专题05 高考数学一轮复习重点——分堆问题（解析版）

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专题5 分堆问题
例1．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
【解析】
①每人都安排一项工作的不同方法数为，即选项错误，
②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为，即选项B错误，
③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（），即选项C错误，
④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有 ,从余下四人中安排三个岗位，
故有；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有 ,
从余下三人中安排三个岗位，故有；所以每项工作至少有一人参加，
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是，
即选项D正确，
故选：D．
例2．我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到A，B，C三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A医疗点，则不同分配种数为（ ）
A．116 B．100 C．124 D．90
【解析】
根据已知条件，完成这件事情可分2步进行：
第一步：将5名医学专家分为3组
①若分为3,1,1的三组，有种分组方法；
②若分为2,2,1的三组，有种分组方法，
故有种分组方法．
第二步：将分好的三组分别派到三个医疗点，甲专家不去医疗点，
可分配到医疗点中的一个，有种分配方法，
再将剩余的2组分配到其余的2个医疗点，有种分配方法，
则有种分配方法．
根据分步计数原理，共有种分配方法．
故选：B．
例3．现有位萌娃参加一项“寻宝贝，互助行”的游戏活动，宝贝的藏匿地点有远、近两处，其中亮亮的年龄比较小，要么不参与此项活动，但同时必须有另--位萌娃留下陪同；要么参与寻找近处的宝贝.所有参与寻找宝贝任务的萌娃被平均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的寻找方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【解析】
(1)若亮亮不参与游戏，可以分三步完成萌娃的分配：①安排一位萌娃陪同亮亮，有5种选择：②从剩下的4个萌娃选择2个去近处，有种选择；③最后剩下的2个去远处，完成分配，所以有种方案．
(2)若亮亮参与游戏，可以分两步完成萌娃的分配：①从5个萌娃选择2个和亮亮去近处，有种选择；②剩下的3个萌娃去远处，完成分配，所以有种方案．
综上，不同的寻找方案有种．
故选：B．
例4．2019年4月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（ ）
A．150种 B．240种 C．300种 D．360种
【解析】
根据题意，三个区域至少有一个安保小组，
所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分法：
按照1、1、3分组或按照1、2、2分组；
若按照1、1、3分组,共有种分组方法；
若按照1、2、2分组,共有种分组方法，
根据分类计数原理知共有60+90=150种分组方法.
故选：A.
例5．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有90种分法；
B．分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；
C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；
D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；
【解析】
对，先从6本书中分给甲2本，有种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2本书给丙，有种方法.所以不同的分配方法有种，故正确；
对，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有种方法；再分给甲､乙､丙三人，所以不同的分配方法有种，故正确；
对，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙丁，有种方法.所以不同的分配方法有种，故正确；
对，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有种方法；
再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有种，故错误.
故选：.
例6．将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（ ）.
A． B． C． D．18
【解析】
根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，
有2种解法：
（1）分2步进行分析：
①先将四个不同的小球分成3组，有种分组方法；
②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法；
则没有空盒的放法有种；
（2）分2步进行分析：
①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有种情况；
②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有种放法；
则没有空盒的放法有种；
故选：BC．
例7．江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，分配到历史类5个班级(每个班至少0个名额，所有名额全部分完).
（1）共有多少种分配方案？
（2）6名学生确定后，分成A、B、C、D四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？
（3）6名学生来到武汉火车站.火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，求6人进站的不同方案种数.
【解析】
（1）由题意得：问题转化为不定方程的非负整数解的个数，
∴方程又等价于不定方程的正整数解的个数，
利用隔板原理得：方程正整数解的个数为，
∴共有种分配方案.
（2））先把6名学生按人数分成没有区别的4组，有2类：1人，1人，1人，3人和1人，1人，2人，2人，再把每一类中的人数分到A、B、C、D四个小组.
第一种分法：1人，1人，1人，3人，有种方法；
第二种分法：1人，1人，2人，2人，有种方法.
共有种方法.
（3）每名学生有3种进站方法，分步乘法计数原理得6人进站有种不同的方案.
例8．从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题：
（1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）
（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？
（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.（化成最简分数）
【解析】
(1)由题可能的情况有男医生3人女医生2人和男医生2人女医生3人,
共种不同的建组方案.
(2)由题,除开男医生甲后不考虑必须男女医生都有的建组方案共种,其中只有男医生的情况数有,不可能存在只有女医生的情况.故共有种不同的建组方案.
(3)由题, 男医生甲与女医生乙被同时选中的概率为.故男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率为.
例9．现有本书和位同学，将书全部分给这三位同学.
（1）若本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？
（2）若本书都不相同，共有多少种分法？
（3）若本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？
【解析】
（1）根据题意，若本书完全相同，将本书排成一排，中间有个空位可用，
在个空位中任选个，插入挡板，有种情况，
即有种不同的分法；
（2）根据题意，若本书都不相同，每本书可以分给人中任意1人，都有3种分法，
则5本不同的书有种；
（3）根据题意，分2步进行分析：
①将本书分成组，
若分成1、1、3的三组，有种分组方法，
若分成1、2、2的三组，有种分组方法，
则有种分组方法；
②将分好的三组全排列，对应名学生，有种情况，
则有种分法.
例10．有6本不同的书，在下列不同的条件下，各有多少种不同的分法？
（1）分给甲､乙､丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
（2）分成三组，一组4本，另外两组各1本；
（3）甲得1本，乙得1本，丙得4本.
【解析】
（1）先将6本不同的书分成1本，2本，3本共3组，有种，
再将3组分配给3人有种，故共有种；
（2）只需从6本中选4本一组，其余2本为2组，即种；
（3）分步处理，先从从6本中选4本给丙，其余2本分给甲乙各一本，
即种.
例11．（1）3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，一共有多少种不同的放法？
（2）3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有2个空盒的放法共有多少种？
【解析】
（1）根据题意，3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，
每个小球有4种放法，则3个小球有种不同的放法；
（2）根据题意，分2步分析：
①将3个小球分成2组，有种分组方法，
②在4个盒子中任选2个，分别放入分好组的两组小球，有种选法，
则恰有2个空盒的放法有种．
例12．现有大小相同的只球，其中只不同的红球，只不同的白球，只不同的黑球．
（1）将这只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法?（请用数字作答）
（2）将这只球分成三堆，三堆的球数分别为：，共有多少种分堆的方法?（请用数字作答）
（3）现取只球，求各种颜色的球都必须取到的概率．（请用数字作答）
【解析】
（1）只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，共有种方法；
（2）将这只球分成三堆，三堆的球数分别为：，共有种分法；
（3）当取出个红球，个的白球，个的黑球时，；
当取出个红球，个白球，个黑球时，；
当取出个红球，个白球，个黑球时，；
.
故各种颜色的球都必须取到的概率为．
例13．现有7名师范大学应届毕业的免费师范生将被分配到育才中学、星云中学和明月湾中学任教.
（1）若4人被分到育才中学，2人被分到星云中学，1人被分到明月湾中学，则有多少种不同的分配方案？
（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？
【解析】
（1）根据题意，分3步进行分析：
①、在7人中选出4人，将其分到育才中学，有种选法；
②、在剩余3人中选出2人，将其分到星云中学，有种选法；
③、将剩下的1人分到明月湾中学，有1种情况，
则一共有种分配方案；
（2）根据题意，分2步进行分析：
①、将7人分成3组，人数依次为4、2、1，有种分组方法，
②、将分好的三组全排列，对应3个学校，有种情况，
则一共有种分配方案.
例14．如图，从左到右有5个空格.

（1）若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？
（2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？
（3）若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？
【解析】
（1）利用排除法：种.
（2）根据乘法原理得到：共有种涂法.
（3）若分成的组，则共有种分法；
若分成的组，则共有种分法，
故共有种放法.
例15．学校安排5名学生到3家公司实习，要求每个公司至少有1名学生，则有__________种不同的排法.
【解析】
根据题意，分2步进行分析：
①先将5名学生分成3组，
若分成1、1、3的三组，有种分组方法，
若分成1、2、2的三组，有种分组方法，
则有种分组方法；
②再将分好的三组全排列，对应三个公司，有种情况，
则有种不同的安排方式.
故答案为：150.
例16．现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有_______种不同的选法．
【解析】
因为英语翻译只能从多面手中选，所以有
（1）当选出的多面手2人从事英语翻译，没人从事俄语翻译，所以有种选法；
（2）当选出的多面手2人从事英语翻译，1人从事俄语翻译，所以有种选法；
（3）当选出的多面手2人从事英语翻译，2人从事俄语翻译，所以有种选法；
共有18+36+6=60种选法．
例17．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是　_________　（用数字作答）．
【解析】
3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C41C51＝20种，
1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31C43C51＝60种，
1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C31C41C53＝120种，
2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32C42C51＝90种，
1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C31C42C52＝180种，
2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C32C41C52＝120种，
共计20+60+120+90+180+120＝590种
故答案为590.
例18．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）；
【解析】
先选三个不同场馆中只去一名志愿者，共有种选法；
剩下的两个场馆只需各取两名志愿者，共有种选法，
由乘法原理得分配方案有种．