专题10 高考数学一轮复习重点——几何问题（解析版）

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专题10 几何问题例1．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为的共有　　 A．24对 B．30对 C．48对 D．60对【解析】正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有对，同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，不满足题意的共有：．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为的共有：．故选：．例2．四面体的一个顶点为，从其它顶点与各棱的中点中取3个点，使它们和点在同一平面上，不同的取法有　　A．30种 B．33种 C．36种 D．39种【解析】根据题意，如图，分析可得，①所取的3点在3个侧面上时，每个侧面有种取法，共种情况；②所取的3点不在侧面上时，含顶点的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法；综合可得，共种，故选：． 例3．从四面体的顶点及各棱的中点这十个点中，任取3个点确定一个平面，则不同平面个数为　　A．17 B．23 C．25 D．29【解析】考虑点的选择：（1）三个点都是顶点：一共有4种，就是四面体的四个表面；（2）两个顶点，一个棱中点：为了不和上面的四个面重合，当两个顶点确定时，只有一个选择（此时的面就是一条棱和它的对棱的中点确定的面），所以这种情况一共有6种；（3）一个顶点，两个棱中点：为了不和上面重合，确定一个顶点后，则只能选取它的对面的三个中点了，有3种情况，共有种；（4）三个都是棱中点：可以在正四面体中想，这样的面要么和外表面平行要么和一对对棱平行，所以有种，综上，共有种．故选：．例4．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有　　A．150种 B．147种 C．144种 D．141种【解析】从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，不同的取法共有种．故选：．例5．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是　　A．60 B．48 C．36 D．24【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，一个长方体的面可以和它相对的面上的4条棱和两条对角线组成6个，一共有6个面，共有种结果，长方体的对角面组成两组，共有6个对角面，共有12种结果，根据分类计数原理知共有种结果，故选：．例6．正八边形的8个顶点，以其中3个点为顶点的不同位置的直角三角形共有　 　个．【解析】正八边形的8个顶点在同一个圆上，8个等分点可得4条直径，可构成直角三角形有个，故答案为：24例7．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有多少个．【解析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有（个；第二类，有两条公共边的三角形共有8（个．由分类加法计数原理知，共有（个．例8.不共面的四点确定四面体(记得易除共面的情况）(I)以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四面体?（II）以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四棱锥?【解析】（I）正方体的8个顶点可构成个四点组,其中共面的四点组有正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的四个顶点,故可以确定四面体的个数为(II)由(I)知，正方体共面的四点组有12个,以这每一个四点组构成的四边形为底面,以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个四棱锥,故可以确定四棱锥的个数为例9.考虑的正方形方格表中的25个格点,则通过至少3个格点有不同直线的数目为     【解析】水平和竖直的直线共有10条,两条对角线和与两条对角线平行的直线共有10条,在的正方形中有6个的长方形,每个的长方形有2条对角线，即条,因此共有32条.例10.如图，给定由10个点(任意相邻两点距离为1)组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是       【解析】如图：边长为1的正三角形共有1+3+5=9个；边长为2的正三角形共有3个；边长为3的正三角形共有1个；边长为的正三角形有2个.综上可知:共有9+3+1+2=15个.