由C往B第一次运动时，即时，
此时，．
∵，
∴，
∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意．
②当Q由B往C点第一次返回时，即时，
此时，，
∴，
∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意；
③当Q由C往B第二次运动时，即时，
此时，，
∴，
∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意．
综上可知PM的长度为3cm或1cm．
【点睛】本题考查线段的和与差，线段的中点的性质，与线段有关的动点问题．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
12．（2022·贵州黔西·七年级期末）【阅读】我们知道，数轴上原点右侧的数是正数，越往右走，数字越大，原点左侧则相反．于是，我们可以假设：若点P从原点出发，沿数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是；反之，若点P从原点出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是．

【探究】已知数轴上两点表示的数分别为，且分别为．
(1)如图1，若点P和点Q分别从点同时出发，都沿数轴的负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒6个单位长度，设运动的时间为t秒．
①t秒后，点P表示的数是_______，点Q表示的数是________；
②当两点之间的距离为4时，则t的值为_______．
(2)如图2，若点P从点A出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动，到点B时停止运动，分别是线段的中点，则在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请直接写出线段的长度；若不是，请说明理由．
【答案】(1)①，；②4或2
(2)线段的长度为定值，6

【分析】（1）①根据题意即可直接用t表示出点P所表示的数和点Q所表示的数；
②由①可求出，再根据，即得出，解出t即可；
（2）由分别为线段的中点，即得出，即可得出．求出，即可求出；
（1）
①点P表示的数是，点Q表示的数是，
故答案为：，；
②因为点P表示的数为，点Q表示的数为，
∵
∴，
解得：或2；
（2）
（2）线段的长度为定值，的长度为6．
∵分别为线段的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，线段的中点以及解绝对值方程．用t表示出点所表示的数和两点之间的距离是解题关键．
13．（2022·河南·郑州中学七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动．

(1)BC＝______m，AB＝______m；
(2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？
(3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值．
【答案】(1)16，24．
(2)当x=，即运动秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处．
(3)当x=或x=或x=，即运动x=或x=或x=秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m．

【分析】（1）由且AC=8cm得8+BC=，先求出BC的长，然后再求出AB的长即可；
（2）先确定机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，再根据线段AP=AQ列方程求出x的值即可；
（3）分三种情况，一是点P在线段AQ上，可根据AP+2=AQ列方程求出x的值；二是点P在线段BQ上且点P到达点B之前，可根据AP-2=AQ列方程求出x的值；三是点P在线段BQ上且点P从点B返回时，可根据2AB减去点P运动的距离等于AQ+2列方程求出x的值即可．
(1)
解：∵，AB=AC+BC，AC=8m，
∴8+BC=，解得：BC=16m，
∴AB=×16=24m．
故答案为：16，24．
(2)
解：由题意可得：：机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，
∴6x={8+2x），解得x=．
答：当x=，即运动秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处．
(3)
解：当点P在线段AQ上且PQ=2m时，则6x+2=8+2x，解得x=；
当点P在线段BQ上且PQ=2m时，则6x-2=8+2x或24×2-6x=8+2x+2，解得x=或x
．
答：当x=或x=或x=，即运动x=或x=或x=秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的应用、线段上的动点问题的求解等知识点，正确地用含x的代数式表示线段A P和AQ的长是解答本题的关键.
14．（2022·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．

(1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；
(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
【答案】(1)
(2)8或24
(3)，见解析

【分析】（1）根据题中条件直接计算即可求解；
（2）分点在线段上运动和线段的延长线上运动进行讨论，从而求解；
（3）先将和表示出来，再求出线段、、之间的数量关系．
（1）
解：∵ M为AP的中点，，
∴ ，
∵线段，N为BP的中点，
∴．
故答案是：2；
（2）
解：①当点P在线段AB上，时，如图，

∵，，
∴，解得：．
②当点P在线段AB的延长线上，时，如图，

∵，，
∴，解得：．
综上所述，当时，点P的运动时间t的值为8或24．
（3）
解：当点P在线段AB的反向延长线上时，，

∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键．
15．（2022·湖北省直辖县级单位·七年级期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．线段AB的中点表示的数为．
如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

(1)填空：
①A、B两点之间的距离AB＝　 　，线段AB的中点表示的数为　 　．
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为　 　；点Q表示的数为　 　．
③当t＝　 　时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为　 　．
(2)当t为何值时，PQ＝AB．
(3)若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
【答案】(1)①10，3；②，；③2；4；
(2)当t＝1或3时，；
(3)不发生变化，，理由见解析．

【分析】（1）①根据题目所给的两点距离公式以及两点中点公式进行求解即可；②根据数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，进行求解即可得到结果；③当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等，根据此及②中结论得出方程求解即可；
（2）由（1）②得t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，则，再由，可得，由此求解即可；
（3）根据两点中点公式，分别求出点M表示的数，点N表示的数，即可得出线段MN的长度．
(1)
解：①由题意得：，线段AB的中点为，
故答案为：10，3；
②由题意得：t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：；
故答案为：，；
③∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等，
∴，
解得：，
∴当时，P、Q相遇，
此时，，
∴相遇点表示的数为4；
故答案为：2；4；
(2)
解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，
∴，
又∵，
∴，
解得：t＝1或3，
∴当t＝1或3时，；
(3)
解：不发生变化，理由如下：
∵点M为PA的中点，点N为PB的中点，
∴点M表示的数为，点N表示的数为，
∴．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的中点表示方法，解题的关键在于理解题意，能够熟练掌握数轴上两点的距离计算公式．
能力提升

一、单选题（每题3分）
1．依据“射线AB与射线AC是同一条射线”画图，正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据射线的定义进行判断即可．
【详解】解：A选项中，射线AB与射线AC端点相同，但方向相反，不是同一条射线，不合题意；
B选项中，射线AB与射线AC方向相同，但端点不同，不是同一条射线，不合题意；
C选项中，射线AB与射线AC端点相同，但方向不同，不是同一条射线，不合题意；
D选项中，射线AB与射线AC端点相同，方向也相同，是同一条射线，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查射线的定义，解题的关键是掌握判断两条射线是否为同一条射线的方法，即看两条射线的方向是否相同、端点是否相同．
2．下列说法中，正确的是（    ）
A．直线的一半是射线 B．画射线AB＝3cm
C．线段AB的长度就是A，B两点间的距离 D．如果AB＝BC＝CD，那么AD＝3AB
【答案】C
【分析】根据直线与射线是不可测量长度的，可判断A，B，根据线段的长度定义可判断C，根据线段的性质可以判断D选项，即可求解．
【详解】A. 射线、直线都是不可测量长度的，不能说射线是直线的一半，故该选项不正确，不符合题意；
B. 画线段AB＝3cm才正确，射线不可测量，故该选项不正确，不符合题意；
C. 线段AB的长度就是A，B两点间的距离，故该选项正确，符合题意；
D. 如果共线，且AB＝BC＝CD，那么AD＝3AB，故该选项不正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了直线，射线，线段的定义，掌握直线，射线，线段的定义是解题的关键．
3．（2022·黑龙江·大庆市庆新中学期末）O、P、Q是平面上的三点，PQ=20 cm，OP+OQ=30cm，那么下列结论一定正确的是（   ）
A．O点在直线PQ外 B．O点在直线PQ上
C．O点不能在直线PQ上 D．O点可能在直线PQ上
【答案】D
【分析】根据O、P、Q是平面上的三点，PQ=20cm，OP+OQ=30cm>20cm，可得O点不能在线段PQ上，但点O可能在直线PQ上，也可能在直线PQ外，即可求解．
【详解】解：∵O、P、Q是平面上的三点，PQ=20cm，OP+OQ=30cm>20cm，
∴O点不能在线段PQ上，但点O可能在直线PQ上，也可能在直线PQ外．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系，解答本题的关键是熟练掌握线段长度之间的关系，为了更好的判断可根据题意动手操作一下更明了．
4．（2022·山东淄博·期中）如图，已知线段a，b．按如下步骤完成尺规作图，则的长是（    ）

①作射线；
②在射线上截取；
③在线段上截取．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意作出图形，根据线段的和差进行求解即可
【详解】解：如图，

根据作图可知，
故选D
【点睛】本题考查了尺规作图作线段，线段和差的计算，数形结合是解题的关键．
5．（2021·江苏·七年级专题练习）平面内两两相交的6条直线，交点个数最少为m个，最多为n个，则等于（    ）
A．12 B．16 C．20 D．22
【答案】B
【分析】根据直线相交的情况判断出和的值后，代入运算即可．
【详解】解：当六条直线相交于一点时，交点最少，则
当任意两条直线相交都产生一个交点时交点最多，
∵且任意三条直线不过同一点
∴此时交点为：
∴
∴
故选：
【点睛】本题主要考查了直线相交的交点情况，找出交点个数是解题的关键．
6．（2022·全国·七年级单元测试）如图，直线l上有A，B，C，D四点，点P从点A的左侧沿直线l从左向右运动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，点P就称为这两个点的黄金伴侣点，例：若PA＝PB，则在点P从左向右运动的过程中，点P成为黄金伴侣点的机会有（　　）

A．4次 B．5次 C．6次 D．7次
【答案】C
【分析】由题意知，点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P是其中一条线段的中点，根据线段中点定义解答即可．
【详解】解：由题意知，点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P是其中一条线段的中点，
图中共有六条线段：AB、BC、CD、AC、AD、BD，
∴点P成为黄金伴侣点的机会有六次，
故选：C．
【点睛】此题考查了线段中点的定义，确定线段的数量，正确理解题意得到线段中点定义是解题的关键．
二、填空题（每题3分）
7．（2021·吉林省第二实验高新学校七年级阶段练习）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 _____．

【答案】两点确定一条直线
【分析】根据题意分析可得两点确定一条直线．
【详解】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是“两点确定一条直线”．
故答案为：两点确定一条直线．
【点睛】本题考查了两点确定一条直线，掌握两点确定一条直线这个基本事实是解题的关键．
8．（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学七年级阶段练习）如图是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制________种车票（任何两站之间，往返两种车票），需要__________种不同的票价．

【答案】     20     10
【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可．
【详解】解：5个点中线段的总条数是（种），
∵任何两站之间，往返两种车票，
∴应印制（种），
又∵往返票价是一样的，
∴需要10种票价，
故答案为：20；10．
【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有个点，则线段的数量有条”．
9．（2022·河南开封·七年级期末）直线AB，BC，CA的位置关系如图所示，下列语句：①点A在直线BC上；②直线BC经过点B；③直线AC，BC交于点C；④点C在直线AB外；⑤图中共有12条射线．以上表述正确的有___．（只填写序号）

【答案】②③④⑤
【分析】根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解．
【详解】解：由图可知：

①点A在直线BC外，故原说法错误；
②直线BC经过点B，原说法正确；
③直线AC、BC交于点C，故原说法正确；
④点C在直线AB外，原说法正确；
⑤图中是射线的有：射线BD、射线BE、射线BA、射线BC、射线CM、射线CN、射线CA、射线CB、射线AH、射线AG、射线AB、射线AC共12条，故原说法正确；
∴以上表述正确的有②③④⑤；
故答案为②③④⑤．
【点睛】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键．
10．（2022·山东潍坊·七年级期中）如图，点C，D在线段AB上，且，点E是线段AB的中点．若，则CE的长为 _____．

【答案】2
【分析】根据线段中点可得，代入数据进行计算即可得解求出AB的长；再求出AE的长，最后．
【详解】解：∵，点E是线段AB的中点，
∴，
∴，
则．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了线段的和差，两点间的距离，主要利用线段中点的性质，比较简单，准确识图是解题的关键．
11．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习）已知点是线段上的一点，且将线段分成3∶2两部分，点为线段的中点，，则线段的长为___________cm．
【答案】或##15或10
【分析】分两种情况：当时，当时，先利用线段中点求出的长度，得到的长度，即可求出答案．
【详解】解：当时，如图，

∵点为线段的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，如图，

∵点为线段的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴线段的长为或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了线段的中点定义，求图形中的线段长度，掌握图形中各线段的关系是解题的关键，注意分情况解答．
12．（2022·山东枣庄·七年级期末）如图，B、C两点把线段MN分成三部分，其比为，点P是MN的中点，，则MN的长为______cm．

【答案】18
【分析】设，则，，则可求出．根据线段中点的性质，可求出，从而可求出．最后根据，即可求出x的值，从而求出MN的长．
【详解】设，则，，
∴．
∵点P是MN的中点，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为18．
【点睛】本题考查线段的和与差、与线段中点有关的计算、线段的n等分点的有关计算和一元一次方程的实际应用．结合题意找出线段之间的关系是解题关键．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习）如图，平面上有四个点、、、，根据下列语句画图

(1)直线；
(2)画射线；
(3)连接、；
(4)在平面内找一点，使点到、、、四个点的距离和最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析

【分析】（1）根据题意，画出直线即可；
（2）根据题意，画出射线即可；
（3）根据题意，画出线段、即可；
（4）根据两间之间，线段最短，点即为线段、的交点，即可．
（1）
解：如图，直线即为所求；
（2）
解：如图，射线即为所求；
（3）
解：如图，线段、即为所求；
（4）
解：如图，接、交于点，则点即为所求．

【点睛】本题考查了作图画直线，射线，线段，两点间的距离，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
14．（2022·全国·七年级课时练习）已知点C在线段AB上，，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若，，线段DE在线段AB上移动．

(1)如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
(2)点F（异于A，B，C点）在线段AB上，，，求AD的长．
【答案】(1)7
(2)3或5

【分析】（1）由，，可求出，．再根据E为BC中点，即得出，从而可求出CD的长，进而可求出AD的长；
（2）分类讨论：当点E在点F的左侧时和当点E在点F的右侧时，画出图形，根据线段的倍数关系和和差关系，利用数形结合的思想即可解题．
（1）
∵，，，
∴，，
如图，

∵E为BC中点，
∴，
∴，
∴；
（2）
分类讨论：①如图，当点E在点F的左侧时，

∵，，
∴点F是BC的中点，
∴，
∴，
∴；
②如图，当点E在点F的右侧，

∵，，
∴，
∴，
∴．
综上所述：AD的长为3或5；
【点睛】本题考查线段中点的有关计算，线段n等分点的有关计算，线段的和与差．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
15．（2021·江苏·启东市长江中学七年级期中）已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．
(1)a=___________，b=___________，线段AB=___________；
(2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长；
(3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值．

【答案】(1)，20，30；
(2)3或75；
(3)．

【分析】（1）由题意直接可求解；
（2）①当点C在之间时，如图1，②当点C在点B的右侧时，如图2，分别计算和的长，相减可得结论；
（3）本题有两个动点G和H，根据速度和时间可得点G表示的数为：，点H表示的数为：，根据中点的定义得点D和F表示的数，由得的长和点E表示的数，根据数轴上两点的距离可得和的长，相加可得结论．
（1）
解：由题意知：，
∴，
∴的距离为
故答案为：，20，30；
（2）
分两种情况：
①当点C在AB之间时，如图1，

∵，，
∴，
∵M是的中点，
∴，
∴；
②当点C在点B的右侧时，如图2，

∵，，
∴，
∵，
∴；
综上，的长是3或75；
（3）
由题意得：点G表示的数为：：，点H表示的数为：，
∵，，
∴点G在线段之间，
∵D为的中点，
∴点D表示的数为：，
∵F是的中点，
∴点F表示的数为：，
∵，
∵，
∴，
∴点E表示的数为： t，
∴．
【点睛】本题考查多项式和数轴；与中点有关的计算，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据点的运动特点，分情况列出合适的方程，进行求解是关键．