专题03 高考数学一轮复习重点——排队问题（解析版）

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专题3 排队问题
例1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有　　
A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种
【解析】可分3步．
第一步，排两端，从5名志愿者中选2名有种排法，
第二步，位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有种排法
第三步，2名老人之间的排列，有种排法
最后，三步方法数相乘，共有种排法
故选：．
例2．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是　　
A． B． C． D．
【解析】从后排8人中选2人共种选法，
这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，
则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；
余下的一人则要插入前排5人的空挡，
有6种插法，
为
故选：．
例3．10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为　　
A． B． C． D．
【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，
首先从后排的7人中选出2人，有种结果，
再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有，
不同的调整方法有，
故选：．
例4．在数字1，2，3与符号，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是　　
A．6 B．12 C．24 D．18
【解析】在数字1，2，3与符号“”，“ ”五个元素的所有全排列中，
先排列1，2，3，
有种排法，
再将“”，“ ”两个符号插入，
有种方法，共有12种方法，
故选：．
例5．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有　　
A． B． C． D．
【解析】先把每种品种的画看成一个整体，
而水彩画只能放在中间，
则油画与国画放在两端有种放法，
再考虑4幅油画本身排放有种方法，
5幅国画本身排放有种方法，
故不同的陈列法有种，
故选：．
例6．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若女生甲不站两端，3位男生中有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是　　
A．360 B．288 C．216 D．96
【解析】先考虑3位男生中有且只有两位相邻的排列
共有种，
在3男生中有且仅有两位相邻且女生甲在两端的排列有种，
不同的排列方法共有种
故选：．
例7．公因数只有1的两个数，叫做互质数．例如：2与7互质，1与4互质．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列中，使相邻两数都互质的不同排列方式共有　　种．
A．576 B．720 C．864 D．1152
【解析】根据题意，先排1、5、7，有种情况，排好后有4个空位，
对于2、4、6和3这四个数，
分两种情况讨论：①3不在2、4中间，可先将2、4、6排在4个空位中，有种情况，3不能放在6的两边，有5种排法，则此时有种不同的排法，
②3在2、4之间，将这三个数看成整体，有2种情况，与6一起排在4个空位中，有种情况，则此时有种不同的排法，
则2、4、6和3这四个数共有种排法；
则使相邻两数都互质的不同排列方式共有种；
故选：．
例8．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是　　
A．168 B．20160 C．840 D．560
【解析】从后排8人中选2人共种选法，
这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，
则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；
余下的一人则要插入前排5人的空挡，
有6种插法，
则不同调整方法的种数是．
故选：．
例9．2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对8列电煤货运列车进行编组调度，决定将这8列列车编成两组，每组4列，且甲、乙两列列车不在同一小组，甲列车第一个开出，乙列车最后一个开出．如果甲所在小组4列列车先开出，那么这8列列车先后不同的发车顺序共有　　
A．36种 B．108种 C．216种 D．720种
【解析】由于甲、乙两列列车不在同一小组，因此，先将剩下的6人平均分组有，
再将两组分别按要求排序，各有种，
因此，这8列列车先后不同的发车顺序共有种．
故选：．
例10．有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有　　
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法
C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法
D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法
【解析】中，
中，
中，
中．
综上可得：正确．
故选：．
例11．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有　576　个．（用数字作答）
【解析】首先把1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻当做三个元素进行排列有种结果，
这三个元素形成四个空，把7和8 在这四个位置排列有种结果，
三对相邻的元素内部各还有一个排列，
根据分步计数原理得到这种数字的总数有，
故答案为：576．
例12．5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数
（1）甲站正中间的排法有　8！　种，甲不站在正中间的排法有　 　种．
（2）甲、乙相邻的排法有　 　种，甲乙丙三人在一起的排法有　 　种．
（3）甲站在乙前的排法有　 　种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有　 　种，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有　 　种．
（4）甲乙不站两头的排法有　 　种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有　 　种．
（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有　 　种．
（6）女生互不相邻的排法有　 　种，男女相间的排法有　 　种．
（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有　 　种．
（8）甲乙之间有且只有4人的排法有　 　种．
【解析】（1）甲站正中间的排法有8！，甲不站在正中间的排法有！；
（2）甲、乙相邻的排法有！，甲乙丙三人在一起的排法有！；
（3）甲站在乙前的排法有！，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有！，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有！；
（4）甲乙不站两头的排法有；甲不站排头，乙不站排尾的排法有9！！！；
（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有！！；
（6）女生互不相邻的排法有5！；男女相间的排法有5！！；
（7）甲与乙、丙都不相邻的排法有9！！！；
（8）甲乙之间有且只有4人的排法，捆绑法．！．
故答案为：（1）8！，！（2）！，！（3）！，！，！；
（4）；9！！！；（5）！！；（6）5！，5！！
（7）9！！！；（8）！．
例13．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有　10　种（结果用数值表示）．
【解析】由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，
则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，
第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，
故总的排列方法种数有
故答案为10
例14．从集合，，，与，1，2，3，4，5，6，7，8，中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）、每排中字母和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是　5832　．（用数字作答）、
【解析】各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复），共有；每排中字母和数字0都出现有
符合题意不同排法种数是．
故答案为：5832
例15．从集合，，，，与，1，2，3，4，5，6，7，8，中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母，和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是　8424　．（用数字作答）．
【解析】由题意知每排中字母，和数字0至多只能出现一个，本题可以分类来解
（1）这三个元素只选，有
（2）这三个元素只选 同理有
（3）这三个元素只选0 有
（4）这三个元素 0都不选 有
根据分类计数原理将（1）（2）（3）（4）加起来
故答案为：8424
例16．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是　　（结果用分数表示）．
【解析】由题意知本题是一个古典概型，
总事件数是8本书全排列有种方法，
而符合条件的事件数要分为二步完成：
首先两套中任取一套，作全排列，有种方法；
剩下的一套全排列，有种方法；
概率为：，
故答案为：．
例17．三个女生和五个男生排成一排．
（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
（5）甲必须在乙的右边，可有多少种不同的排法？
【解析】（1）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有种不同的排法，因此共有 320种不同的排法．
（2）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两端两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有种方法，因此共有 400种不同的排法．
（3）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有 种排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有种排法，所以共有 400种不同的排法．
（4）三个女生和五个男生排成一排有种排法，从中扣去两端都是女生的排法 种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有 000种不同的排法．
（5）甲必须在乙的右边即为所有排列的，因此共有 160种不同的排法．
例18．三个女生和五个男生排成一排．
（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？
（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？
（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？
【解析】（1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有种；
（2）女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有种；
（3）两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有种；
（4）男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有种，
（5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，种
例19．三个女生和四个男生排成一排．
（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，有多少种不的排法？
（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？
（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？
（5）如果最高的站中间，两边均按从高到低排列，有多少种不同的排法？
（6）如果四个男同学按从高到低排列，有多少种不同的排法？
【解析】（1）根据题意，用捆绑法，3名女生看为一个整体，考虑其顺序有种情况，
再将其与4名男生进行全排列，有种情况，
则共有种排法；
（2）用插空法，先将4名男生全排列，有种情况，
排好后，有5个空位，在其中任选3个，安排3名女生，有种情况，
则共有种排法；
（3）在4名男生中任取2人，安排在两端，有种情况，
再将剩余的5人安排在中间的5个位置，有种情况，
则共有种排法；
（4）用排除法，
7人进行全排列，有种排法，
两端都站女生，即先在3名女生中任取2人，再将剩余的5人安排在其他5个位置，有种站法，
则共有种排法；
（5）只需将最高的人放在中间，在剩余的6人中任取3人放在左边，其他的3人放在右边，
由于顺序固定，则左右两边只有一种排法，
则有种排法；
（6）先在7个位置中安排3名女生，有种排法，
剩余4个位置安排4名男生，有2种情况，
则有种排法．
例20．现有8个人男3女）站成一排．
（1）女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
（2）其中甲必须站在排头有多少种不同排法？
（3）其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？
（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
（5）其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？
（6）其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？
（7）男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？
（8）第3和第6个排男生，有多少种不同排法？
（9）甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？
女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？
【解析】（1）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
将这个整体与5名男生全排列，有种情况，
则女生必须排在一起的排法有种；
（2）根据题意，甲必须站在排头，有2种情况，
将剩下的7人全排列，有种情况，
则甲必须站在排头有种排法；
（3）根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，
则甲、乙两人不能排在两端有种排法；
（4）根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有种情况，排好后有7个空位，
则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有种情况，
则甲、乙两人不相邻有种排法；
（5）根据题意，将8人全排列，有种情况，
其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，
则甲在乙的左边有种不同的排法；
（6）根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有种情况，排好后有6个空位，
则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有种情况，
其中甲乙丙不能彼此相邻有种不同排法；
（7）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有种情况，
将男生、女生整体全排列，有种情况，
则男生在一起，女生也在一起，有种不同排法；
（8）根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，
则第3和第6个排男生，有种不同排法；
（9）根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，
甲乙不能排在前3位，有种不同排法？
根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选，
在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，
则女生两旁必须有男生，有种不同排法．
例21．已知有7名同学排队照相：
（1）若排成两排照，前排4人，后排3人，有多少种不同的排法？
（2）若排成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，有多少种不同的排法？
（3）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，有多少种不同的排法？
（4）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相间，有多少种不同的排法？
（5）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果两端不能都排男生，有多少种不同的排法？
（6）若排成一圈，有多少种不同的排法？
【解析】有7名同学排队照相：
（1）若徘成两排照，前徘4人，后排3人，有种方法．
（2）若徘成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，
若乙、丙在前排，则从除了甲、乙、丙外的4人中再选一人放到前排，其余的在后排，
方法有种，
若乙、丙在后排，从除了甲、乙、丙外的4人中再选一人放到后排，其余的人在前排，
方法有种，
故共有种方法．
（3）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，则采用插空法，将其余的5人排好，
5人中间有4个空，把甲乙当做一个整体插入，方法有种．
（4）若徘成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相间，先排4名男生，4名男生中间有3个空，
插入3名女生，
有种的排法．
（5）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果两端不能都排男生，
若两端都是男生，方法有种，而所有的方法有种，
故两端不能都排男生的排法有种．
（6）若排成一圈，即弯曲排成一排，有种不同的排法．
例22．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排拍照．
（1）甲必须排在中间，有多少种不同的排法？
（2）丁不能排在中间，有多少种不同的排法？
（3）丙、丁必须排在两端，有多少种不同的排法？
（4）甲、乙两人都不能排在首末两个位置，有多少种不同的排法？
（5）甲不能站排头，乙不能站排尾，有多少种不同的排法？
【解析】（1）甲排中间，其他任意排列，有种；
（2）丁不能排在中间，先排丁有种排法，然后其他任意排有种，
所以丁不能排在中间共有种；
（3）丙、丁必须排在两端：先排丙丁有，其他任意排列有种，
所以丙、丁必须排在两端共有种；
（4）甲、乙两人都不能排在首末两个位置有，先排甲乙有种，其他任意排列有种，
所以甲、乙两人都不能排在首末两个位置共有种；
（5）甲不能站排头，乙不能站排尾，分为两类，
①甲在排尾，其他任意排列有种，
②甲不在排尾，甲有种，然后乙有种，其他任意排列有种，
所以甲不能站排头，乙不能站排尾共有种．
例23．7位同学站一排．
（1）站成两排（前3后，共有多少种不同的排法？
（2）其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法？
（3）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
（4）甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种？
（5）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
（6）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
（7）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
（8）甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有少种？
（9）甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？
甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？
甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？
【解析】7位同学站一排，
（1）站成两排（前3后，共有多少种不同的排法，此没有限制条件是全排列问题，故排法种数是种；
（2）其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法，此问题是甲定位置的排法，相当于六个元素全排，故排法种数是种；
（3）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种，此问题分两步解决，先排甲乙两人，再排其余五人，故排法种数是种；
（4）甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种，可由乙在排头与不在排头两种情况解答，乙在排头时有种，乙不排头，先排乙，有5种排法，再排第
一位，有5种排法，其他五人全排列，故总的排法种数是；
（5）甲、乙两同学必须相邻的排法，可先将甲乙两人绑定，共种，将其看作一个元素与另五个元素全排列，有种，故共有种；
（6）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法计数，可先将甲乙两人绑定，共种，将其看作一个元素与除丙外四个元素全排列，再将丙插入它们隔开的空档中，共有种；
（7）甲、乙两同学不能相邻的排法可先将甲乙两人之外的五人全排列，再将两人插入隔开的六个空中，共有种；
（8）甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法计数，可先将甲乙丙外的四个人进行全排列，再将三人分别插入隔开的五个空档中，故共有种；
（9）甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种，可通过排除法计数，从七人的全排列数中减去三人相邻的排法种数，共有种；
甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种的计数，可先将甲乙绑定，然后看作一个元素将之与丙分别插入另外四个元素隔开的空档中，故共有种？
甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种的计数，可这样考虑，甲在乙左与甲在乙右种数是一样的，所以共有种排法．
例24．6位同学站在一排照相，按下列要求，各有多少种不同排法？
①甲、乙必须站在排头或排尾
②甲、乙．丙三人相邻
③甲、乙、丙三人互不相邻
④甲不在排头，乙不在排尾
⑤若其中甲不站在左端，也不与乙相邻．
【解析】①甲、乙必须站在排头或排尾，则有种不同排法；
②甲、乙、丙三人相邻，则有种不同排法；
③甲、乙、丙三人互不相邻，则有种不同排法；
④甲不在排头，乙不在排尾，则有种不同排法；
⑤6个人站成一排，有种，甲在左端的有种，甲和乙相邻的有种，甲既在左端也和乙相邻的有，
所以甲不在左端也不和乙相邻，则不同的排法共有种．
例25．（1）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法？
（2）一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？
【解析】（1）先将3人（用表示）与4张空椅子（用□表示）
排列如图□□□□，这时共占据了7张椅子，
还有2张空椅子，
第一种情况是分别插入两个空位，
如图中箭头所示□□□□，
即从4个空当中选2个插入，有种插法；
二是2张插入同一个空位，有种插法，
再考虑3人可交换有种方法，
所以，共有（种．
（2）可先让4人坐在4个位置上，有种排法，
再让2个“元素”（一个是“两个相邻空位”，另一个“单独的空位”
插入4个人形成的5个“空当”之间，有种插法，所以所求的坐法数为．
例26．6个人坐在一排10个座位上，问
（1）空位不相邻的坐法有多少种？
（2）4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？
（3）4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？
【解析】6个人排有种，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位．
（1）空位不相邻相当于将4个空位安插在上述个“间隔”中，有种插法，
故空位不相邻的坐法有种．
（2）将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插
有种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有种．
（3）4个空位至多有2个相邻的情况有三类：
①4个空位各不相邻有种坐法；
②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有种坐法；
③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有种坐法．
综合上述，应有种坐法．