专题04 高考数学一轮复习重点——数字问题（解析版）

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专题4 数字问题
例1．由0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为( )
A．288 B．360 C．480 D．600
【解析】
根据题意，末位数字可以为1、3、5，有种取法，首位数字不能为0，有种取法，再选
3个数字，排在中间，有种排法，则五位奇数共有，
故选：A．
例2．罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下：
数字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
形式
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
Ⅸ

其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示. （如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（ ）

A．87 B．95 C．100 D．103
【解析】
用6根火柴表示数字，所有搭配情况如下：
1根火柴和5根火柴：1根火柴可表示的数为1；5根火柴可表示的数为8，和0一起，能表示的数共有4个（108,180,801,810）.
2根火柴和4根火柴：2根火柴可表示的数为2、5；4根火柴可表示的数为7，和0一起，能表示的数有 个.
3根火柴和3根火柴：3根火柴可表示的数为3、4、6、9，和0一起，能表示的数分为2类：除0外的两个数字相同，可表示的数有个；除0外的两个数字不同，则有个，所以共有 个.
1根火柴、1根火柴和4根火柴：即有1、1、7组成的数，共有3个（117,171,711）.
1根火柴、2根火柴和3根火柴：即由1,2或5中的一个，3、4、6、9中的一个数字组成的三位数，共有 个.
2根火柴、2根火柴、2根火柴：即由2或5组成的三位数，分为两类：三个数字都相同，共有2个（222,555）；三个数字中的两个数字相同，则有个，共有 个.
综上可知，可组成的三位数共有 个.
故选：D.
例3．用、、、、、这六个数字，组成数字不重复且大于，小于的四位数有（ ）个
A． B． C． D．
【解析】
分以下三种情况讨论：
①首位数字为或，则后面三个数位上的数随便选择，此时，符合条件的数的个数为；
②首位数字为，百位数字不是，则百位数字可以在、、、中随便选择一个，后面两个数位上的数没有限制，此时，符合条件的数的个数为；
③首位数字为，百位数字为，则符合条件的数有、、、、、、，共个.
综上所述，大于，小于的四位数的个数为.
故选：A.
例4．将数字、、、、、、、排成四行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）
A． B． C． D．
【解析】
由于每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则第一行数字是、、、的全排列，共种，现考虑第一行数字的排列为，
则第二行数字的排列可以是：、、、、、、、、，共种.
由分步乘法计数原理可知，不同的排列方法共有种.
故选：A.
例5．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（　　）
A．85 B．95 C．2040 D．2280
【解析】
根据题意，分2步进行分析：
①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，
若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，
若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，
若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，
若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，
则有5+35+35+10＝85种选法，
②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，
则一共有85×24＝2040种不同排法；
故选：C．
例6．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，且是奇数，其中恰有两个数字是偶数，则这样的五位数的个数为（ ）．
A．7200 B．6480 C．4320 D．5040
【解析】
第一类，偶数数字取0
先从1，3，5，7，9中取3个奇数，从2，4，6，8中取1个偶数，
有中取法，然后将个位数排一个奇数，十位、百位、千位
选一个出来排0，剩下3个数字全排列，即有种排法
所以本类满足条件的五位数有个
第二类，偶数数字不取0，
先从1，3，5，7，9中取3个奇数，从2，4，6，8中取2个偶数，
有中取法，然后将个位数排一个奇数，剩下4个数字全排列，
即有种排法
所以本类满足条件的五位数有个
综上：这样的五位数个数为
故选：B
例7．将6个数2，0，1，9，20，19将任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数是（ ）
A．546 B．498 C．516 D．534
【解析】
解：将2，0，1，9，20，19的首位不为0的排列的全体记为，记为为的元素全数，则，
将中的2的后一项是0，且1的后一项是9的排列的全体记为，中2的后一项是0，但1的后一项不是9的排列的全体记为，中1的后一项是9，但2的后一项不是0的排列的全体记为，则，
可得，
由B中排列产生的每一个8位数，恰对应B中的个排列（这样的排列中，20可与“2，0”互换，19可与“1，9”互换），类似地，由C或D中排列产生的每个8 位数，恰对应C或D中的2个排列，因此满足条件的8位数的个数为：


，
故选：B
例8．2016里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛，若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有（ ）
A．6种 B．24种 C．36种 D．42种
【解析】
解：第一步从4个没转播的频道选出2个共有种，再把2个报道的频道选1个有种，
根据分步计数原理小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有种．
故选：．
例9．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（ ）
A．72 B．84 C．96 D．120
【解析】
先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有种，
其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，
考虑1和0相邻时，且1在0的左边，和剩余数字共有4！=24种排法，
其中一半是重复的，故此时有12种重复.
故共有种.
故选：B.
例10．由组成的无重复数字的五位偶数共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【解析】分两类：一、若五位数的个位数是，则有种情形；
二、若五位数的个位数是，由于不排首位，因此只有有种情形，中间的三个位置有种情形，依据分步计数原理可得种情形．
由分类计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为，应选答案B ．
例11．用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【解析】
由于五位数为偶数，则个位数必为偶数，可在、、种任选一个数，有种选择，
其它数位任意排列，由分步乘法计数原理可知，所求偶数的个数为.
故选：B.
例12．在0、1、2、3、4、5这6个数字组成的没有重复数字的六位数中，能被2整除的数的个数为（ ）
A．216 B．288 C．312 D．360
【解析】
由能够被2整除，可知该六位数为偶数，根据末位情况，分两种情况讨论：
当末位数字为0时，其余五个数为任意全排列，即有种；
当末位数字为2或4时，最高位从剩余四个非零数字安排，其余四个数位全排列，则有，
综上可知，共有个.
故选：C.
例13．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有(　　)
A．512个 B．192个
C．240个 D．108个
【解析】
试题分析：由于能被5整除的数，其个位必为0或5，由此分两类：第一类：个位为0的，有个；第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有个，第2小类：含0的，有个，从而第二类共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有60+48=108个，故选D．
例14．用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数的个数为（ ）
A．1260 B．1320 C．1200 D．1140
【解析】
当没有偶数时，这样的四位数的个数为
当含有一个偶数时
这个偶数为0时，这样的四位数的个数为
当这个偶数为其中一个时，这样的四位数的个数为
即满足题意的四位数的个数为
故选：A
例15．一个三位自然数abc的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当且时称为“凹数”；若，且a，b，c互不相同，则“凹数”的个数为（ ）.
A．20 B．36 C．24 D．30
【解析】
根据题意，分2步进行分析：
（1）在五个数中任取3个数，来组成“凹数”，有种取法，
（2）将取出的3个数中最小的数放在十位，其余2个数放在百位，个位，有种情况，
则“凹数”的个数为个.
故选：
例16．从1，3，5，7，9中任取2个不同的数字，从0，2，4，6中任取2个不同的数字，组成没有重复数字的四位数，则所组成的四位数是奇数的概率为___________.(用最简分数作答)
【解析】
若选出的个数中有，则组成的四位无重复的数字共有个，其中奇数有个；
若选出的个数中无，则组成的无重复数字的四位数有个，其中奇数有个，所以，组成的四位数为奇数的概率为.
故答案为：.
例17．对于数列，若，则称数列为“广义递增数列”，若，则称数列为“广义递减数列”，否则称数列为“摆动数列”.已知数列共4项，且，则数列是摆动数列的概率为______.
【解析】
根据题意可知，，则四位数字组成的数列有以下四类：
（1）由单个数字组成：共有4个数列；
（2）由2个数字组成：则共有种数字搭配，每种数字搭配又分为两种情况：由1个数字和3个相同数字组成4个数的数列（如1222,2111等），则有个数列；分别由2个相同数字组成的4个数的数列（如1122等）共有6个数列，因而此种情况共有种；
（3）由3个数字组成：共有种数字搭配（如1123等），相同数字有3种可能，则共有个数列；
（4）由4个数字组成：共有个数列.
因而组成数列的个数为个数列.
其中，符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数分别为：
（1）由单个数字组成：4个数列均符合“广义递增数列”或“广义递减数列”，因而有4个数列；
（2）由2个数字组成：满足“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数为 个；
（3）由3个数字组成：个；
（4）由4个数字组成：则有2个数列符合“广义递增数列”或“广义递减数列”，
综上可知，符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数为个.
所以“摆动数列”的个数为个，
因而数列是摆动数列的概率为，
故答案为：.
例18．将6个数2、0、1、9、20、19按任意次序排成一行，拼成一个8位数(首位不为0)，则产生的不同的8位数的个数为______ .
【解析】
2、0、1、9、20、19的首位不为0的排列的全体记为A.
易知|A|=5×5！=600(这里及以下，表示有限集X的元素个数).
将A中2的后一项是0，且1的后一项是9的排列的全体记为B；
A中2的后一项是0，但1的后一项不是9的排列的全体记为C；
A中1的后一项是9，但2的后一项不是0的排列的全体记为D.
易知|B|=4！，|B|+|C|=5！，|B|+|D|=4×4！，即，，.
由B中排列产生的每个8位数，恰对应B中的2×2=4个排列(这样的排列中，20可与“2，0”互换，19可与“1，9”互换)类似地，由C或D中排列产生的每个8位数，恰对应C或D中的2个排列因此满足条件的8位数的个数为


.
例19．由数字0，1，2，3，4，5可以组成_________个是3的倍数，但不是5的倍数的四位数.
【解析】
一个数是3的倍数需满足各位数之和是3的倍数，一个数是5的倍数需满足个位是0或者5，
从数字0，1，2，3，4，5中选四个数字出来，其中满足四个数字是3的倍数的有：0123，0135，0234，0345，1245
当选择的数字是0123时，能够组成个数，其中个位数是0的有个，所以满足题意的有个
当选择的数字是0135时，能够组成个数，其中个位数是0或5的有个，所以满足题意的有个
当选择的数字是0234时，能够组成个数，其中个位数是0的有个，所以满足题意的有个
当选择的数字是0345时，能够组成个数，其中个位数是0或5的有个，所以满足题意的有个
当选择的数字是1245时，能够组成个数，其中个位数是5的有个，所以满足题意的有个
综上：共有个
故答案为：58
例20．从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的四位偶数.
【解析】
当用0时，0只能在个位，十位，百位三个位置之一.
当个位为0时，从2,4,6中再取1个数字(3种方法），从1,3,5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），将这取得的3个数字在十百千位任意排列，共有3!=6中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有3×3×6=54种方法；
当十位或百位为0时（2种不同方法），从2,4,6中再取1个数字放置在个位(3种方法），然后从1,3,5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），在其余两位上任意排列，共有2!=2中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有2×3×3×2=36种方法；
当没有用0时，从2，4，6中任取1个数字放置在个位(有3中不同的方法）；在从其余的2个非零偶数字中任取一个数字(2种不同方法），从1，3，5中任取2个数字（有3种不同方法)，将这3个数字在除个位之外的十百千3个位置上任意排列(有3!=6种不同的方法），由分步乘法计数原理方法数为3×2×3×6=108种．
根据分类加法计数原理，一共有没有重复数字的四位偶数54+36+108=198个，
故答案为：198.
例21．用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有________.
【解析】
用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，共有个；
三个奇数中仅有两个相邻；
其对立面是三个奇数都相邻或者都不相邻；
当三个奇数都相邻时，把这三个奇数看成一个整体与2和4全排列共有个；
三个奇数都不相邻时，把这三个奇数分别插入2和4形成的三个空内共有个；
故符合条件的有；
故答案为：．
例22．由0，1，2，…，9十个数字组成的无重复数字的三位数共______个
【解析】
因为百位不能为，所以百位共有种情况，
再在剩下的个数中，任选个安排在十位与个位，
有种情况，
根据分步计数原理可得，符合要求的三位数有个.
故答案为：.
例23．现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.
（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（2）组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？
（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
（4）选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？
（5）如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”， 那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？
【解析】
（1）由题意，无重复的三位数共有个；
（2）当百位为1时，共有个数；
当百位为2时，共有个数；
当百位为3时，共有个数，
所以315是第个数；
（3）无重复的四位偶数，所以个位必须为0,2,4,6,8，千位上不能为0，
当个位上为0时，共有个数；
当个位上是2,4,6,8中的一个时，共有个数，
所以无重复的四位偶数共有个数；
（4）当选出的偶数为0时，共有个数，
当选出的偶数不为0时，共有个数，
所以这样的四位数共有个数；
（5）当挑出两个数时，渐减数共有个，
当挑出三个数时，渐减数共有个，
，
当挑出十个数时，渐减数共有个，
所以这样的数共有个.
例24．用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成没有重复数字的：
（1）三位偶数有多少个？
（2）能被3整除的三位数有多少个？
（3）可以组成多少个比210大的三位数？
【解析】
（1）个位是时，有个；个位是时，有个；个位是时，有个.
故共有个三位偶数.
（2）能被3整除的三位数的数字组成共有：；；；四种情况.
共有：个.
（3）当百位是时，共有个；当百位是时，共有个；当百位是时，共有个；故共有个.