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2023-2024年人教版九年级上册数学第一次月考提高卷
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这是一份2023-2024年人教版九年级上册数学第一次月考提高卷，共19页。
2023-2024年人教版九年级上册数学第一次月考提高卷
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣4＝（x+3）2
C．x2+3x-5＝0 D．3x（x﹣4）＝0
2．（3分）已知二次函数y＝﹣3x2+6x+4，若﹣2≤x≤2，则y的最小值和最大值分别是（ ）
A．﹣22，7 B．﹣20，4 C．﹣22，4 D．﹣20，7
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0时，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝1 B．（x﹣3）2＝10 C．（x+3）2＝1 D．（x+3）2＝10
4．（3分）将抛物线y＝x2+2x﹣2先向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+4）2﹣2 B．y＝（x+4）2﹣4 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2﹣4
5．（3分）若关于x的一元二次方程mx2+6x﹣9＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m≥﹣1 C．m≠1且m≠0 D．m≥﹣1且m≠0
6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=12，且图象经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②c﹣2b＝0；（3）若(-12，y1)，(52，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2；④14b+c＞m（am+b）+c（其中m≠12)．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）把方程y2﹣4y＝6（y+1）整理后配方成（y+a）2＝k的形式是 ．
8．（3分）给出下列两条抛物线：y=12x2+2x+1，y=2x2+4x+1．请尽可能多地找出这两条抛物线的共同点： （5条以上得满分）
9．（3分）如果关于x的方程3x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是 ．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，若△ABC与△ABD的面积相等，则m值为 ．
11．（3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则m+n＝ ．
12．（3分）已知抛物线与x轴的交点分别为（3，0）和（1，0）；与y轴交点（0，6），则二次函数的关系式是 ．
三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）
13．（6分）（1）解方程：x（x+6）＝7．
（2）用配方法求二次函数y＝2x2﹣8x+7图象的对称轴和顶点坐标．
14．（6分）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，传承红色基因”主题教育学习活动，井冈山是此次活动重要的研学活动基地．据了解，今年7月份该基地接待参观人数100万，9月份接待参观人数增加到121万．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计10月份的参观人数是多少？
15．（6分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2，﹣3），（﹣1，12）．
（1）求b，c的值．
（2）若点A（m，k），B（n，k）在二次函数图象上，其中m≠n，当﹣2＜m＜3时，求n的取值范围．
16．（6分）写出一个以2+3，2-3为根的方程．
17．（6分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x＝2，顶点为D．求二次函数的解析式及四边形ADBC的面积．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
18．（8分）2020年4月，我市某药店销售一种疫情防控物品，进价为50元/瓶．售价为60元/瓶时，当天的销售量为100瓶．在销售过程中发现：售价每上涨5元，当天的销售量就减少5瓶．设当天销售单价统一为x元/瓶（x≥60，且x是按5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天销售利润不低于2400元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每瓶物品的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每瓶物品售价应定为多少元？当天的最大利润为多少元？
19．（8分）已知等腰三角形的一边长为8，另一个边长为方程x2﹣10x+21＝0的根，求该等腰三角形的周长．
20．（8分）已知关于x的方程kx2+（2k+3）x+k+1＝0．
（1）若x＝1是该方程的根，求k的值；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）
21．（9分）随着济宁旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加．
（1）该宾馆床位数从2016年底的200个增长到2018年底的242个，求该宾馆这两年（从2016年底到2018年底）拥有的床位数的年平均增长率．
（2）根据市场表现发现每床每日收费40元，242张床可全部租出，若每床每日收费提高10元，则租出床位减少20张．若想平均每天获利11100元，同时又减轻游客的经济负担，每张床位应定价多少元？
22．（9分）如图，M是弦AB与弧AB所围成的图形的内部的一个定点，P是弦AB上一动点，连接PM并延长交弧AB于点Q，连接QB．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，Q两点间距离为y1cm，BQ两点间距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2，随自变量x的变化而变化的规律进行了研究．下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）按照如表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，补全如表；
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
5.24
4.24
3.24
1.54
1.79
3.47
y2/cm
1.31
1.34
1.42
1.54
1.80
2.45
3.47
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值对应的点（x1，y1）和（x2，y2）并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当△PQB为等腰三角形时，AP的长度约 cm（精确到0.1）．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．（12分）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数，a≠0）．
（1）若该二次函数图象经过A （1，1），B（﹣1，4），C（﹣3，12）三点中的一个点，求该函数表达式．
（2）当﹣3＜x＜0时，y有最小值﹣4，若将该二次函数图象向右平移k（k＞1）个单位，平移后的图象的函数y′在﹣3≤x≤0的范围内有最小值﹣3，求a，k值．
2023-2024年人教版九年级上册数学第一次月考提高卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣4＝（x+3）2
C．x2+3x-5＝0 D．3x（x﹣4）＝0
【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项判断即可得．
【解答】解：A、当a＝0，b≠0时，方程ax2+bx+c＝0是一元一次方程，则此项不符合题意；
B、方程x2﹣4＝（x+3）2整理为6x+9＝﹣4，是一元一次方程，则此项不符合题意；
C、方程x2+3x-5=0中的3x不是整式，不是一元二次方程，则此项不符合题意；
D、方程3x（x﹣4）＝0整理为3x2﹣12x＝0，是一元二次方程，则此项符合题意；
故选：D．
2．（3分）已知二次函数y＝﹣3x2+6x+4，若﹣2≤x≤2，则y的最小值和最大值分别是（ ）
A．﹣22，7 B．﹣20，4 C．﹣22，4 D．﹣20，7
【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的增减性解答即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x=-b2a=-6-6=1，
∵a＝﹣3＜0，
∴x＜1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，
∴在﹣2≤x≤2内，x＝1时，y有最大值，y＝﹣3+6+4＝7，
x＝﹣2时y有最小值，分别是y＝﹣3×4+6×（﹣2）+4＝﹣20，
故选：D．
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0时，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝1 B．（x﹣3）2＝10 C．（x+3）2＝1 D．（x+3）2＝10
【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
【解答】解：方程移项得：x2﹣6x＝1，
配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10，
故选：B．
4．（3分）将抛物线y＝x2+2x﹣2先向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+4）2﹣2 B．y＝（x+4）2﹣4 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2﹣4
【分析】根据函数图象向左平移加，向下平移减，可得答案．
【解答】解：∵y＝x2+2x﹣2，
∴y＝（x+1）2﹣3．
∴将抛物线y＝x2+2x﹣2先向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是y＝（x+1+3）2﹣3+1．即y＝（x+4）2﹣2．
故选：A．
5．（3分）若关于x的一元二次方程mx2+6x﹣9＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m≥﹣1 C．m≠1且m≠0 D．m≥﹣1且m≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且b2﹣4ac＝62﹣4m×（﹣9）≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+6x﹣9＝0有两个实数根，
∴Δ＝62﹣4m×（﹣9）≥0且m≠0，
解得：m≥﹣1且m≠0．
故选：D．
6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=12，且图象经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②c﹣2b＝0；（3）若(-12，y1)，(52，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2；④14b+c＞m（am+b）+c（其中m≠12)．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】抛物线开口向下，且交y轴于正半轴及对称轴为x=12，推导出a＜0，b＞0、c＞0以及a与b之间的关系：b＝﹣a；根据二次函数图象经过点（2，0），可得出0＝4a+2b+c；再由二次函数的对称性，当a＜0时，距离对称轴越远x所对应的y越小；由抛物线开口向下，对称轴是直线x=12，可知当x=12时，y有最大值．
【解答】解：∵抛物线开口向下，且交y轴于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴x=-b2a=12，即b＝﹣a，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（2，0），
∴0＝4a+2b+c，
又可知b＝﹣a，
∴0＝﹣4b+2b+c，即﹣2b+c＝0，
故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x=12，且12-（-12）＝1，52-12=2，
∴y1＞y2，
故③不正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x=12，
∴当x=12时，抛物线y取得最大值ymax=14a+12b+c=14b+c，
当x＝m时，ym＝am2+bm+c＝m（am+b）+c，且m≠12，
∴ymax＞ym，
故④正确，
综上，结论①②④正确，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）把方程y2﹣4y＝6（y+1）整理后配方成（y+a）2＝k的形式是 （y﹣5）2＝31 ．
【分析】先将方程y2﹣4y＝6（y+1）整理成一般形式，然后利用配方法的一般步骤（①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方）进行计算．
【解答】解：由原方程，得
y2﹣10y＝6，
等式的两边同时加上52，得
y2﹣10y+52＝6+52，即（y﹣5）2＝31；
故答案为：（y﹣5）2＝31．
8．（3分）给出下列两条抛物线：y=12x2+2x+1，y=2x2+4x+1．请尽可能多地找出这两条抛物线的共同点： ①抛物线开口向上，②抛物线都与y轴交于点（0，1），③当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，④抛物线都不经过第四象限，⑤两条抛物线最小值都为﹣1．等等． （5条以上得满分）
【分析】可以从两条抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，与y轴的交点，增减性等方面找两条抛物线的共同点．
【解答】解：两条抛物线的共同点：①抛物线开口向上，②抛物线都与y轴交于点（0，1），③当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，④抛物线都不经过第四象限，⑤两条抛物线最小值都为﹣1．等等．
9．（3分）如果关于x的方程3x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是 43 ．
【分析】根据方程有两个相等的实数根得出Δ＝b2﹣4ac＝0，据此列出关于m的方程，解之可得．
【解答】解：∵关于x的方程3x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝42﹣4×3×m＝0，
解得m=43，
故答案为：43．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，若△ABC与△ABD的面积相等，则m值为 2 ．
【分析】先利用配方法求出顶点D的坐标，再表示出C点，然后利用三角形面积公式得到m＝﹣（m﹣4），再解方程即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m＝（x﹣2）2+m﹣4，
∴D（2，m﹣4），
当x＝0时，y＝x2﹣4x+m＝m，则C（0，m），
∵△ABC与△ABD的面积相等，
∴m＝﹣（m﹣4），
解得m＝2．
故答案为：2．
11．（3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则m+n＝ ﹣2 ．
【分析】根据根与系数的关系，可知两根之和等于-ba，即可求出m+n的值．
【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n=-ba=-2．
故答案为：﹣2．
12．（3分）已知抛物线与x轴的交点分别为（3，0）和（1，0）；与y轴交点（0，6），则二次函数的关系式是 y＝2x2﹣8x+6 ．
【分析】二次函数的图象与x轴交点为（3，0），（1，0），设二次函数解析式为：y＝a（x﹣3）（x﹣1），把与y轴交点为（0，6）代入即可求解．
【解答】解：∵二次函数图象与x轴交点为（3，0），（1，0），与y轴交点（0，6），
设二次函数解析式为：y＝a（x﹣3）（x﹣1），
把与y轴交点为（0，6）代入得：3a＝6，
∴a＝2，
∴二次函数解析式为：y＝2（x﹣3）（x﹣1）＝2x2﹣8x+6，
故答案为：y＝2x2﹣8x+6．
三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）
13．（6分）（1）解方程：x（x+6）＝7．
（2）用配方法求二次函数y＝2x2﹣8x+7图象的对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）将原方程变形为一般式，再利用因式分解法解方程即可得出结论；
（2）将二次函数解析式变形为顶点式，由此即可得出抛物线的对称轴和顶点坐标．
【解答】解：（1）原方程可变形为x2+6x﹣7＝0，
即（x﹣1）（x+7）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣7．
（2）∵y＝2x2﹣8x+7＝2（x2﹣4x）+7＝2（x2﹣4x+4﹣4）+7＝2（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，﹣1）．
14．（6分）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，传承红色基因”主题教育学习活动，井冈山是此次活动重要的研学活动基地．据了解，今年7月份该基地接待参观人数100万，9月份接待参观人数增加到121万．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计10月份的参观人数是多少？
【分析】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x，根据9月份该基地接待参观人数＝7月份该基地接待参观人数×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用10月份该基地接待参观人数＝9月份该基地接待参观人数×（1+增长率），即可求出结论．
【解答】解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x，
依题意得：100（1+x）2＝121，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．
（2）121×（1+10%）＝133.1（万人）．
答：预计10月份的参观人数为133.1万人．
15．（6分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2，﹣3），（﹣1，12）．
（1）求b，c的值．
（2）若点A（m，k），B（n，k）在二次函数图象上，其中m≠n，当﹣2＜m＜3时，求n的取值范围．
【分析】（1）将点（2，﹣3），（﹣1，12）代入函数y＝x2+bx+c即可求b、c；
（2）由题意可知，A、B关于对称轴对称，则有m+n＝6，再结合m的取值范围即可求n的范围．
【解答】解：（1）∵函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2，﹣3），（﹣1，12），
∴4+2b+c=-31-b+c=12，
∴b=-6c=5；
（2）∵b＝﹣6，c＝5，
∴y＝x2﹣6x+5，
∴函数的对称轴为直线x＝3，
∵点A（m，k），B（n，k）在二次函数图象上，
∴A点与B点关于对称轴对称，
∴m+n＝6，
∴m＝6﹣n，
∵﹣2＜m＜3，
∴﹣2＜6﹣n＜3，
∴3＜n＜8．
16．（6分）写出一个以2+3，2-3为根的方程．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：设方程x2+px+q＝0的两根为2±3，
∴2+3+2-3=-p，（2+3）（2-3）＝q，
∴p＝﹣4，q＝1，
∴该方程为x2﹣4x+1＝0，
17．（6分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x＝2，顶点为D．求二次函数的解析式及四边形ADBC的面积．
【分析】（1）根据二次函数的对称轴为直线x＝2，设出二次函数解析式，把A与C坐标代入求出a与k的值，确定出二次函数解析式；
（2）找出函数图象顶点D的坐标，进而根据对称性求得B的坐标，根据S四边形ADBC＝S△ABD+S△ABC求得即可．
【解答】解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
把A（1，0），C（0，6）代入得：a+k=04a+k=6，
解得：a=2k=-2，
则二次函数解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2＝2x2﹣8x+6；
（2）∵y＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点D的坐标为（2，﹣2），
由A（1，0），对称轴为直线x＝2可知另一个与x轴的交点B（3，0），
∴AB＝2，
∴S四边形ADBC＝S△ABD+S△ABC=12×2×2+12×2×6=8．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
18．（8分）2020年4月，我市某药店销售一种疫情防控物品，进价为50元/瓶．售价为60元/瓶时，当天的销售量为100瓶．在销售过程中发现：售价每上涨5元，当天的销售量就减少5瓶．设当天销售单价统一为x元/瓶（x≥60，且x是按5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天销售利润不低于2400元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每瓶物品的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每瓶物品售价应定为多少元？当天的最大利润为多少元？
【分析】（1）按照当天销售利润等于每件的利润乘以销售量列出函数关系式并化简即可；
（2）先求得利润等于2400元时的售价，再根据二次函数的性质得出当天销售单价所在的范围；
（3）根据每瓶防控物品利润不超过80%，列出关于x的不等式，解得单价的范围，再根据二次函数的性质得出当天获得利润最大时的售价即可．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝（x﹣50）（100-x-605×5）
＝﹣x2+210x﹣8000．
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x2+210x﹣8000．
（2）要使当天利润不低于2400元，则y≥2400，
由y＝﹣x2+210x﹣8000＝2400解得，x1＝80，x2＝130，
∵抛物线的开口向下，
∴当天销售单价所在的范围为80≤x≤130．
（3）∵每瓶防控物品利润不超过80%，
∴（x﹣50）÷50≤0.8，
∴解得x≤90，
∴销售单价为60≤x≤90，
由（1）得y＝﹣x2+210x﹣8000．
∵对称轴为x＝105，
∴60≤x≤90在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大，
∴当x＝90时，取得最大值，此时y＝﹣902+210×90﹣8000＝2800．
∴每瓶物品售价为90元时，当天获得利润最大，最大利润为2800元．
19．（8分）已知等腰三角形的一边长为8，另一个边长为方程x2﹣10x+21＝0的根，求该等腰三角形的周长．
【分析】利用因式分解法解方程x2﹣10x+21＝0得到x1＝3，x2＝7，然后根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形的三边，然后计算对应的周长．
【解答】解：（x﹣3）（x﹣7）＝0，
所以x1＝3，x2＝7，
当等腰三角形三边腹部为8、8、3时，三角形的周长为19；
当等腰三角形三边腹部为8、8、7时，三角形的周长为23；
当等腰三角形三边腹部为7、7、8时，三角形的周长为22．
所以该等腰三角形的周长为19或22或23．
20．（8分）已知关于x的方程kx2+（2k+3）x+k+1＝0．
（1）若x＝1是该方程的根，求k的值；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【分析】（1）把﹣1代入方程求解即可；
（2）根据根的判别式计算即可．
【解答】解：（1）把x＝1代入该方程得k+2k+3+k+1＝0，解得k＝﹣1；
（2）分两种情况讨论：
①当k＝0时，原方程可化为3x+1＝0，解得x=-13，
与“该方程有两个不相等的实数根”矛盾，不合题意，应舍去；
②当k≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
即(2k+3)2-4k(k+1)0，解得k-98．
综上所述，k的取值范围是k-98且k≠0．
五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）
21．（9分）随着济宁旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加．
（1）该宾馆床位数从2016年底的200个增长到2018年底的242个，求该宾馆这两年（从2016年底到2018年底）拥有的床位数的年平均增长率．
（2）根据市场表现发现每床每日收费40元，242张床可全部租出，若每床每日收费提高10元，则租出床位减少20张．若想平均每天获利11100元，同时又减轻游客的经济负担，每张床位应定价多少元？
【分析】（1）设该宾馆这两年（从2016年底到2018年底）拥有的床位数的年平均增长率为x，根据2016年底及2018年底该宾馆的床位数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每床每日涨价y元，则每日可租出（242﹣2y）张床，根据总租金＝每张床的租金×租出床的数量及平均每天获利11100元，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该宾馆这两年（从2016年底到2018年底）拥有的床位数的年平均增长率为x，
依题意，得：200（1+x）2＝242，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：该宾馆这两年（从2016年底到2018年底）拥有的床位数的年平均增长率为10%．
（2）设涨价y元，则每日可租出（242﹣2y）张床，
依题意，得：（40+y）（242﹣2y）＝11100，
整理，得：y2﹣81y+710＝0，
解得：y1＝10，y2＝71．
∵要减轻游客的经济负担，
∴y＝10，
∴40+y＝50．
答：每张床位应定价为50元．
22．（9分）如图，M是弦AB与弧AB所围成的图形的内部的一个定点，P是弦AB上一动点，连接PM并延长交弧AB于点Q，连接QB．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，Q两点间距离为y1cm，BQ两点间距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2，随自变量x的变化而变化的规律进行了研究．下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）按照如表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，补全如表；
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
5.24
4.24
3.24
2.24
1.54
1.79
3.47
y2/cm
1.31
1.34
1.42
1.54
1.80
2.45
3.47
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值对应的点（x1，y1）和（x2，y2）并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当△PQB为等腰三角形时，AP的长度约 3.7或4.7或4.3 cm（精确到0.1）．
【分析】（1）根据表中的数据可得出答案；
（2）利用描点法画出图象即可．
（3）图中寻找直线y＝﹣x+6与两个函数的交点的横坐标以及y1与y2的交点的横坐标即可．
【解答】解：（1）观察表中数据可得：
当x＝3时，y1＝2.24．（2.0﹣2.5之间的数均可）
（2）函数图象如图1所示：
（3）如图2．
观察图象可知：当y1＝y2或6﹣x＝y1或6﹣x＝y2，△PQB为等腰三角形，
即当BQ＝PQ或PB＝PQ或PB＝BQ时，x＝3.7cm或4.7cm或4.3cm，
综上所述，满足条件的x的值为3.7cm或4.7cm或4.3cm．
故答案为：3.7或4.7或4.3．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．（12分）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数，a≠0）．
（1）若该二次函数图象经过A （1，1），B（﹣1，4），C（﹣3，12）三点中的一个点，求该函数表达式．
（2）当﹣3＜x＜0时，y有最小值﹣4，若将该二次函数图象向右平移k（k＞1）个单位，平移后的图象的函数y′在﹣3≤x≤0的范围内有最小值﹣3，求a，k值．
【分析】（1）当x＝1时，y＝0；x＝﹣3时，y＝0；所以抛物线过点A；
（2）根据题意当x＝﹣1 时，y＝﹣4，代入y＝ax2+2ax﹣3a求得a＝1，得到抛物线为y＝x2+2x﹣3经过（0，﹣3），进而得出将该二次函数图象向右平移k（k＞1）个单位后也经过（0，﹣3），根据二次函数的对称性即可求得平移前的对应点为（﹣2，3），从而求得k＝2．
【解答】解：（1）把点B（﹣1，4）代入y＝ax2+2ax﹣3a得a＝﹣1；
把点A（1，1）代入y＝ax2+2ax﹣3a 得0＝1，∴A不在抛物线上；
把点C（﹣3，12）代入y＝ax2+2ax﹣3a 得0＝12，∴C不在抛物线上，
故函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由已知得抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1 时，y＝﹣4，
∴a﹣2a﹣3a＝﹣4，
∴a＝1，
∴y＝x2+2x﹣3经过点（0，﹣3）．
∵抛物线向右平移k（k＞1）个单位后y′的对称轴直线x＞0，
又∵y′在﹣3≤x≤0的范围内有最小值﹣3，
∴y′也经过点（0，﹣3），
∴由对称性可得平移前的对应点为（﹣2，3），
∴k＝2
2023-2024年人教版九年级上册数学第一次月考提高卷
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣4＝（x+3）2
C．x2+3x-5＝0 D．3x（x﹣4）＝0
2．（3分）已知二次函数y＝﹣3x2+6x+4，若﹣2≤x≤2，则y的最小值和最大值分别是（ ）
A．﹣22，7 B．﹣20，4 C．﹣22，4 D．﹣20，7
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0时，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝1 B．（x﹣3）2＝10 C．（x+3）2＝1 D．（x+3）2＝10
4．（3分）将抛物线y＝x2+2x﹣2先向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+4）2﹣2 B．y＝（x+4）2﹣4 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2﹣4
5．（3分）若关于x的一元二次方程mx2+6x﹣9＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m≥﹣1 C．m≠1且m≠0 D．m≥﹣1且m≠0
6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=12，且图象经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②c﹣2b＝0；（3）若(-12，y1)，(52，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2；④14b+c＞m（am+b）+c（其中m≠12)．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）把方程y2﹣4y＝6（y+1）整理后配方成（y+a）2＝k的形式是 ．
8．（3分）给出下列两条抛物线：y=12x2+2x+1，y=2x2+4x+1．请尽可能多地找出这两条抛物线的共同点： （5条以上得满分）
9．（3分）如果关于x的方程3x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是 ．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，若△ABC与△ABD的面积相等，则m值为 ．
11．（3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则m+n＝ ．
12．（3分）已知抛物线与x轴的交点分别为（3，0）和（1，0）；与y轴交点（0，6），则二次函数的关系式是 ．
三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）
13．（6分）（1）解方程：x（x+6）＝7．
（2）用配方法求二次函数y＝2x2﹣8x+7图象的对称轴和顶点坐标．
14．（6分）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，传承红色基因”主题教育学习活动，井冈山是此次活动重要的研学活动基地．据了解，今年7月份该基地接待参观人数100万，9月份接待参观人数增加到121万．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计10月份的参观人数是多少？
15．（6分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2，﹣3），（﹣1，12）．
（1）求b，c的值．
（2）若点A（m，k），B（n，k）在二次函数图象上，其中m≠n，当﹣2＜m＜3时，求n的取值范围．
16．（6分）写出一个以2+3，2-3为根的方程．
17．（6分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x＝2，顶点为D．求二次函数的解析式及四边形ADBC的面积．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
18．（8分）2020年4月，我市某药店销售一种疫情防控物品，进价为50元/瓶．售价为60元/瓶时，当天的销售量为100瓶．在销售过程中发现：售价每上涨5元，当天的销售量就减少5瓶．设当天销售单价统一为x元/瓶（x≥60，且x是按5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天销售利润不低于2400元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每瓶物品的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每瓶物品售价应定为多少元？当天的最大利润为多少元？
19．（8分）已知等腰三角形的一边长为8，另一个边长为方程x2﹣10x+21＝0的根，求该等腰三角形的周长．
20．（8分）已知关于x的方程kx2+（2k+3）x+k+1＝0．
（1）若x＝1是该方程的根，求k的值；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）
21．（9分）随着济宁旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加．
（1）该宾馆床位数从2016年底的200个增长到2018年底的242个，求该宾馆这两年（从2016年底到2018年底）拥有的床位数的年平均增长率．
（2）根据市场表现发现每床每日收费40元，242张床可全部租出，若每床每日收费提高10元，则租出床位减少20张．若想平均每天获利11100元，同时又减轻游客的经济负担，每张床位应定价多少元？
22．（9分）如图，M是弦AB与弧AB所围成的图形的内部的一个定点，P是弦AB上一动点，连接PM并延长交弧AB于点Q，连接QB．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，Q两点间距离为y1cm，BQ两点间距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2，随自变量x的变化而变化的规律进行了研究．下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）按照如表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，补全如表；
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
5.24
4.24
3.24
1.54
1.79
3.47
y2/cm
1.31
1.34
1.42
1.54
1.80
2.45
3.47
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值对应的点（x1，y1）和（x2，y2）并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当△PQB为等腰三角形时，AP的长度约 cm（精确到0.1）．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．（12分）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数，a≠0）．
（1）若该二次函数图象经过A （1，1），B（﹣1，4），C（﹣3，12）三点中的一个点，求该函数表达式．
（2）当﹣3＜x＜0时，y有最小值﹣4，若将该二次函数图象向右平移k（k＞1）个单位，平移后的图象的函数y′在﹣3≤x≤0的范围内有最小值﹣3，求a，k值．
2023-2024年人教版九年级上册数学第一次月考提高卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣4＝（x+3）2
C．x2+3x-5＝0 D．3x（x﹣4）＝0
【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项判断即可得．
【解答】解：A、当a＝0，b≠0时，方程ax2+bx+c＝0是一元一次方程，则此项不符合题意；
B、方程x2﹣4＝（x+3）2整理为6x+9＝﹣4，是一元一次方程，则此项不符合题意；
C、方程x2+3x-5=0中的3x不是整式，不是一元二次方程，则此项不符合题意；
D、方程3x（x﹣4）＝0整理为3x2﹣12x＝0，是一元二次方程，则此项符合题意；
故选：D．
2．（3分）已知二次函数y＝﹣3x2+6x+4，若﹣2≤x≤2，则y的最小值和最大值分别是（ ）
A．﹣22，7 B．﹣20，4 C．﹣22，4 D．﹣20，7
【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的增减性解答即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x=-b2a=-6-6=1，
∵a＝﹣3＜0，
∴x＜1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，
∴在﹣2≤x≤2内，x＝1时，y有最大值，y＝﹣3+6+4＝7，
x＝﹣2时y有最小值，分别是y＝﹣3×4+6×（﹣2）+4＝﹣20，
故选：D．
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0时，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝1 B．（x﹣3）2＝10 C．（x+3）2＝1 D．（x+3）2＝10
【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
【解答】解：方程移项得：x2﹣6x＝1，
配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10，
故选：B．
4．（3分）将抛物线y＝x2+2x﹣2先向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+4）2﹣2 B．y＝（x+4）2﹣4 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2﹣4
【分析】根据函数图象向左平移加，向下平移减，可得答案．
【解答】解：∵y＝x2+2x﹣2，
∴y＝（x+1）2﹣3．
∴将抛物线y＝x2+2x﹣2先向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是y＝（x+1+3）2﹣3+1．即y＝（x+4）2﹣2．
故选：A．
5．（3分）若关于x的一元二次方程mx2+6x﹣9＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m≥﹣1 C．m≠1且m≠0 D．m≥﹣1且m≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且b2﹣4ac＝62﹣4m×（﹣9）≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+6x﹣9＝0有两个实数根，
∴Δ＝62﹣4m×（﹣9）≥0且m≠0，
解得：m≥﹣1且m≠0．
故选：D．
6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=12，且图象经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②c﹣2b＝0；（3）若(-12，y1)，(52，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2；④14b+c＞m（am+b）+c（其中m≠12)．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】抛物线开口向下，且交y轴于正半轴及对称轴为x=12，推导出a＜0，b＞0、c＞0以及a与b之间的关系：b＝﹣a；根据二次函数图象经过点（2，0），可得出0＝4a+2b+c；再由二次函数的对称性，当a＜0时，距离对称轴越远x所对应的y越小；由抛物线开口向下，对称轴是直线x=12，可知当x=12时，y有最大值．
【解答】解：∵抛物线开口向下，且交y轴于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴x=-b2a=12，即b＝﹣a，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（2，0），
∴0＝4a+2b+c，
又可知b＝﹣a，
∴0＝﹣4b+2b+c，即﹣2b+c＝0，
故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x=12，且12-（-12）＝1，52-12=2，
∴y1＞y2，
故③不正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x=12，
∴当x=12时，抛物线y取得最大值ymax=14a+12b+c=14b+c，
当x＝m时，ym＝am2+bm+c＝m（am+b）+c，且m≠12，
∴ymax＞ym，
故④正确，
综上，结论①②④正确，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）把方程y2﹣4y＝6（y+1）整理后配方成（y+a）2＝k的形式是 （y﹣5）2＝31 ．
【分析】先将方程y2﹣4y＝6（y+1）整理成一般形式，然后利用配方法的一般步骤（①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方）进行计算．
【解答】解：由原方程，得
y2﹣10y＝6，
等式的两边同时加上52，得
y2﹣10y+52＝6+52，即（y﹣5）2＝31；
故答案为：（y﹣5）2＝31．
8．（3分）给出下列两条抛物线：y=12x2+2x+1，y=2x2+4x+1．请尽可能多地找出这两条抛物线的共同点： ①抛物线开口向上，②抛物线都与y轴交于点（0，1），③当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，④抛物线都不经过第四象限，⑤两条抛物线最小值都为﹣1．等等． （5条以上得满分）
【分析】可以从两条抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，与y轴的交点，增减性等方面找两条抛物线的共同点．
【解答】解：两条抛物线的共同点：①抛物线开口向上，②抛物线都与y轴交于点（0，1），③当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，④抛物线都不经过第四象限，⑤两条抛物线最小值都为﹣1．等等．
9．（3分）如果关于x的方程3x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是 43 ．
【分析】根据方程有两个相等的实数根得出Δ＝b2﹣4ac＝0，据此列出关于m的方程，解之可得．
【解答】解：∵关于x的方程3x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝42﹣4×3×m＝0，
解得m=43，
故答案为：43．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，若△ABC与△ABD的面积相等，则m值为 2 ．
【分析】先利用配方法求出顶点D的坐标，再表示出C点，然后利用三角形面积公式得到m＝﹣（m﹣4），再解方程即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m＝（x﹣2）2+m﹣4，
∴D（2，m﹣4），
当x＝0时，y＝x2﹣4x+m＝m，则C（0，m），
∵△ABC与△ABD的面积相等，
∴m＝﹣（m﹣4），
解得m＝2．
故答案为：2．
11．（3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则m+n＝ ﹣2 ．
【分析】根据根与系数的关系，可知两根之和等于-ba，即可求出m+n的值．
【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n=-ba=-2．
故答案为：﹣2．
12．（3分）已知抛物线与x轴的交点分别为（3，0）和（1，0）；与y轴交点（0，6），则二次函数的关系式是 y＝2x2﹣8x+6 ．
【分析】二次函数的图象与x轴交点为（3，0），（1，0），设二次函数解析式为：y＝a（x﹣3）（x﹣1），把与y轴交点为（0，6）代入即可求解．
【解答】解：∵二次函数图象与x轴交点为（3，0），（1，0），与y轴交点（0，6），
设二次函数解析式为：y＝a（x﹣3）（x﹣1），
把与y轴交点为（0，6）代入得：3a＝6，
∴a＝2，
∴二次函数解析式为：y＝2（x﹣3）（x﹣1）＝2x2﹣8x+6，
故答案为：y＝2x2﹣8x+6．
三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）
13．（6分）（1）解方程：x（x+6）＝7．
（2）用配方法求二次函数y＝2x2﹣8x+7图象的对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）将原方程变形为一般式，再利用因式分解法解方程即可得出结论；
（2）将二次函数解析式变形为顶点式，由此即可得出抛物线的对称轴和顶点坐标．
【解答】解：（1）原方程可变形为x2+6x﹣7＝0，
即（x﹣1）（x+7）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣7．
（2）∵y＝2x2﹣8x+7＝2（x2﹣4x）+7＝2（x2﹣4x+4﹣4）+7＝2（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，﹣1）．
14．（6分）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，传承红色基因”主题教育学习活动，井冈山是此次活动重要的研学活动基地．据了解，今年7月份该基地接待参观人数100万，9月份接待参观人数增加到121万．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计10月份的参观人数是多少？
【分析】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x，根据9月份该基地接待参观人数＝7月份该基地接待参观人数×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用10月份该基地接待参观人数＝9月份该基地接待参观人数×（1+增长率），即可求出结论．
【解答】解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x，
依题意得：100（1+x）2＝121，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．
（2）121×（1+10%）＝133.1（万人）．
答：预计10月份的参观人数为133.1万人．
15．（6分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2，﹣3），（﹣1，12）．
（1）求b，c的值．
（2）若点A（m，k），B（n，k）在二次函数图象上，其中m≠n，当﹣2＜m＜3时，求n的取值范围．
【分析】（1）将点（2，﹣3），（﹣1，12）代入函数y＝x2+bx+c即可求b、c；
（2）由题意可知，A、B关于对称轴对称，则有m+n＝6，再结合m的取值范围即可求n的范围．
【解答】解：（1）∵函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2，﹣3），（﹣1，12），
∴4+2b+c=-31-b+c=12，
∴b=-6c=5；
（2）∵b＝﹣6，c＝5，
∴y＝x2﹣6x+5，
∴函数的对称轴为直线x＝3，
∵点A（m，k），B（n，k）在二次函数图象上，
∴A点与B点关于对称轴对称，
∴m+n＝6，
∴m＝6﹣n，
∵﹣2＜m＜3，
∴﹣2＜6﹣n＜3，
∴3＜n＜8．
16．（6分）写出一个以2+3，2-3为根的方程．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：设方程x2+px+q＝0的两根为2±3，
∴2+3+2-3=-p，（2+3）（2-3）＝q，
∴p＝﹣4，q＝1，
∴该方程为x2﹣4x+1＝0，
17．（6分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x＝2，顶点为D．求二次函数的解析式及四边形ADBC的面积．
【分析】（1）根据二次函数的对称轴为直线x＝2，设出二次函数解析式，把A与C坐标代入求出a与k的值，确定出二次函数解析式；
（2）找出函数图象顶点D的坐标，进而根据对称性求得B的坐标，根据S四边形ADBC＝S△ABD+S△ABC求得即可．
【解答】解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
把A（1，0），C（0，6）代入得：a+k=04a+k=6，
解得：a=2k=-2，
则二次函数解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2＝2x2﹣8x+6；
（2）∵y＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点D的坐标为（2，﹣2），
由A（1，0），对称轴为直线x＝2可知另一个与x轴的交点B（3，0），
∴AB＝2，
∴S四边形ADBC＝S△ABD+S△ABC=12×2×2+12×2×6=8．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
18．（8分）2020年4月，我市某药店销售一种疫情防控物品，进价为50元/瓶．售价为60元/瓶时，当天的销售量为100瓶．在销售过程中发现：售价每上涨5元，当天的销售量就减少5瓶．设当天销售单价统一为x元/瓶（x≥60，且x是按5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天销售利润不低于2400元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每瓶物品的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每瓶物品售价应定为多少元？当天的最大利润为多少元？
【分析】（1）按照当天销售利润等于每件的利润乘以销售量列出函数关系式并化简即可；
（2）先求得利润等于2400元时的售价，再根据二次函数的性质得出当天销售单价所在的范围；
（3）根据每瓶防控物品利润不超过80%，列出关于x的不等式，解得单价的范围，再根据二次函数的性质得出当天获得利润最大时的售价即可．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝（x﹣50）（100-x-605×5）
＝﹣x2+210x﹣8000．
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x2+210x﹣8000．
（2）要使当天利润不低于2400元，则y≥2400，
由y＝﹣x2+210x﹣8000＝2400解得，x1＝80，x2＝130，
∵抛物线的开口向下，
∴当天销售单价所在的范围为80≤x≤130．
（3）∵每瓶防控物品利润不超过80%，
∴（x﹣50）÷50≤0.8，
∴解得x≤90，
∴销售单价为60≤x≤90，
由（1）得y＝﹣x2+210x﹣8000．
∵对称轴为x＝105，
∴60≤x≤90在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大，
∴当x＝90时，取得最大值，此时y＝﹣902+210×90﹣8000＝2800．
∴每瓶物品售价为90元时，当天获得利润最大，最大利润为2800元．
19．（8分）已知等腰三角形的一边长为8，另一个边长为方程x2﹣10x+21＝0的根，求该等腰三角形的周长．
【分析】利用因式分解法解方程x2﹣10x+21＝0得到x1＝3，x2＝7，然后根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形的三边，然后计算对应的周长．
【解答】解：（x﹣3）（x﹣7）＝0，
所以x1＝3，x2＝7，
当等腰三角形三边腹部为8、8、3时，三角形的周长为19；
当等腰三角形三边腹部为8、8、7时，三角形的周长为23；
当等腰三角形三边腹部为7、7、8时，三角形的周长为22．
所以该等腰三角形的周长为19或22或23．
20．（8分）已知关于x的方程kx2+（2k+3）x+k+1＝0．
（1）若x＝1是该方程的根，求k的值；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【分析】（1）把﹣1代入方程求解即可；
（2）根据根的判别式计算即可．
【解答】解：（1）把x＝1代入该方程得k+2k+3+k+1＝0，解得k＝﹣1；
（2）分两种情况讨论：
①当k＝0时，原方程可化为3x+1＝0，解得x=-13，
与“该方程有两个不相等的实数根”矛盾，不合题意，应舍去；
②当k≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
即(2k+3)2-4k(k+1)0，解得k-98．
综上所述，k的取值范围是k-98且k≠0．
五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）
21．（9分）随着济宁旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加．
（1）该宾馆床位数从2016年底的200个增长到2018年底的242个，求该宾馆这两年（从2016年底到2018年底）拥有的床位数的年平均增长率．
（2）根据市场表现发现每床每日收费40元，242张床可全部租出，若每床每日收费提高10元，则租出床位减少20张．若想平均每天获利11100元，同时又减轻游客的经济负担，每张床位应定价多少元？
【分析】（1）设该宾馆这两年（从2016年底到2018年底）拥有的床位数的年平均增长率为x，根据2016年底及2018年底该宾馆的床位数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每床每日涨价y元，则每日可租出（242﹣2y）张床，根据总租金＝每张床的租金×租出床的数量及平均每天获利11100元，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该宾馆这两年（从2016年底到2018年底）拥有的床位数的年平均增长率为x，
依题意，得：200（1+x）2＝242，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：该宾馆这两年（从2016年底到2018年底）拥有的床位数的年平均增长率为10%．
（2）设涨价y元，则每日可租出（242﹣2y）张床，
依题意，得：（40+y）（242﹣2y）＝11100，
整理，得：y2﹣81y+710＝0，
解得：y1＝10，y2＝71．
∵要减轻游客的经济负担，
∴y＝10，
∴40+y＝50．
答：每张床位应定价为50元．
22．（9分）如图，M是弦AB与弧AB所围成的图形的内部的一个定点，P是弦AB上一动点，连接PM并延长交弧AB于点Q，连接QB．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，Q两点间距离为y1cm，BQ两点间距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2，随自变量x的变化而变化的规律进行了研究．下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）按照如表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，补全如表；
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
5.24
4.24
3.24
2.24
1.54
1.79
3.47
y2/cm
1.31
1.34
1.42
1.54
1.80
2.45
3.47
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值对应的点（x1，y1）和（x2，y2）并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当△PQB为等腰三角形时，AP的长度约 3.7或4.7或4.3 cm（精确到0.1）．
【分析】（1）根据表中的数据可得出答案；
（2）利用描点法画出图象即可．
（3）图中寻找直线y＝﹣x+6与两个函数的交点的横坐标以及y1与y2的交点的横坐标即可．
【解答】解：（1）观察表中数据可得：
当x＝3时，y1＝2.24．（2.0﹣2.5之间的数均可）
（2）函数图象如图1所示：
（3）如图2．
观察图象可知：当y1＝y2或6﹣x＝y1或6﹣x＝y2，△PQB为等腰三角形，
即当BQ＝PQ或PB＝PQ或PB＝BQ时，x＝3.7cm或4.7cm或4.3cm，
综上所述，满足条件的x的值为3.7cm或4.7cm或4.3cm．
故答案为：3.7或4.7或4.3．
六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
23．（12分）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数，a≠0）．
（1）若该二次函数图象经过A （1，1），B（﹣1，4），C（﹣3，12）三点中的一个点，求该函数表达式．
（2）当﹣3＜x＜0时，y有最小值﹣4，若将该二次函数图象向右平移k（k＞1）个单位，平移后的图象的函数y′在﹣3≤x≤0的范围内有最小值﹣3，求a，k值．
【分析】（1）当x＝1时，y＝0；x＝﹣3时，y＝0；所以抛物线过点A；
（2）根据题意当x＝﹣1 时，y＝﹣4，代入y＝ax2+2ax﹣3a求得a＝1，得到抛物线为y＝x2+2x﹣3经过（0，﹣3），进而得出将该二次函数图象向右平移k（k＞1）个单位后也经过（0，﹣3），根据二次函数的对称性即可求得平移前的对应点为（﹣2，3），从而求得k＝2．
【解答】解：（1）把点B（﹣1，4）代入y＝ax2+2ax﹣3a得a＝﹣1；
把点A（1，1）代入y＝ax2+2ax﹣3a 得0＝1，∴A不在抛物线上；
把点C（﹣3，12）代入y＝ax2+2ax﹣3a 得0＝12，∴C不在抛物线上，
故函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由已知得抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1 时，y＝﹣4，
∴a﹣2a﹣3a＝﹣4，
∴a＝1，
∴y＝x2+2x﹣3经过点（0，﹣3）．
∵抛物线向右平移k（k＞1）个单位后y′的对称轴直线x＞0，
又∵y′在﹣3≤x≤0的范围内有最小值﹣3，
∴y′也经过点（0，﹣3），
∴由对称性可得平移前的对应点为（﹣2，3），
∴k＝2
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